1.1: Aplicaciones que conducen a ecuaciones diferenciales
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Para aplicar métodos matemáticos a un problema físico o de la “vida real”, debemos formular el problema en términos matemáticos; es decir, debemos construir un modelo matemático para el problema. Muchos problemas físicos se refieren a las relaciones entre cantidades cambiantes. Dado que las tasas de cambio están representadas matemáticamente por derivados, los modelos matemáticos a menudo involucran ecuaciones que relacionan una función desconocida y una o más de sus derivadas. Tales ecuaciones son ecuaciones diferenciales. Ellos son el tema de este libro.
Gran parte del cálculo se dedica a aprender técnicas matemáticas que se aplican en cursos posteriores de matemáticas y ciencias; no tendrías tiempo de aprender mucho cálculo si insistes en ver una aplicación específica de cada tema tratado en el curso. De igual manera, gran parte de este libro está dedicado a métodos que se pueden aplicar en cursos posteriores. Sólo una parte relativamente pequeña del libro está dedicada a la derivación de ecuaciones diferenciales específicas a partir de modelos matemáticos, o relacionar las ecuaciones diferenciales que estudiamos con aplicaciones específicas. En esta sección mencionamos algunas aplicaciones de este tipo. El modelo matemático para un problema aplicado es casi siempre más sencillo que la situación real que se estudia, ya que generalmente se requieren supuestos simplificadores para obtener un problema matemático que pueda resolverse. Por ejemplo, al modelar el movimiento de un objeto que cae, podríamos descuidar la resistencia al aire y la atracción gravitacional de cuerpos celestes distintos de la Tierra, o al modelar el crecimiento de la población podríamos suponer que la población crece continuamente en lugar de en pasos discretos.
Un buen modelo matemático tiene dos propiedades importantes:
- Es lo suficientemente simple para que se pueda resolver el problema matemático.
- Representa la situación real suficientemente bien para que la solución al problema matemático prediga el resultado del problema real dentro de un grado útil de precisión. Si los resultados previstos por el modelo no concuerdan con las observaciones físicas, los supuestos subyacentes del modelo deben revisarse hasta que se obtenga un acuerdo satisfactorio.
Ahora daremos ejemplos de modelos matemáticos que involucran ecuaciones diferenciales. Volveremos a estos problemas en los momentos apropiados, a medida que aprendemos a resolver los diversos tipos de ecuaciones diferenciales que ocurren en los modelos. Todos los ejemplos en esta sección tratan de funciones del tiempo, que denotamos por\(t\). Si\(y\) es una función de\(t\),\(y'\) denota la derivada de\(y\) con respecto a\(t\); así,
\[y' = \dfrac{dy}{dt}.\nonumber \]
Crecimiento y decadencia de la población
Si bien el número de miembros de una población (personas en un país determinado, bacterias en un cultivo de laboratorio, flotadores silvestres en un bosque, etc.) en un momento dado t es necesariamente un número entero, los modelos que utilizan ecuaciones diferenciales para describir el crecimiento y la descomposición de las poblaciones suelen descansar en la simplificación supuesto de que el número de miembros de la población puede ser considerado como una función diferenciable\(P = P(t)\). En la mayoría de los modelos se supone que la ecuación diferencial toma la forma
\[P' = a(P)P \label{1.1.1}\]
donde\(a\) es una función continua de\(P\) que representa la tasa de cambio de población por unidad de tiempo por individuo. En el modelo maltusiano, se supone que\(a(P)\) es una constante, por lo que la Ecuación\ ref {1.1.1} se convierte
\[P' = aP. \label{1.1.2}\]
(Cuando vea un nombre en cursiva azul, simplemente haga clic en él para obtener información sobre la persona). Este modelo asume que los números de nacimientos y defunciones por unidad de tiempo son ambos proporcionales a la población. Las constantes de proporcionalidad son la tasa de natalidad (nacimientos por unidad de tiempo por individuo) y la tasa de mortalidad (muertes por unidad de tiempo por individuo); a es la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad. Aprendiste en cálculo que si\(c\) es alguna constante entonces
\[P = ce^{at} \label{1.1.3}\]
satisface la Ecuación\ ref {1.1.2}, así que la Ecuación\ ref {1.1.2} tiene infinitamente muchas soluciones. Para seleccionar la solución del problema específico que estamos considerando, debemos conocer a la población\(P_0\) en un momento inicial, digamos\(t = 0\). Ajuste\(t = 0\) en Ecuación\ ref {1.1.3} rendimientos\(c = P(0) = P_0\), por lo que la solución aplicable es
\[P(t) = P_0e^{at}.\nonumber \]
Esto implica que
\[\lim_{t\to\infty}P(t)=\left\{\begin{array}{cl}\infty&\mbox{ if }a>0,\\ 0&\mbox{ if }a<0; \end{array}\right.\nonumber\]
es decir, la población se acerca al infinito si la tasa de natalidad supera la tasa de mortalidad, o cero si la tasa de mortalidad excede la tasa de natalidad.
