5.1: Ecuaciones Lineales Homogéneas

Se dice que una ecuación diferencial de segundo orden es lineal si se puede escribir como

\[\label{eq:5.1.1} y''+p(x)y'+q(x)y=f(x).\]

Llamamos a la\(f\) función de la derecha una función de forzamiento, ya que en aplicaciones físicas suele estar relacionada con una fuerza que actúa sobre algún sistema modelado por la ecuación diferencial. Decimos que la Ecuación\ ref {eq:5.1.1} es homogénea si\(f\equiv0\) o no homogénea si\(f\not\equiv0\). Dado que estas definiciones son como las definiciones correspondientes en la Sección 2.1 para la ecuación lineal de primer orden

\[\label{eq:5.1.2} y'+p(x)y=f(x),\]

es natural esperar similitudes entre los métodos de resolución de la Ecuación\ ref {eq:5.1.1} y la Ecuación\ ref {eq:5.1.2}. Sin embargo, resolver la Ecuación\ ref {eq:5.1.1} es más difícil que resolver la Ecuación\ ref {eq:5.1.2}. Por ejemplo, mientras Teorema 5.1.1 da una fórmula para la solución general de Ecuación\ ref {eq:5.1.2} en el caso donde\(f\equiv0\) y Teorema 5.1.2 da una fórmula para el caso donde\(f\not\equiv0\), no hay fórmulas para la solución general de Ecuación\ ref {eq:5.1.1} en cualquiera de los dos casos. Por lo tanto, debemos contentarnos con resolver ecuaciones lineales de segundo orden de formas especiales.

En la Sección 2.1 se consideró\(y'+p(x)y=0\) primero la ecuación homogénea, y luego se utilizó una solución no trivial de esta ecuación para encontrar la solución general de la ecuación no homogénea\(y'+p(x)y=f(x)\). Aunque la progresión del caso homogéneo al no homogéneo no es tan simple para la ecuación lineal de segundo orden, todavía es necesario resolver la ecuación homogénea

\[\label{eq:5.1.3} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

con el fin de resolver la ecuación no homogénea Ecuación\ ref {eq:5.1.1}. Esta sección está dedicada a la Ecuación\ ref {eq:5.1.3}.

El siguiente teorema da condiciones suficientes para la existencia y singularidad de soluciones de problemas de valor inicial para la Ecuación\ ref {eq:5.1.3}. Omitimos la prueba.

Teorema 5.1.1

Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en un intervalo abierto\((a,b),\) deja\(x_0\) ser cualquier punto adentro\((a,b),\) y dejar\(k_0\) y\(k_1\) ser números reales arbitrarios\(.\) Entonces el problema del valor inicial

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\ y(x_0)=k_0,\ y'(x_0)=k_1 \nonumber \]

tiene una solución única en\((a,b).\)

Ya que obviamente\(y\equiv0\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.1.3} la llamamos la solución trivial. Cualquier otra solución no es trivial. Bajo los supuestos del Teorema 5.1.1 , la única solución del problema de valor inicial

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\ y(x_0)=0,\ y'(x_0)=0 \nonumber \]

on\((a,b)\) es la solución trivial (Ejercicio 5.1.24).

Los siguientes tres ejemplos ilustran conceptos que desarrollaremos más adelante en esta sección. No debería preocuparse por cómo encontrar las soluciones dadas de las ecuaciones en estos ejemplos. Esto se explicará en secciones posteriores.

Ejemplo 5.1.1

Los coeficientes de\(y'\) y\(y\) en

\[\label{eq:5.1.4} y''-y=0\]

son las funciones constantes\(p\equiv0\) y\(q\equiv-1\), que son continuas en\((-\infty,\infty)\). Por lo tanto, el teorema 5.1.1 implica que cada problema de valor inicial para la ecuación\ ref {eq:5.1.4} tiene una solución única en\((-\infty,\infty)\).

