4.1: Conjunto de problemas

EJERCIO\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(\Lambda\) es\(n \times n\) matriz y T es una matriz\(n \times n\) invertible. Usa inducción matemática para mostrar que:

\((T^{-1}\Lambda T)^k = T^{-1}\Lambda^{k}T\),

para todos los números naturales k, es decir,\(k = 1, 2, 3, \dots\)

EJERCIO\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que A es una\(n \times n\) matriz. Usa la serie exponencial para dar un argumento que:

\(\frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}\).

(Se le permite utilizar\(e^{A(t+h)} = e^{At}e^{Ah}\) sin pruebas, así como el hecho de que A y\(e^{At}\) conmutar, sin pruebas.)

EJERCIO\(\PageIndex{3}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo lineal:

\(\dot{x} = Ax , x(0) = x_{0} , x \in \mathbb{R}^n\),

donde A es una\(n \times n\) matriz de números reales.

• Mostrar que las soluciones de este campo vectorial existen para siempre.
• Demostrar que las soluciones son infinitamente diferenciables con respecto a la condición inicial,\(x_{0}\).

EJERCIO\(\PageIndex{4}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo lineal en el plano:

\(\begin{pmatrix} {\dot{x_{1}}}\\ {\dot{x_{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}\)

a) Describir los conjuntos invariantes.

b) Esbozar el retrato de fase.

c) ¿El origen es estable o inestable? ¿Por qué?

EJERCIO\(\PageIndex{5}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo lineal en el plano:

\(\begin{pmatrix} {\dot{x}}\\ {\dot{y}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{0}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}\)

a) Describir los conjuntos invariantes.

b) Esbozar el retrato de fase.

c) ¿El origen es estable o inestable? ¿Por qué?