Para ver las limitaciones del modelo maltusiano, supongamos que estamos modelando la población de un país, a partir de un\(t = 0\) momento en que la tasa de natalidad supera la tasa de mortalidad (so\(a > 0\)), y los recursos del país en términos de espacio, suministro de alimentos y otras necesidades de la vida pueden sustentar lo existente población. Entonces la predicción\(P = P_0e^{at}\) puede ser razonablemente precisa siempre y cuando se mantenga dentro de los límites que los recursos del país puedan soportar. Sin embargo, el modelo inevitablemente debe perder validez cuando la predicción supera estos límites. (Si nada más, ¡eventualmente no habrá suficiente espacio para la población pronosticada!) Esta influencia en el modelo maltusiano sugiere la necesidad de un modelo que tenga en cuenta las limitaciones de espacio y recursos que tienden a oponerse a la tasa de crecimiento poblacional a medida que aumenta la población.
Quizás el modelo más famoso de este tipo es el modelo Verhulst, donde la Ecuación\ ref {1.1.2} es reemplazada por
\[\label{eq:1.1.4} P'=aP(1-\alpha P),\]
donde\(\alpha\) es una constante positiva. Siempre y cuando\(P\) sea pequeño en comparación con\(1/\alpha\), la relación\(P'/P\) es aproximadamente igual a\(a\). Por lo tanto el crecimiento es aproximadamente exponencial; sin embargo, a medida que\(P\) aumenta, la relación\(P'/P\) disminuye a medida que los factores opuestos se vuelven significativos.
La ecuación\ ref {eq:1.1.4} es la ecuación logística. Aprenderás a resolverlo en la Sección 1.2. (Ver Ejercicio 2.2.28.) La solución es
\[P={P_0\over\alpha P_0+(1-\alpha P_0)e^{-at}},\nonumber \]
donde\(P_0=P(0)>0\). Por lo tanto\(\displaystyle \lim_{t\to\infty}P(t)=1/\alpha\), independiente de\(P_0\).
La figura 1.1.1 muestra gráficas típicas de\(P\) versus\(t\) para varios valores de\(P_0\).
Ley de Refrigeración de Newton
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio circundante. Así, si\(T_m\) es la temperatura del medio y\(T = T(t)\) es la temperatura del cuerpo en el momento\(t\), entonces
\[T' = −k(T −T_m) \label{1.1.5}\]
donde\(k\) es una constante positiva y el signo menos indica; que la temperatura del cuerpo aumenta con el tiempo si es menor que la temperatura del medio, o disminuye si es mayor. Veremos en la Sección 4.2 que si\(T_m\) es constante entonces la solución de la Ecuación\ ref {1.1.5} es
\[T = T_m + (T_0 −T_m)e^{−kt} \label{1.1.6}\]
donde\(T_0\) esta la temperatura del cuerpo cuando\(t = 0\). Por lo tanto
\[\lim_{t→∞} T(t) = T_m \nonumber\]
independiente de\(T_0\) (El sentido común sugiere esto. ¿Por qué?).
La figura 1.1.2 muestra gráficas típicas de\(T\) versus\(t\) para varios valores de\(T_0\).