1. Verifica eso\(y_1=e^x\) y\(y_2=e^{-x}\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.4} on\((-\infty,\infty)\).
2. Verificar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias,\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.1.4} on\((-\infty,\infty)\).
3. Resolver el problema de valor inicial\[\label{eq:5.1.5} y''-y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3.\]

Solución:

a. Si\(y_1=e^x\) entonces\(y_1'=e^x\) y\(y_1''=e^x=y_1\), así\(y_1''-y_1=0\). Si\(y_2=e^{-x}\), entonces\(y_2'=-e^{-x}\) y\(y_2''=e^{-x}=y_2\), así\(y_2''-y_2=0\).

b. Si\[\label{eq:5.1.6} y=c_1e^x+c_2e^{-x}\] entonces\[\label{eq:5.1.7} y'=c_1e^x-c_2e^{-x}\] y\[y''=c_1e^x+c_2e^{-x},\nonumber \]

así que\[\begin{aligned} y''-y&=(c_1e^x+c_2e^{-x})-(c_1e^x+c_2e^{-x})\\ &=c_1(e^x-e^x)+c_2(e^{-x}-e^{-x})=0\end{aligned}\nonumber \] para todos\(x\). Por lo tanto\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.1.4} on\((-\infty,\infty)\).

c.

Podemos resolver la Ecuación\ ref {eq:5.1.5} eligiendo\(c_1\) y\(c_2\) en la Ecuación\ ref {eq:5.1.6} para que\(y(0)=1\) y\(y'(0)=3\). El ajuste\(x=0\) en Ecuación\ ref {eq:5.1.6} y Ecuación\ ref {eq:5.1.7} muestra que esto es equivalente a

\[\begin{aligned} c_1+c_2&=1\\ c_1-c_2&=3.\end{aligned}\nonumber \]

Resolver estas ecuaciones rinde\(c_1=2\) y\(c_2=-1\). Por lo tanto\(y=2e^x-e^{-x}\) es la solución única de la Ecuación\ ref {eq:5.1.5} on\((-\infty,\infty)\).

Ejemplo 5.1.2

Que\(\omega\) sea una constante positiva. Los coeficientes de\(y'\) y\(y\) en

\[\label{eq:5.1.8} y''+\omega^2y=0\]

son las funciones constantes\(p\equiv0\) y\(q\equiv\omega^2\), que son continuas en\((-\infty,\infty)\). Por lo tanto, el teorema 5.1.1 implica que cada problema de valor inicial para la ecuación\ ref {eq:5.1.8} tiene una solución única en\((-\infty,\infty)\).

1. Verifica eso\(y_1=\cos\omega x\) y\(y_2=\sin\omega x\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.8} on\((-\infty,\infty)\).
2. Verificar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias entonces\(y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.1.8} on\((-\infty,\infty)\).
3. Resolver el problema de valor inicial\[\label{eq:5.1.9} y''+\omega^2y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3.\]

Solución:

a. Si\(y_1=\cos\omega x\) entonces\(y_1'=-\omega\sin\omega x\) y\(y_1''=-\omega^2\cos\omega x=-\omega^2y_1\), así\(y_1''+\omega^2y_1=0\). Si\(y_2=\sin\omega x\) entonces,\(y_2'=\omega\cos\omega x\) y\(y_2''=-\omega^2\sin\omega x=-\omega^2y_2\), así\(y_2''+\omega^2y_2=0\).

b. Si\[\label{eq:5.1.10} y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\] entonces\[\label{eq:5.1.11} y'=\omega(-c_1\sin\omega x+c_2\cos\omega x)\] y\[y''=-\omega^2(c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x),\nonumber \] así\[\begin{aligned} y''+\omega^2y&= -\omega^2(c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x) +\omega^2(c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x)\\ &=c_1\omega^2(-\cos\omega x+\cos\omega x)+ c_2\omega^2(-\sin\omega x+\sin\omega x)=0\end{aligned}\nonumber \] para todos\(x\). Por lo tanto\(y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.1.8} on\((-\infty,\infty)\).

c. Para resolver la Ecuación\ ref {eq:5.1.9}, debemos elegir\(c_1\) y\(c_2\) en la Ecuación\ ref {eq:5.1.10} para que\(y(0)=1\) y\(y'(0)=3\). Ajuste\(x=0\) en Ecuación\ ref {eq:5.1.10} y Ecuación\ ref {eq:5.1.11} muestra que\(c_1=1\) y\(c_2=3/\omega\). Por lo tanto

\[y=\cos\omega x+{3\over\omega}\sin\omega x\nonumber \]

es la solución única de la Ecuación\ ref {eq:5.1.9} on\((-\infty,\infty)\).

