3.3E: El Método Runge-Kutta (Ejercicios)

La mayoría de los siguientes ejercicios numéricos implican problemas de valor inicial considerados en los ejercicios de las Secciones 3.2. Te resulta instructivo comparar los resultados que obtengas aquí con los resultados correspondientes que hayas obtenido en esas secciones.

Q3.3.1

En Ejercicios 3.3.1 - 3.3.5 utilizar el método Runge-Kutta para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en los puntos\(x_i=x_0+ih,\) donde\(x_0\) está el punto donde se impone la condición inicial y\(i=1\),\(2\).

1. \(y'=2x^2+3y^2-2,\quad y(2)=1;\quad h=0.05\)

2. \(y'=y+\sqrt{x^2+y^2},\quad y(0)=1;\quad h=0.1\)

3. \(y'+3y=x^2-3xy+y^2,\quad y(0)=2;\quad h=0.05\)

4. \(y'= {1+x\over1-y^2},\quad y(2)=3;\quad h=0.1\)

5. \(y'+x^2y=\sin xy,\quad y(1)=\pi;\quad h=0.2\)

Q3.3.2

6. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

\[y'+3y=7e^{4x},\quad y(0)=2,\]

al\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\(y=e^{4x}+e^{-3x}\), los cuales pueden obtenerse por el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.3.1.

7. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

\[y'+{2\over x}y={3\over x^3}+1,\quad y(1)=1\]

al\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\). Comparar estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

\[y={1\over3x^2}(9\ln x+x^3+2),\]

que se puede obtener por el método de la Sección 2.1. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.3.1.

8. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.05\),\(h=0.025\), y\(h=0.0125\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

\[y'={y^2+xy-x^2\over x^2},\quad y(1)=2\]

al\(x=1.0\),\(1.05\),\(1.10\),\(1.15\)...,\(1.5\). Comparar estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

\[y={x(1+x^2/3)\over1-x^2/3},\]

que se obtuvo en el Ejemplo

Ejemplo 3.3E.1 :

Agrega texto aquí. Para que el número automático funcione, es necesario agregar la plantilla “AutoNum” (preferiblemente en 2.2.3}. Presente sus resultados en una tabla como la Tabla 3.3.1.

9. En Ejemplo

Ejemplo 3.3E.1 :

Agrega texto aquí. Para que el número automático funcione, es necesario agregar la plantilla “AutoNum” (preferiblemente en 2.2.3} se demostró que

\[y^5+y=x^2+x-4\]

es una solución implícita del problema de valor inicial

\[y'={2x+1\over5y^4+1},\quad y(2)=1. \tag{A}\]

Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en\(x=2.0\),\(2.1\),\(2.2\),\(2.3\),...,\(3.0\). Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual

\[R(x,y)=y^5+y-x^2-x+4\]

por cada valor de\((x,y)\) aparecer en la primera tabla.

10. Se puede ver en Ejemplo

Ejemplo 3.3E.1 :

Agrega texto aquí. Para que el número automático funcione, es necesario agregar la plantilla “AutoNum” (preferiblemente en 2.5.1} que

\[x^4y^3+x^2y^5+2xy=4\]

es una solución implícita del problema de valor inicial

\[y'=-{4x^3y^3+2xy^5+2y\over3x^4y^2+5x^2y^4+2x},\quad y(1)=1. \tag{A}\]

Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de (A) en\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\). Presente sus resultados en forma tabular. Para verificar el error en estos valores aproximados, construya otra tabla de valores del residual

\[R(x,y)=x^4y^3+x^2y^5+2xy-4\]

por cada valor de\((x,y)\) aparecer en la primera tabla.

11. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

\[(3y^2+4y)y'+2x+\cos x=0, \quad y(0)=1 \quad\text{(Exercise 2.2.13)}\]

al\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\).

12. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial

\[y'+{(y+1)(y-1)(y-2)\over x+1}=0, \quad y(1)=0 \quad\text{(Exercise 2.2.14)}\]

al\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...,\(2.0\).

13. Utilice el método Runge-Kutta y el método semilineal Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\)\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución del problema del valor inicial

\[y'+3y=e^{-3x}(1-4x+3x^2-4x^3),\quad y(0)=-3\]

al\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),\(0.3\),...,\(1.0\). Compare estos valores aproximados con los valores de la solución exacta\(y=-e^{-3x}(3-x+2x^2-x^3+x^4)\), los cuales pueden obtenerse por el método de la Sección 2.1. ¿Te das cuenta de algo especial en los resultados? Explique.

Q3.3.3

Los problemas de valor inicial lineal en los Ejercicios 3.3.14—3.3.19 no pueden resolverse exactamente en términos de funciones elementales conocidas. En cada ejercicio utiliza los métodos semilineales Runge-Kutta y Runge-Kutta con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos finales) en el intervalo.