Suponiendo que el medio permanezca a temperatura constante parece razonable si estamos considerando enfriar una taza de café en una habitación, pero no si estamos enfriando un enorme caldero de metal fundido en la misma habitación. La diferencia entre las dos situaciones es que el calor perdido por el café no es probable que eleve apreciablemente la temperatura de la habitación, sino que el calor perdido por el metal de enfriamiento sí lo es. En esta segunda situación debemos utilizar un modelo que tenga en cuenta el calor intercambiado entre el objeto y el medio. Dejar\(T = T(t)\) y\(T_m = T_m(t)\) ser las temperaturas del objeto y del medio respectivamente, y dejar\(T_0\) y\(T_m0\) ser sus valores iniciales. Nuevamente, asumimos que T y Tm están relacionados por la Ecuación\ ref {1.1.5}. También asumimos que el cambio en el calor del objeto a medida que cambia su temperatura de\(T_0\) a\(T\) es\(a(T −T_0)\) y el cambio en el calor del medio a medida que su temperatura cambia de\(T_{m0}\) a\(T_m\) es\(a_m(T_m−T_{m0})\), donde a y am son constantes positivas dependiendo de las masas y propiedades térmicas del objeto y del medio respectivamente. Si asumimos que el calor total del en el objeto y el medio permanece constante (es decir, se conserva la energía), entonces
\[a(T −T_0) + a_m(T_m −T_{m0}) = 0. \nonumber\]
Resolver esto\(T_m\) y sustituir el resultado en la ecuación\ ref {1.1.6} produce la ecuación diferencial
\[T ^ { \prime } = - k \left( 1 + \frac { a } { a _ { m } } \right) T + k \left( T _ { m 0 } + \frac { a } { a _ { m } } T _ { 0 } \right) \nonumber\]
para la temperatura del objeto. Después de aprender a resolver ecuaciones lineales de primer orden, podrás mostrar (Ejercicio 4.2.17) que
\[T = \frac { a T _ { 0 } + a _ { m } T _ { m 0 } } { a + a _ { m } } + \frac { a _ { m } \left( T _ { 0 } - T _ { m 0 } \right) } { a + a _ { m } } e ^ { - k \left( 1 + a / a _ { m } \right) t }\nonumber \]
Absorción de Glucosa por el Cuerpo
La glucosa es absorbida por el cuerpo a una velocidad proporcional a la cantidad de glucosa presente en el torrente sanguíneo. Dejar\(λ\) denotar la constante (positiva) de proporcionalidad. Supongamos que hay\(G_0\) unidades de glucosa en el torrente sanguíneo cuando\(t = 0\), y deja\(G = G(t)\) ser el número de unidades en el torrente sanguíneo a la vez\(t > 0\). Entonces, dado que la glucosa que está siendo absorbida por el cuerpo está saliendo del torrente sanguíneo,\(G\) satisface la ecuación
\[G' = −λG. \label{1.1.7}\]
A partir del cálculo sabes que si\(c\) es alguna constante entonces
\[G = ce^{−λt} \label{1.1.8}\]
satisface la Ecuación (1.1.7), por lo que la Ecuación\ ref {1.1.7} tiene infinitamente muchas soluciones. Estableciendo\(t = 0\) en la ecuación\ ref {1.1.8} y requiriendo que\(G(0) = G_0\) rinde\(c = G_0\), entonces
\[G(t) = G_0e^{−λt}.\nonumber \]
Ahora vamos a complicar las cosas inyectando glucosa por vía intravenosa a un ritmo constante de\(r\) unidades de glucosa por unidad de tiempo. Entonces la tasa de cambio de la cantidad de glucosa en el torrente sanguíneo por unidad de tiempo es
\[G' = −λG + r \label{1.1.9}\]
donde el primer término a la derecha se debe a la absorción de la glucosa por el cuerpo y el segundo término se debe a la inyección. Después de haber estudiado la Sección 2.1, podrás demostrar que la solución de la Ecuación\ ref {1.1.9} que satisface\(G(0) = G_0\) es
\[G = \frac { r } { \lambda } + \left( G _ { 0 } - \frac { r } { \lambda } \right) e ^ { - \lambda t }\nonumber \]
Los gráficos de esta función son similares a los de la Figura 1.1.2 . (¿Por qué?)