El teorema 5.1.1 implica que si\(k_0\) y\(k_1\) son números reales arbitrarios entonces el problema del valor inicial

\[\label{eq:5.1.12} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\]

tiene una solución única en un intervalo\((a,b)\) que contiene\(x_0\), siempre que\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) son continuos y no\(P_0\) tiene ceros encendidos\((a,b)\). Para ver esto, reescribimos la ecuación diferencial en la Ecuación\ ref {eq:5.1.12} como

\[y''+{P_1(x)\over P_0(x)}y'+{P_2(x)\over P_0(x)}y=0\nonumber \]

y aplicar Teorema 5.1.1 con\(p=P_1/P_0\) y\(q=P_2/P_0\).

Ejemplo 5.1.3

La ecuación

\[\label{eq:5.1.13} x^2y''+xy'-4y=0\]

tiene la forma de la ecuación diferencial en la Ecuación\ ref {eq:5.1.12}\(P_0(x)=x^2\), con\(P_1(x)=x\),\(P_2(x)=-4\), y, que son todas continuas en\((-\infty,\infty)\). Sin embargo, ya que\(P(0)=0\) debemos considerar soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.13} on\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\). Dado que no\(P_0\) tiene ceros en estos intervalos, el teorema 5.1.1 implica que el problema del valor inicial

\[x^2y''+xy'-4y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \]

tiene una solución única sobre\((0,\infty)\) si\(x_0>0\), o en\((-\infty,0)\) si\(x_0<0\).

1. Verificar que\(y_1=x^2\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.1.13} on\((-\infty,\infty)\) y\(y_2=1/x^2\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.1.13} on\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
2. Verificar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes entonces\(y=c_1x^2+c_2/x^2\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.1.13} on\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
3. Resolver el problema de valor inicial\[\label{eq:5.1.14} x^2y''+xy'-4y=0,\quad y(1)=2,\quad y'(1)=0.\]
4. Resolver el problema de valor inicial\[\label{eq:5.1.15} x^2y''+xy'-4y=0,\quad y(-1)=2,\quad y'(-1)=0.\]

Solución:

a. si\(y_1=x^2\) entonces\(y_1'=2x\) y\(y_1''=2\), así\[x^2y_1''+xy_1'-4y_1=x^2(2)+x(2x)-4x^2=0\nonumber \] por\(x\) dentro\((-\infty,\infty)\). Si\(y_2=1/x^2\), entonces\(y_2'=-2/x^3\) y\(y_2''=6/x^4\), así\[x^2y_2''+xy_2'-4y_2=x^2\left(6\over x^4\right)-x\left(2\over x^3\right)-{4\over x^2}=0\nonumber \] para\(x\) en\((-\infty,0)\) o\((0,\infty)\).

b. Si\[\label{eq:5.1.16} y=c_1x^2+{c_2\over x^2}\] entonces\[\label{eq:5.1.17} y'=2c_1x-{2c_2\over x^3}\] y\[y''=2c_1+{6c_2\over x^4},\nonumber \] así\[\begin{aligned} x^{2}y''+xy'-4y&=x^{2}\left(2c_{1}+\frac{6c_{2}}{x^{4}} \right)+x\left(2c_{1}x-\frac{2c_{2}}{x^{3}} \right)-4\left(c_{1}x^{2}+\frac{c_{2}}{x^{2}} \right) \\ &=c_{1}(2x^{2}+2x^{2}-4x^{2})+c_{2}\left(\frac{6}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}-\frac{4}{x^{2}} \right) \\ &=c_{1}\cdot 0+c_{2}\cdot 0 = 0 \end{aligned}\nonumber \] para\(x\) en\((-\infty,0)\) o\((0,\infty)\).

