11.4: D- Colectores Centrales Dependiendo de Parámetros

En este apéndice se describe la situación de los colectores centrales que dependen de un parámetro. El marco teórico juega un papel importante en la teoría de la bifurcación.

Como cuando desarrollamos la teoría antes, comenzamos por describir la configuración. Como antes, es importante darse cuenta que al aplicar estos resultados a un campo vectorial, debe estar en la siguiente forma.

\(\dot{x} = Ax+f(x, y, \mu)\),

\[\dot{y} = By+g(x, y, \mu), (x, y, \mu) \in \mathbb{R}^{c} \times \mathbb{R}^{s} \times \mathbb{R}^{p}, \label{D.1}\]

donde\(\mu \in \mathbb{R}^p\) es un vector de parámetros y las matrices A y B tienen las siguientes propiedades:

1. Una\(c \times c\) matriz de números
   reales con valores propios con cero partes reales,
2. \(s \times s\)Matriz B de números reales
   que tienen valores propios con partes reales negativas,

y f y g son funciones no lineales. Es decir, son de orden dos o superiores en x, y y\(\mu\), lo que se expresa en las siguientes propiedades:

\[\begin{array} {cc} {f(0, 0, 0) = 0,} & {Df(0, 0, 0) = 0,} \end{array} \nonumber\]

\[\begin{array} {cc} {g(0, 0, 0) = 0,} & {Dg(0, 0, 0) = 0,} \end{array} \label{D.2}\]

y son\(C^r\), r tan grandes como se requiera para computar una aproximación adecuada al colector central. Con esta configuración\((x, y, \mu) = (0, 0, 0)\) es un punto fijo para (D.1) y estamos interesados en sus propiedades de estabilidad.

El “truco” conceptual que revela la naturaleza de la dependencia de parámetros de los colectores centrales es incluir el parámetro\(\mu\) como una nueva variable dependiente:

\(\dot{x} = Ax+f(x, y, \mu)\),

\(\dot{\mu} = 0\),

\[\dot{y} = By+g(x, y, μ), (x, y, μ) \in \mathbb{R}^c \times \mathbb{R}^s \times \mathbb{R}^p, \label{D.3}\]

La linealización de (D.3) sobre el punto fijo viene dada por:

\(\dot{x} = Ax\),

\(\dot{\mu} = 0\),

\[\dot{y} = By, (x, y, μ) \in \mathbb{R}^c \times \mathbb{R}^s \times \mathbb{R}^p. \label{D.4}\]

Incluso después de aumentar la dimensión del espacio de fase por p dimensiones al incluir los parámetros como nuevas variables dependientes, el punto fijo\((x, y, \mu) = (0, 0, 0)\) sigue siendo un punto fijo no hiperbólico. Tiene un subespacio central invariante dimensional c+ p y un subespacio estable invariante dimensional dado por:

\[E^c = \{(x, y, \mu) \in \mathbb{R}^c \times \mathbb{R}^s \times \mathbb{R}^p, |y = 0\}, \label{D.5}\]

\[E^s = \{(x, y, \mu) \in \mathbb{R}^c \times \mathbb{R}^s \times \mathbb{R}^p,| x = 0, \mu = 0\} , \label{D.6}\]

respectivamente.

Debe quedar claro que la teoría del colector central, como ya la hemos desarrollado, se aplica a (D.3). Incluir los parámetros,\(\mu\) como variables dependientes adicionales tiene el efecto de aumentar la dimensión de las “variables centrales”, pero también hay una consecuencia importante. Dado que ahora\(\mu\) son variables dependientes ingresan a la determinación de los términos no lineales en las ecuaciones. En particular, términos de la forma

\(x_{i}^{\ell} μ_{j}^{m} y_{k}^{n}\),

ahora se interpretan como términos no lineales\(\ell + m + n > 1\), cuando, para enteros no negativos\(\ell\), m, n. Veremos esto en el siguiente ejemplo.

