11.3: Encontrar funciones de Lyapunov

El método de Lyapunov y el principio de invarianza LaSalle son técnicas muy poderosas, pero siempre surge la pregunta obvia, “¿cómo encuentro la función Lyapunov? La desafortunada respuesta es que dada una ODE arbitraria no existe un método general para encontrar una función Lyapunov apropiada para una ODE dada para la aplicación de estos métodos.

En general, para determinar una función Lyapunov apropiada para una ODE dada, la ODE debe tener una estructura que se preste a la construcción de la función Lyapunov. Por lo tanto, la siguiente pregunta es “¿qué es esta estructura?” Si la ODE surge del modelado físico puede haber una “función energética” que esté “casi conservada”. Lo que esto significa es que cuando se descuidan ciertos términos de la ODE, la ODE resultante tiene una cantidad conservada, es decir, una función de valor escalar cuya derivada de tiempo a lo largo de trayectorias es cero, y esta cantidad conservada puede ser candidata para una función Lyapunov. Si eso suena vago es porque la construcción de las funciones de Lyapunov a menudo requiere un poco de “arte matemático”. Consideraremos este procedimiento con algunos ejemplos. Los métodos energéticos son técnicas importantes para entender cuestiones de estabilidad en la ciencia y la ingeniería; ver, por ejemplo, ver el libro de Langhaar y el artículo de Maschke.

Para comenzar, consideramos las ecuaciones de Newton para el movimiento de una partícula de masa m bajo una fuerza conservadora en una dimensión:

\[m\ddot{x} = -\frac{d\Phi}{dx} (x), x \in \mathbb{R}, \label{C.1}\]

Escribir esto como un sistema de primer orden da:

\[\begin{align} \dot{x} &= y \\[4pt] \dot{y} &= -\frac{1}{m}\frac{d\Phi}{dx} (x). \label{C.2} \end{align}\]

Es fácil ver que la derivada de tiempo de la siguiente función es cero

\[E = \frac{my^2}{2} + \Phi (x), \label{C.3}\]

desde

\[ \begin{align} \dot{E} &= my\dot{y}+\frac{d \Phi}{dx}(x)\dot{x} \\[4pt] &= -y\frac{d \Phi}{dx}(x) + y\frac{d \Phi}{dx}(x) = 0. \label{C.4} \end{align}\]

En términos de dinámica, la función en la Ecuación\ ref {C.3} tiene la interpretación como la energía cinética conservada asociada con (C.1).

Ahora consideraremos varios ejemplos. En todos los casos vamos a simplificar las cosas tomando\(m = 1\).

Ejemplo\(\PageIndex{38}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en\(\mathbb{R}^2\):

\(\dot{x} = y\),

\[\dot{y} = -x-\delta y, \delta \ge 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.5}\]

Para\(\delta = 0\) Ecuación\ ref {C.5} tiene la forma de (C.1):

\(\dot{x} = y\),

\[\dot{y} = x, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.6}\]

con

\[E = \frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{2}. \label{C.7}\]

Es fácil verificarlo a lo\(\frac{dE}{dt} = 0\) largo de trayectorias de (C.6).

Ahora diferenciamos E a lo largo de trayectorias de (C.5) y obtenemos:

\[\frac{dE}{dt} = -\delta y^2. \label{C.8}\]

(C.6) tiene solo un punto de equilibrio localizado en el origen. E es claramente positivo en todas partes, excepto por el origen, donde es cero. Usando E como función Lyapunov podemos concluir que el origen es Lyapunov estable. Si usamos E para aplicar el principio de invarianza LaSalle, podemos concluir que el origen es asintóticamente estable. Por supuesto, en este caso podemos linealizar y concluir que el origen es un sumidero hiperbólico para\(\delta > 0\).

Ejemplo\(\PageIndex{39}\)

Considere el siguiente campo vectorial autónomo en\(\mathbb{R}^2\):

\(\dot{x} = y\),

\[dot{y} = x-x^3-\delta y, \delta \ge 0, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.9}\]

Para\(\delta = 0\), la Ecuación\ ref {C.9} tiene la forma de (C.1):

\(\dot{x} = y\),

\[dot{y} = x-x^3, (x, y) \in \mathbb{R}^2. \label{C.10}\]

con

\[E = \frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}. \label{C.11}\]

Es fácil verificarlo a lo\(\frac{dE}{dt} = 0\) largo de trayectorias de (C.10).

La pregunta ahora es ¿cómo usaremos E para aplicar el método de Lyapunov o el principio de invarianza LaSalle? (C.9) tiene tres puntos de equilibrio, una silla hiperbólica en el origen para\(\delta \ge 0\) y sumideros hiperbólicos en (x, y) =\((\pm1, 0)\) para\(\delta > 0\) y centros para\(\delta = 0\). Por lo que la linealización nos da información completa para\(\delta > 0\). Para\(\delta = 0\) la linealización es suficiente para permitir es concluir que el origen es una silla de montar. Los equilibrios (x, y) =\((\pm 1, 0)\) son estables para Lyapunov\(\delta = 0\), pero sería necesario un argumento que involucre la función E para concluir esto. La linealización permite concluir que los equilibrios (x, y) =\((\pm 1, 0)\) son asintóticamente estables para\(\delta > 0\).

La función E puede ser utilizada para aplicar el principio de invarianza LaSalle para concluir que para\(\delta > 0\) todas las trayectorias se acercan a uno de los tres equilibrios como\(t \rightarrow \infty\).