c. Para resolver la Ecuación\ ref {eq:5.1.14}, elegimos\(c_1\) y\(c_2\) en la Ecuación\ ref {eq:5.1.16} para que\(y(1)=2\) y\(y'(1)=0\). El ajuste\(x=1\) en Ecuación\ ref {eq:5.1.16} y Ecuación\ ref {eq:5.1.17} muestra que esto es equivalente a

\[\begin{aligned} \phantom{2}c_1+\phantom{2}c_2&=2\\ 2c_1-2c_2&=0.\end{aligned}\nonumber \]

Resolver estas ecuaciones rinde\(c_1=1\) y\(c_2=1\). Por lo tanto\(y=x^2+1/x^2\) es la solución única de la Ecuación\ ref {eq:5.1.14} on\((0,\infty)\).

d. podemos resolver la Ecuación\ ref {eq:5.1.15} eligiendo\(c_1\) y\(c_2\) en la Ecuación\ ref {eq:5.1.16} para que\(y(-1)=2\) y\(y'(-1)=0\). El ajuste\(x=-1\) en Ecuación\ ref {eq:5.1.16} y Ecuación\ ref {eq:5.1.17} muestra que esto es equivalente a

\[\begin{aligned} \phantom{-2}c_1+\phantom{2}c_2&=2\\ -2c_1+2c_2&=0.\end{aligned}\nonumber \]

Resolver estas ecuaciones rinde\(c_1=1\) y\(c_2=1\). Por lo tanto\(y=x^2+1/x^2\) es la solución única de la Ecuación\ ref {eq:5.1.15} on\((-\infty,0)\).

Aunque las fórmulas para las soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.14} y Ecuación\ ref {eq:5.1.15} son ambas\(y=x^2+1/x^2\), no debe concluir que estos dos problemas de valor inicial tienen la misma solución. Recuerde que una solución de un problema de valor inicial se define en un intervalo que contiene el punto inicial; por lo tanto, la solución de la Ecuación\ ref {eq:5.1.14} está\(y=x^2+1/x^2\) en el intervalo\((0,\infty)\), que contiene el punto inicial\(x_0=1\), mientras que la solución de la Ecuación\ ref {eq:5.1.15} está\(y=x^2+1/x^2\) en el intervalo\((-\infty,0)\), que contiene el punto inicial\(x_0=-1\).

La Solución General de una Ecuación Lineal Homogénea de Segundo Orden

Si\(y_1\) y\(y_2\) se definen en un intervalo\((a,b)\)\(c_1\) y y\(c_2\) son constantes, entonces

\[y=c_1y_1+c_2y_2\nonumber \]

es una combinación lineal de\(y_1\) y\(y_2\). Por ejemplo,\(y=2\cos x+7 \sin x\) es una combinación lineal de\(y_1= \cos x\) y\(y_2=\sin x\), con\(c_1=2\) y\(c_2=7\).

El siguiente teorema afirma un hecho que ya hemos verificado en Ejemplos 5.1.1 , 5.1.2 , 5.1.3 .

Teorema 5.1.2

Si\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones de la ecuación homogénea

\[\label{eq:5.1.18} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

en\((a,b),\) entonces cualquier combinación lineal

\[\label{eq:5.1.19} y=c_1y_1+c_2y_2\]

de\(y_1\) y también\(y_2\) es una solución\(\eqref{eq:5.1.18}\) de\((a,b).\)

Prueba

Si\[y=c_1y_1+c_2y_2\nonumber \] entonces\[y'=c_1y_1'+c_2y_2'\quad\text{ and} \quad y''=c_1y_1''+c_2y_2''.\nonumber \]

Por lo tanto

\[\begin{aligned} y''+p(x)y'+q(x)y&=(c_1y_1''+c_2y_2'')+p(x)(c_1y_1'+c_2y_2') +q(x)(c_1y_1+c_2y_2)\\ &=c_1\left(y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1\right) +c_2\left(y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2\right)\\ &=c_1\cdot0+c_2\cdot0=0,\end{aligned}\nonumber \]

ya que\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.18}.