14. \(y'-2y= {1\over1+x^2},\quad y(2)=2\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([2,3]\)

15. \(y'+2xy=x^2,\quad y(0)=3\);\(h=0.2,0.1,0.05\) on\([0,2]\) (Ejercicio 2.1.38)

16. \( {y'+{1\over x}y={\sin x\over x^2},\quad y(1)=2;}\)\(h=0.2,0.1,0.05\)on\([1,3]\) (Ejercicio 2.1.39)

17. \( {y'+y={e^{-x}\tan x\over x},\quad y(1)=0;}\)\(h=0.05,0.025,0.0125\)on\([1,1.5]\) (Ejercicio 2.1.40)

18. \( {y'+{2x\over 1+x^2}y={e^x\over (1+x^2)^2}, \quad y(0)=1};\)\(h=0.2,0.1,0.05\)on\([0,2]\) (Ejercicio 2.1.41)

19. \(xy'+(x+1)y=e^{x^2},\quad y(1)=2\);\(h=0.05,0.025,0.0125\) on\([1,1.5]\) (Ejercicio 2.1.42)

Q3.3.4

En Ejercicios 3.3.20—3.3.22 usa el método Runge-Kutta y el método semilineal Runge-Kutta con los tamaños de paso indicados para encontrar valores aproximados de la solución del problema de valor inicial dado en 11 puntos igualmente espaciados (incluyendo los puntos finales) en el intervalo.

20. \(y'+3y=xy^2(y+1),\quad y(0)=1\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([0,1]\)

21. \( {y'-4y={x\over y^2(y+1)},\quad y(0)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([0,1]\)

22. \( {y'+2y={x^2\over1+y^2},\quad y(2)=1}\);\(h=0.1,0.05,0.025\) en\([2,3]\)

Q3.3.5

23. Supongamos\(a<x_0\), así que\(-x_0<-a\). Use la regla de la cadena para mostrar que si\(z\) es una solución de

\[z'=-f(-x,z),\quad z(-x_0)=y_0,\]

en\([-x_0,-a]\), entonces\(y=z(-x)\) es una solución de

\[y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,\]

encendido\([a,x_0]\).

24. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de

\[y'={y^2+xy-x^2\over x^2},\quad y(2)=-1\]

al\(x=1.1\),\(1.2\),\(1.3\),...\(2.0\). Comparar estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

\[y={x(4-3x^2)\over4+3x^2},\]

que se puede obtener haciendo referencia al Ejemplo

Ejemplo 3.3E.1 :

Agrega texto aquí. Para que el número automático funcione, es necesario agregar la plantilla “AutoNum” (preferiblemente en 2.4.3}.

25. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de

\[y'=-x^2y-xy^2,\quad y(1)=1\]

al\(x=0\),\(0.1\),\(0.2\),...,\(1\).

26. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de

\[y'+{1\over x}y={7\over x^2}+3,\quad y(1)={3\over2}\]

al\(x=0.5\),\(0.6\),...,\(1.5\). Comparar estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

\[y={7\ln x\over x}+{3x\over2},\]

que se puede obtener por el método discutido en la Sección 2.1.

27. Utilice el método Runge-Kutta con tamaños de paso\(h=0.1\),\(h=0.05\), y\(h=0.025\) para encontrar valores aproximados de la solución de

\[xy'+2y=8x^2,\quad y(2)=5\]

al\(x=1.0\),\(1.1\),\(1.2\),...,\(3.0\). Comparar estos valores aproximados con los valores de la solución exacta

\[y=2x^2-{12\over x^2},\]

que se puede obtener por el método discutido en la Sección 2.1.

28. Cuadratura Numérica (ver Ejercicio 3.1.23).

a. Derivar la fórmula de cuadratura

\[\int_a^bf(x)\,dx\approx {h\over6}(f(a)+f(b))+ {h\over3}\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+{2h\over3}\sum_{i=1}^n f\left(a+(2i-1)h/2\right) \tag{A}\]

(donde\(h=(b-a)/n)\) aplicando el método Runge-Kutta al problema de valor inicial

\[y'=f(x),\quad y(a)=0.\]

Esta fórmula en cuadratura se llama Regla de Simpson.

b. para varias opciones de\(a\),,\(b\),\(A\),\(B\)\(C\), y\(D\) aplicar (A) a\(f(x)=A+Bx+Cx+Dx^3\), con\(n = 10\),\(20\),\(40\),\(80\),\(160\),\(320\). Compara tus resultados con las respuestas exactas y explica lo que encuentras.

c. Para varias opciones de\(a\),,\(b\),\(A\),\(B\)\(C\),\(D\), y\(E\) aplicar (A) a\(f(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3+Ex^4\), con\(n=10,20,40,80,160,320\). Compara tus resultados con las respuestas exactas y explica lo que encuentras.