A.4: Subespacios, Dimensión y El Núcleo
- Page ID
- 115285
Subespacios, Base y Dimensión
A menudo nos encontramos mirando el conjunto de soluciones de una ecuación lineal\(L\vec{x} = \vec{0}\) para alguna matriz\(L\), es decir, nos interesa el núcleo de\(L\). El conjunto de todas esas soluciones tiene una estructura agradable: Se ve y actúa mucho como algún espacio euclidiano\({\mathbb R}^k\).
Decimos que un conjunto\(S\) de vectores en\({\mathbb R}^n\) es un subespacio si siempre\(\vec{x}\) y\(\vec{y}\) son miembros de\(S\) y\(\alpha\) es un escalar, entonces también\[\vec{x} + \vec{y}, \qquad \text{and} \qquad \alpha \vec{x} \nonumber \] son miembros de\(S\). Es decir, podemos sumar y multiplicar por escalares y aún así aterrizar\(S\). Así que cada combinación lineal de vectores de todavía\(S\) está en\(S\). Eso es realmente lo que es un subespacio. Es un subconjunto donde podemos tomar combinaciones lineales y aún así terminar estando en el subconjunto. En consecuencia, el lapso de varios vectores es automáticamente un subespacio.
Si lo dejamos\(S = {\mathbb R}^n\), entonces este\(S\) es un subespacio de\({\mathbb R}^n\). Agregar dos vectores cualesquiera en\({\mathbb R}^n\) obtiene un vector adentro\({\mathbb R}^n\), y también lo hace multiplicar por escalares.
El conjunto\(S' = \{ \vec{0} \}\), es decir, el conjunto del vector cero por sí mismo, es también un subespacio de\({\mathbb R}^n\). Solo hay un vector en este subespacio, por lo que solo necesitamos verificar la definición de ese vector, y todo se comprueba:\(\vec{0}+\vec{0} = \vec{0}\) y\(\alpha \vec{0} = \vec{0}\).
El conjunto\(S''\) de todos los vectores de la forma\((a,a)\) para cualquier número real\(a\), como\((1,1)\),\((3,3)\), o\((-0.5,-0.5)\) es un subespacio de\({\mathbb R}^2\). Añadiendo dos de esos vectores, digamos\((1,1)+(3,3) = (4,4)\) otra vez obtiene un vector de la misma forma, y también lo hace multiplicando por un escalar, digamos\(8(1,1) = (8,8)\).
Si\(S\) es un subespacio y podemos encontrar vectores\(k\) linealmente independientes de\(S\)\[\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k , \nonumber \] tal manera que cada otro vector en\(S\) es una combinación lineal de\(\vec{v}_1, \vec{v}_2,\ldots, \vec{v}_k\), entonces el conjunto\(\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k \}\) se llama una base de\(S\). En otras palabras,\(S\) es el lapso de\(\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k \}\). Decimos que\(S\) tiene dimensión\(k\), y escribimos\[\dim S = k . \nonumber \]
Si\(S \subset {\mathbb R}^n\) es un subespacio y no\(S\) es el subespacio trivial\(\{ \vec{0} \}\), entonces existe un entero positivo único\(k\) (la dimensión) y una base (no única)\(\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_k \}\), de tal manera que cada entrada\(\vec{w}\)\(S\) puede ser representada de manera única por\[\vec{w} = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \cdots + \alpha_k \vec{v}_k , \nonumber \] para algunos escalares\(\alpha_1\), \(\alpha_2\),...,\(\alpha_k\).
Así como un vector en\({\mathbb R}^k\) está representado por una\(k\) -tupla de números, también lo es un vector en un subespacio\(k\) -dimensional de\({\mathbb R}^n\) representado por una\(k\) -tupla de números. Al menos una vez hemos fijado una base. Una base diferente daría una\(k\) -tupla diferente de números para el mismo vector.
Debemos reiterar que si bien\(k\) es único (un subespacio no puede tener dos dimensiones diferentes), el conjunto de vectores base no es en absoluto único. Hay muchas bases diferentes para cualquier subespacio dado. Encontrar la base justa para un subespacio es una gran parte de lo que se hace en álgebra lineal. De hecho, eso es en lo que dedicamos mucho tiempo en ecuaciones diferenciales lineales, aunque a primera vista puede que no parezca que eso es lo que estamos haciendo.
La base estándar\[\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n , \nonumber \] es una base de\({\mathbb R}^n\), (de ahí el nombre). Entonces como se esperaba\[\dim {\mathbb R}^n = n . \nonumber \] Por otro lado el subespacio\(\{ \vec{0} \}\) es de dimensión\(0\).