Decimos que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\(\eqref{eq:5.1.18}\) on\((a,b)\) si cada solución de Ecuación\ ref {eq:5.1.18} on\((a,b)\) puede escribirse como una combinación lineal de\(y_1\) y\(y_2\) como en Ecuación\ ref {eq:5.1.19}. En este caso decimos que la Ecuación\ ref {eq:5.1.19} es solución general de\(\eqref{eq:5.1.18}\) on\((a,b)\).

Independencia Lineal

Necesitamos una manera de determinar si un conjunto dado\(\{y_1,y_2\}\) de soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.18} es un conjunto fundamental. La siguiente definición nos permitirá exponer las condiciones necesarias y suficientes para ello.

Decimos que dos funciones\(y_1\) y\(y_2\) definidas en un intervalo\((a,b)\) son linealmente independientes de\((a,b)\) si ninguna es un múltiplo constante de la otra en\((a,b)\). (En particular, esto quiere decir que tampoco puede ser la solución trivial de la Ecuación\ ref {eq:5.1.18}, ya que, por ejemplo, si\(y_1\equiv0\) pudiéramos escribir\(y_1=0y_2\).) También diremos que el conjunto\(\{y_1,y_2\}\) es linealmente independiente de\((a,b)\).

Teorema 5.1.3

Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en\((a,b).\) Luego un conjunto\(\{y_1,y_2\}\) de soluciones de

\[\label{eq:5.1.20} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

on\((a,b)\) es un conjunto fundamental si y solo si\(\{y_1,y_2\}\) es linealmente independiente en\((a,b).\)

Prueba

Presentaremos la prueba del teorema 5.1.3 en pasos dignos de considerar como teoremas por derecho propio. Sin embargo, primero interpretemos el Teorema 5.1.3 en términos de Ejemplos 5.1.1 , 5.1.2 , 5.1.3 .

Ejemplo 5.1.4

Dado que no\(e^x/e^{-x}=e^{2x}\) es constante, el teorema 5.1.3 implica que\(y=c_1e^x+c_2e^{-x}\) es la solución general de\(y''-y=0\) on\((-\infty,\infty)\).

Dado que no\(\cos\omega x/\sin\omega x=\cot\omega x\) es constante, el teorema 5.1.3 implica que\(y=c_1\cos\omega x+c_2\sin\omega x\) es la solución general de\(y''+\omega^2y=0\) on\((-\infty,\infty)\).

Dado que no\(x^2/x^{-2}=x^4\) es constante, el teorema 5.1.3 implica que\(y=c_1x^2+c_2/x^2\) es la solución general de\(x^2y''+xy'-4y=0\) on\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).

La fórmula de Wronskian y Abel

Para motivar un resultado que necesitamos para poder probar el Teorema 5.1.3 , veamos qué se requiere para demostrar que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.20} on\((a,b)\). Dejar\(x_0\) ser un punto arbitrario en\((a,b)\), y supongamos que\(y\) es una solución arbitraria de la Ecuación\ ref {eq:5.1.20} on\((a,b)\). Entonces\(y\) es la solución única del problema de valor inicial

\[\label{eq:5.1.21} y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1;\]

es decir,\(k_0\) y\(k_1\) son los números obtenidos mediante la evaluación\(y\) y\(y'\) en\(x_0\). Además,\(k_0\) y\(k_1\) puede ser cualquier número real, ya que el Teorema 5.1.1 implica que la Ecuación\ ref {eq:5.1.21} tiene una solución no importa cómo\(k_0\) y\(k_1\) son elegidos. Por lo tanto\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación\ ref {eq:5.1.20} sobre\((a,b)\) si y sólo si es posible escribir la solución de un problema de valor inicial arbitrario Ecuación\ ref {eq:5.1.21} como\(y=c_1y_1+c_2y_2\). Esto equivale a exigir que el sistema

\[\label{eq:5.1.22} \begin{array}{rcl} c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)&=k_0\\ c_1y_1'(x_0)+c_2y_2'(x_0)&=k_1 \end{array}\]

tiene una solución\((c_1,c_2)\) para cada elección de\((k_0,k_1)\). Tratemos de resolver la Ecuación\ ref {eq:5.1.22}.