Propagación de epidemias
Un modelo para la propagación de epidemias supone que el número de personas infectadas cambia a una tasa proporcional al producto del número de personas ya infectadas y el número de personas que son susceptibles, pero aún no infectadas. Por lo tanto, si\(S\) denota la población total de personas susceptibles y\(I = I(t)\) denota el número de personas infectadas a la vez\(t\), entonces\(S −I\) es el número de personas que son susceptibles, pero aún no infectadas. Así,\[I' = rI(S −I)\nonumber \], donde\(r\) es una constante positiva. Suponiendo que\(I(0) = I_0\), la solución de esta ecuación es
\[I =\dfrac{SI_0}{I_0 + (S −I_0)e^{−rSt}}\nonumber \]
(Ejercicio 2.2.29). Las gráficas de esta función son similares a las de la Figura 1.1.1. (¿Por qué?) Ya que\(\displaystyle\lim_{t→∞} I(t) = S\), este modelo predice que todas las personas susceptibles eventualmente se infectan.
Segunda Ley del Movimiento de Newton
Según la segunda ley del movimiento de Newton, la aceleración instantánea a de un objeto con masa constante\(m\) está relacionada con la fuerza\(F\) que actúa sobre el objeto por la ecuación\(F = ma\). Por simplicidad, supongamos que\(m = 1\) y el movimiento del objeto es a lo largo de una línea vertical. \(y\)Sea el desplazamiento del objeto desde algún punto de referencia en la superficie de la Tierra, medido positivo hacia arriba. En muchas aplicaciones, hay tres tipos de fuerzas que pueden actuar sobre el objeto:
- Una fuerza como la gravedad que depende únicamente de la posición y, que escribimos como\(−p(y)\), donde\(p(y) > 0\) si\(y ≥ 0\).
- Una fuerza como la resistencia atmosférica que depende de la posición y velocidad del objeto, que escribimos como\(−q(y,y')y'\), donde\(q\) es una función no negativa y hemos puesto\(y'\) “afuera” para indicar que la fuerza resistiva siempre está en la dirección opuesta a la velocidad.
- Una fuerza\(f = f(t)\), ejercida desde una fuente externa (como una línea de sirga de un helicóptero) que depende únicamente de\(t\).
En este caso, la segunda ley de Newton implica que
\[y'' = −q(y,y')y' −p(y) + f(t), \nonumber\]
que generalmente se reescribe como
\[y'' + q(y,y')y' + p(y) = f(t). \nonumber\]
Dado que la derivada de segundo (y no superior) orden de\(y\) ocurre en esta ecuación, decimos que es una ecuación diferencial de segundo orden.
Especies Interactuantes: Competencia
Dejar\(P=P(t)\) y\(Q=Q(t)\) ser las poblaciones de dos especies a la vez\(t\), y asumir que cada población crecería exponencialmente si la otra no existiera; es decir, a falta de competencia tendríamos
\[\label{eq:1.1.10} P'=aP \quad \text{and} \quad Q'=bQ,\]
donde\(a\) y\(b\) son constantes positivas. Una forma de modelar el efecto de la competencia es asumir que la tasa de crecimiento por individuo de cada población se reduce en una cantidad proporcional a la otra población, por lo que la Ecuación\ ref {eq:1.1.10} se sustituye por
\[\begin{align*} P' &= aP-\alpha Q\\[4pt] Q' &= -\beta P+bQ,\end{align*}\]
donde\(\alpha\) y\(\beta\) son constantes positivas. (Dado que la población negativa no tiene sentido, este sistema funciona sólo mientras\(P\) y ambos\(Q\) son positivos). Ahora supongamos\(P(0)=P_0>0\) y\(Q(0)=Q_0>0\). Se puede demostrar (Ejercicio 10.4.42) que hay una constante positiva\(\rho\) tal que si\((P_0,Q_0)\) está por encima de la línea\(L\) a través del origen con pendiente\(\rho\), entonces la especie con población\(P\) se extingue en tiempo finito, pero si\((P_0,Q_0)\) está por debajo\(L\), la especie con población\(Q\) se extingue en tiempo finito. La figura 1.1.3 ilustra esto. Las curvas que allí se muestran están dadas paramétricamente por\(P=P(t), Q=Q(t),\ t>0\). Las flechas indican la dirección a lo largo de las curvas con el aumento\(t\).