El subespacio\(S''\) de Ejemplo\(\PageIndex{1}\), es decir, el conjunto de vectores\((a,a)\), es de dimensión 1. Una base posible es simplemente\(\{ (1,1) \}\), el único vector\((1,1)\): cada vector en\(S''\) puede ser representado por\(a (1,1) = (a,a)\). De igual manera otra posible base sería\(\{ (-1,-1) \}\). Entonces el vector se\((a,a)\) representaría como\((-a) (1,1)\).
Los espacios de fila y columna de una matriz también son ejemplos de subespacios, ya que se dan como el lapso de vectores. Podemos usar lo que sabemos sobre rango, espacios de fila y espacios de columna de la sección anterior para encontrar una base.
En la última sección, consideramos la matriz\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} . \nonumber \] Usando reducción de filas para encontrar las columnas pivotantes, encontramos\[\text{column space of $A$} \left( \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} \right) = \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \right\} . \nonumber \] Lo que hicimos fue encontrar la base del espacio de columna. La base tiene dos elementos, por lo que el espacio de columna de\(A\) es bidimensional. Observe que el rango de\(A\) es dos.
Habríamos seguido el mismo procedimiento si quisiéramos encontrar la base del subespacio\(X\) abarcado por Simplemente\[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{bmatrix} . \nonumber \] habríamos formado la matriz\(A\) con estos vectores como columnas y repetido el cómputo anterior. El subespacio\(X\) es entonces el espacio de columna de\(A\).
Considera la matriz\[L = \begin{bmatrix} {1} & 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & {1} & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & {1} & 5 \end{bmatrix} . \nonumber \] Convenientemente, la matriz está en forma de escalón de fila reducida. La matriz es de rango 3. El espacio de columna es el tramo de las columnas pivotantes. Es el espacio tridimensional\[\text{column space of $L$} = \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} = {\mathbb{R}}^3 . \nonumber \] El espacio de fila es el espacio tridimensional\[\text{row space of $L$} = \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 4 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix} \right\} . \nonumber \] Como estos vectores tienen 5 componentes, pensamos en el espacio de filas de\(L\) como un subespacio de\({\mathbb{R}}^5\).
La forma en que las dimensiones trabajadas en los ejemplos no es un accidente. Dado que el número de vectores que necesitábamos tomar siempre fue el mismo que el número de pivotes, y el número de pivotes es el rango, obtenemos el siguiente resultado.
Rango
La dimensión del espacio de columna y la dimensión del espacio de fila de una matriz\(A\) son iguales al rango de\(A\).
Kernel
El conjunto de soluciones de una ecuación lineal\(L\vec{x} = \vec{0}\), el núcleo de\(L\), es un subespacio: Si\(\vec{x}\) y\(\vec{y}\) son soluciones,\[L(\vec{x}+\vec{y}) = L\vec{x}+L\vec{y} = \vec{0}+\vec{0} = \vec{0} , \qquad \text{and} \qquad L(\alpha \vec{x}) = \alpha L \vec{x} = \alpha \vec{0} = \vec{0}. \nonumber \] entonces So\(\vec{x}+\vec{y}\) y\(\alpha \vec{x}\) son soluciones. La dimensión del núcleo se llama la nulidad de la matriz.
El mismo tipo de idea gobierna las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales. Tratamos de describir el núcleo de un operador diferencial lineal, y como es un subespacio, buscamos una base de este núcleo. Gran parte de este libro está dedicado a encontrar tales bases.
El núcleo de una matriz es el mismo que el núcleo de su forma de escalón de fila reducida. Para una matriz en forma de escalón de fila reducida, el núcleo es bastante fácil de encontrar. Si\(\vec{x}\) se aplica un vector a una matriz\(L\), entonces cada entrada en\(\vec{x}\) corresponde a una columna de\(L\), la columna que multiplica la entrada. Para encontrar el kernel, elija una columna no pivote haga un vector que tenga a\(-1\) en la entrada correspondiente a esta columna no pivotante y ceros en todas las demás entradas correspondientes a las otras columnas no pivotantes. Entonces para todas las entradas correspondientes a las columnas pivotantes hacen que sea precisamente el valor en la fila correspondiente de la columna no pivotante para hacer que el vector sea una solución a\(L \vec{x} = \vec{0}\). Este procedimiento se entiende mejor con el ejemplo.