Multiplicar la primera ecuación en la Ecuación\ ref {eq:5.1.22} por\(y_2'(x_0)\) y la segunda por\(y_2(x_0)\) rendimientos

\[\begin{aligned} c_1y_1(x_0)y_2'(x_0)+c_2y_2(x_0)y_2'(x_0)&= y_2'(x_0)k_0\\ c_1y_1'(x_0)y_2(x_0)+c_2y_2'(x_0)y_2(x_0)&= y_2(x_0)k_1,\end{aligned}\]

y restando la segunda ecuación aquí de los primeros rendimientos

\[\label{eq:5.1.23} \left(y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)\right)c_1= y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1.\]

Multiplicar la primera ecuación en la Ecuación\ ref {eq:5.1.22} por\(y_1'(x_0)\) y la segunda por\(y_1(x_0)\) rendimientos

\[\begin{aligned} c_1y_1(x_0)y_1'(x_0)+c_2y_2(x_0)y_1'(x_0)&= y_1'(x_0)k_0\\ c_1y_1'(x_0)y_1(x_0)+c_2y_2'(x_0)y_1(x_0)&= y_1(x_0)k_1,\end{aligned}\]

y restando la primera ecuación aquí de los segundos rendimientos

\[\label{eq:5.1.24} \left(y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)\right)c_2= y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0.\]

Si

\[y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)=0,\nonumber \]

es imposible satisfacer la Ecuación\ ref {eq:5.1.23} y la Ecuación\ ref {eq:5.1.24} (y por lo tanto la Ecuación\ ref {eq:5.1.22}) a menos que\(k_0\) y\(k_1\) suceda satisfacer

\[\begin{aligned} y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0&=0\\ y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1&=0.\end{aligned}\]

Por otro lado, si

\[\label{eq:5.1.25} y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)\ne0\]

podemos dividir la Ecuación\ ref {eq:5.1.23} y la Ecuación\ ref {eq:5.1.24} por la cantidad de la izquierda para obtener

\[\label{eq:5.1.26} \begin{array}{rcl} c_1&={y_2'(x_0)k_0-y_2(x_0)k_1\over y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)}\\ c_2&={y_1(x_0)k_1-y_1'(x_0)k_0\over y_1(x_0)y_2'(x_0)-y_1'(x_0)y_2(x_0)}, \end{array}\]

no importa cómo\(k_0\) y\(k_1\) sean elegidos. Esto nos motiva a considerar condiciones sobre\(y_1\) y\(y_2\) que implican Ecuación\ ref {eq:5.1.25}.

Teorema 5.1.4

Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en\((a,b),\) dejar\(y_1\) y\(y_2\) ser soluciones de

\[\label{eq:5.1.27} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

en\((a,b)\), y definir

\[\label{eq:5.1.28} W=y_1y_2'-y_1'y_2.\]

Que\(x_0\) sea cualquier punto en\((a,b).\) Entonces

\[\label{eq:5.1.29} W(x)=W(x_0) e^{-\int^x_{x_0}p(t)\:dt}, \quad a<x<b\]

Por lo tanto, o bien no\(W\) tiene ceros en\((a,b)\) o\(W\equiv0\) sobre\((a,b).\)

Prueba

Ecuación diferenciadora\ ref {eq:5.1.28} rendimientos

\[\label{eq:5.1.30} W'=y'_1y'_2+y_1y''_2-y'_1y'_2-y''_1y_2= y_1y''_2-y''_1y_2.\]

