5.1: Conjunto de problemas

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EJERCIO\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que A es una\(n \times n\) matriz de números reales. Mostrar que si\(\lambda\) es un valor propio de A con el vector propio e, entonces\(\bar{\lambda}\) es un valor propio de A con autovector\(\bar{e}\).

EJERCIO\(\PageIndex{2}\)

Considere las matrices:

\(A_{1} = \begin{pmatrix} {0}&{-w}\\ {w}&{0} \end{pmatrix}, A_{2} = \begin{pmatrix} {0}&{w}\\ {-w}&{0} \end{pmatrix}, w>0\)

Esbozar las trayectorias de las ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas lineales asociadas:

\(\begin{pmatrix} {\dot{x_{1}}}\\ {\dot{x_{2}}} \end{pmatrix} = A_{i}\begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}, i = 1, 2\)

EJERCIO\(\PageIndex{3}\)

Considere las matrices:

\(A = \begin{pmatrix} {-1}&{-1}\\ {-9}&{-1} \end{pmatrix}\)

(a) Demostrar que los valores propios y los vectores propios vienen dados por:

\(-1-3i: \begin{pmatrix} {1}\\ {3i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}\\ {0} \end{pmatrix}+i\begin{pmatrix} {0}\\ {3} \end{pmatrix}\)

\(-1+3i: \begin{pmatrix} {1}\\ {-3i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}\\ {0} \end{pmatrix}-i\begin{pmatrix} {0}\\ {3} \end{pmatrix}\)

b) Considerar las cuatro matrices:

\(T_{1} = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{-3} \end{pmatrix}\)

\(T_{2} = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{3} \end{pmatrix}\)

\(T_{3} = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-3}&{0} \end{pmatrix}\)

\(T_{4} = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {3}&{0} \end{pmatrix}\)

\(\Lambda_{i} = T_{i}^{-1}AT_{i}, i = 1 \dots 4\)Cómpiese.

EJERCIO\(\PageIndex{4}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo lineal bidimensional:

\(\begin{pmatrix} {\dot{x_{1}}}\\ {\dot{x_{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {-2}&{1}\\ {-5}&{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}, (x_{1}(0), x_{2}(0)) = (x_{10}, x_{20})\).

Demostrar que el origen es Lyapunov estable. Calcular y bosquejar las trayectorias.

EJERCIO\(\PageIndex{5}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo lineal bidimensional:

\(\begin{pmatrix} {\dot{x_{1}}}\\ {\dot{x_{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{2}\\ {2}&{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}} \end{pmatrix}, (x_{1}(0), x_{2}(0)) = (x_{10}, x_{20})\).

Demostrar que el origen es una silla de montar. Calcular los subespacios estables e inestables del origen en las coordenadas originales, es decir, las\(x_{1}-x_{2}\) coordenadas. Esbozar las trayectorias en el plano de fase.

EJERCIO\(\PageIndex{6}\)

Computar\(e^{A}\), donde

\(A = \begin{pmatrix} {\lambda}&{1}\\ {0}&{\lambda} \end{pmatrix}\)

Insinuación. Escribir

\(A = \underbrace{\begin{pmatrix} {\lambda}&{0}\\ {0}&{\lambda} \end{pmatrix}}_{\equiv S}+\underbrace{\begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix}}_{\equiv N}\)

Entonces

\(A \equiv S+N\), y NS = SN.

Utilice la expansión binomial para computar\((S + N)^n\)\(n \ge 1\),

\((S + N)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} {n}\\ {k} \end{pmatrix} S^{k}N^{n-k}\),

donde

\(\begin{pmatrix} {n}\\ {k} \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

y sustituir los resultados en la serie exponencial.