Considera\[L = \begin{bmatrix} \fbox{1} & 2 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & \fbox{1} & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & \fbox{1} & 5 \end{bmatrix} . \nonumber \] Esta matriz está en forma de escalón de fila reducida, los pivotes están marcados. Hay dos columnas no pivotantes, por lo que el kernel tiene dimensión 2, es decir, es el lapso de 2 vectores. Encontremos el primer vector. Miramos la primera columna no pivotante, la\(2^{\text{nd}}\) columna, y ponemos a\(-1\) en la\(2^{\text{nd}}\) entrada de nuestro vector. Ponemos a\(0\) en la\(5^{\text{th}}\) entrada ya que la\(5^{\text{th}}\) columna también es una columna no pivotante:\[\begin{bmatrix} ? \\ -1 \\ ? \\ ? \\ 0 \end{bmatrix} . \nonumber \] Llenemos el resto. Cuando este vector llega a la primera fila, obtenemos a\(-2\) y\(1\) veces sea cual sea el primer signo de interrogación. Así que haz el primer signo de interrogación\(2\). Para la segunda y tercera fila, basta con convertirla en los signos de interrogación cero. Realmente estamos rellenando la columna no pivotante en las entradas restantes. Comprobemos mientras marcamos qué números fueron a dónde: ¡\[\begin{bmatrix} 1 & \fbox{2} & 0 & 0 & 3 \\ 0 & \fbox{0} & 1 & 0 & 4 \\ 0 & \fbox{0} & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \fbox{2} \\ -1 \\ \fbox{0} \\ \fbox{0} \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} . \nonumber \]Yay! ¿Qué tal el segundo vector? Empezamos con\[\begin{bmatrix} ? \\ 0 \\ ? \\ ? \\ -1 . \end{bmatrix} \nonumber \] Establecimos el primer signo de interrogación a 3, el segundo a 4, y el tercero a 5. Comprobemos, marcando las cosas como antes,\[\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & \fbox{3} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \fbox{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \fbox{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \fbox{3} \\ 0 \\ \fbox{4} \\ \fbox{5} \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} . \nonumber \] hay dos columnas no pivotantes, así que solo necesitamos dos vectores. Hemos encontrado la base del kernel. Entonces,\[\text{kernel of $L$} = \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix} \right\} \nonumber \]
Lo que hicimos al encontrar una base del kernel es que expresamos todas las soluciones de\(L \vec{x} = \vec{0}\) como una combinación lineal de algunos vectores dados.
El procedimiento para encontrar la base del kernel de una matriz\(L\):
- Encuentra la forma de escalón de fila reducida de\(L\).
- Anote la base del kernel como se indica arriba, un vector por cada columna no pivotante.
El rango de una matriz es la dimensión del espacio de columna, y ese es el span en las columnas pivotantes, mientras que el kernel es el span de vectores uno para cada columna no pivotante. Por lo que los dos números deben sumarse al número de columnas.
Rank-Nulidad
Si una matriz\(A\) tiene\(n\) columnas\(r\), rango y nulidad\(k\) (dimensión del kernel), entonces\[n = r+k . \nonumber \]
El teorema es inmensamente útil en aplicaciones. Permite calcular el rango\(r\) si se conoce la nulidad\(k\) y viceversa, sin hacer ningún trabajo extra.
Consideremos una aplicación de ejemplo, una versión sencilla de la llamada alternativa de Fredholm. Un resultado similar es cierto para las ecuaciones diferenciales. Considera\[A \vec{x} = \vec{b} , \nonumber \] dónde\(A\) está una\(n \times n\) matriz cuadrada. Entonces hay dos posibilidades mutuamente excluyentes:
- Una solución distinta de cero\(\vec{x}\) para\(A \vec{x} = \vec{0}\) existir.
- La ecuación\(A \vec{x} = \vec{b}\) tiene una solución única\(\vec{x}\) para cada\(\vec{b}\).
¿Cómo entra en la imagen el teorema de Rank-Nulidad? Bueno, si\(A\) tiene una solución distinta de cero\(\vec{x}\) para\(A \vec{x} = \vec{0}\), entonces la nulidad\(k\) es positiva. Pero entonces el rango\(r = n-k\) debe ser menor que\(n\). Significa que el espacio de columna de\(A\) es de dimensión menor que\(n\), por lo que es un subespacio que no incluye todo en\({\mathbb{R}}^n\). Así que\({\mathbb{R}}^n\) tiene que contener algún vector\(\vec{b}\) no en el espacio de columna de\(A\). De hecho, la mayoría de los vectores en no\({\mathbb{R}}^n\) están en el espacio de columna de\(A\).