Ahora consideramos la información que nos proporciona la teoría del colector central cerca del origen de (D.3).

1. En una vecindad del origen existe un colector\(C^r\) central que se representa como la gráfica de una función sobre las variables centrales,\(h(x, \mu)\), pasa por el origen (h (0, 0) = 0) y es tangente al subespacio central en el origen (Dh (0, 0) = 0)
2. Todas las soluciones suficientemente cercanas al origen son atraídas por una trayectoria en el colector central a una velocidad exponencial.
3. El colector central se puede aproximar mediante una expansión en serie de potencia.

Es significativo que el colector central se defina en una vecindad del origen tanto en la x como en las\(\mu\) coordenadas ya que\(\mu = 0\) es un valor de bifurcación. Esto significa que todas las soluciones de bifurcación están contenidas en el colector central. Es por ello que, por ejemplo, que sin pérdida de generalidad, las bifurcaciones de un único valor propio cero pueden ser descritas por una familia parametrizada de campos vectoriales unidimensionales.

Ejemplo\(\PageIndex{40}\)

Consideramos ahora un ejemplo que fue el ejercicio 1b del conjunto de problemas 8.

\(\dot{x} = \mu x+10x^2\),

\(\dot{μ} = 0\),

\[\dot{y} = x-2y, (x, y) \in \mathbb{R}^2, \mu \in \mathbb{R}. \label{D.7}\]

El jacobiano asociado a la linealización sobre\((x, \mu, y) = (0, 0, 0)\) está dado por:

\[\begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {1}&{0}&{-2} \end{pmatrix}. \label{D.8}\]

Es fácil comprobar que los valores propios de esta matriz son 0, 0 y 2 (como habríamos esperado). Cada uno de estos valores propios tiene un vector propio. Se comprueba fácilmente que dos vectores propios correspondientes al valor propio 0 están dados por:

\[\begin{pmatrix} {2}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix}. \label{D.9}\]

\[\begin{pmatrix} {0}\\ {1}\\ {0} \end{pmatrix}. \label{D.10}\]

y un vector propio correspondiente al valor propio\(-2\) viene dado por:

\[\begin{pmatrix} {0}\\ {0}\\ {1} \end{pmatrix}. \label{D.11}\]

A partir de estos vectores propios formamos la matriz de transformación

\[T = \begin{pmatrix} {2}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {1}&{0}&{1} \end{pmatrix}. \label{D.12}\]

con inversa

\[T^{-1} = \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {-\frac{1}{2}}&{0}&{1} \end{pmatrix}. \label{D.13}\]

La matriz de transformación, T, define la siguiente transformación de las variables dependientes de (D.7):

\[\begin{pmatrix} {x}\\ {\mu}\\ {y} \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} {u}\\ {\mu}\\ {v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {1}&{0}&{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {u}\\ {\mu}\\ {v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2u}\\ {\mu}\\ {u+v} \end{pmatrix} \label{D.14}\]

Se deduce entonces que el campo vectorial transformado tiene la forma:

\[\begin{pmatrix} {\dot{u}}\\ {\dot{\mu}}\\ {\dot{v}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{-2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {u}\\ {\mu}\\ {v} \end{pmatrix} + T^{-1} \begin{pmatrix} {\mu (2u)+10(2u)^2}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix} \label{D.15}\]

o

\[\begin{pmatrix} {\dot{u}}\\ {\dot{\mu}}\\ {\dot{v}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{-2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {u}\\ {\mu}\\ {v} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {\frac{1}{2}}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {-\frac{1}{2}}&{0}&{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {2\mu u+40u^2}\\ {0}\\ {0} \end{pmatrix} \label{D.16}\]

o

\(\dot{u} = \mu u+20u^2\),

\(\dot{μ} = 0\),

\[\dot{v} = -2v- \mu u-20u^2. \label{D.17}\]