Dado que\(y_1\) y\(y_2\) ambos satisfacen la ecuación\ ref {eq:5.1.27},

\[y''_1 =-py'_1-qy_1\quad \text{and} \quad y''_2 =-py'_2-qy_2.\nonumber \]

Sustituyendo estos en Ecuación\ ref {eq:5.1.30} rendimientos

\[\begin{aligned} W'&= -y_1\bigl(py'_2+qy_2\bigr) +y_2\bigl(py'_1+qy_1\bigr) \\ &= -p(y_1y'_2-y_2y'_1)-q(y_1y_2-y_2y_1)\\ &= -p(y_1y'_2-y_2y'_1)=-pW.\end{aligned}\nonumber \]

Por lo tanto\(W'+p(x)W=0\); es decir,\(W\) es la solución del problema de valor inicial

\[y'+p(x)y=0,\quad y(x_0)=W(x_0).\nonumber \]

Te dejamos verificar por separación de variables que esto implica Ecuación\ ref {eq:5.1.29}. Si\(W(x_0)\ne0\), Ecuación\ ref {eq:5.1.29} implica que no\(W\) tiene ceros en\((a,b)\), ya que un exponencial nunca es cero. Por otro lado, si\(W(x_0)=0\), Ecuación\ ref {eq:5.1.29} implica que\(W(x)=0\) para todos\(x\) en\((a,b)\).

La función\(W\) definida en la Ecuación\ ref {eq:5.1.28} es la Wronskian de\(\{y_1,y_2\}\). Fórmula Ecuación\ ref {eq:5.1.29} es la fórmula de Abel.

El Wronskian de\(\{y_1,y_2\}\) suele escribirse como el determinante

\[W=\left| \begin{array}{cc} y_1 & y_2 \\ y'_1 & y'_2 \end{array} \right|.\nonumber \]

Las expresiones en la Ecuación\ ref {eq:5.1.26} para\(c_1\) y se\(c_2\) pueden escribir en términos de determinantes como

\[c_1={1\over W(x_0)} \left| \begin{array}{cc} k_0 & y_2(x_0) \\ k_1 & y'_2(x_0) \end{array} \right| \quad \text{and} \quad c_2={1\over W(x_0)} \left| \begin{array}{cc} y_1(x_0) & k_0 \\ y'_1(x_0) &k_1 \end{array} \right|.\nonumber \]

Si has tomado álgebra lineal puedes reconocer esto como regla de Cramer.

Ejemplo 5.1.5

Verifique la fórmula de Abel para las siguientes ecuaciones diferenciales y las soluciones correspondientes, de Ejemplos 5.1.1 , 5.1.2 , 5.1.3 .

1. \(y''-y=0;\quad y_1=e^x,\; y_2=e^{-x}\)
2. \(y''+\omega^2y=0;\quad y_1=\cos\omega x,\; y_2=\sin\omega x\)
3. \(x^2y''+xy'-4y=0;\quad y_1=x^2,\; y_2=1/x^2\)

Solución:

a. ya que\(p\equiv0\), podemos verificar la fórmula de Abel mostrando que\(W\) es constante, lo cual es cierto, ya que

\[W(x)=\left| \begin{array}{rr} e^x & e^{-x} \\ e^x & -e^{-x} \end{array} \right|=e^x(-e^{-x})-e^xe^{-x}=-2\nonumber \]

para todos\(x\).

b. nuevamente, ya que\(p\equiv0\), podemos verificar la fórmula de Abel mostrando que\(W\) es constante, lo cual es cierto, ya que

\[\begin{aligned} W(x)&={\left| \begin{array}{cc} \cos\omega x & \sin\omega x \\ -\omega\sin\omega x &\omega\cos\omega x \end{array} \right|}\\ &=\cos\omega x (\omega\cos\omega x)-(-\omega\sin\omega x)\sin\omega x\\ &=\omega(\cos^2\omega x+\sin^2\omega x)=\omega\end{aligned}\nonumber \]

para todos\(x\).

c. Computar el Wronskian de\(y_1=x^2\) y\(y_2=1/x^2\) directamente rinde

\[\label{eq:5.1.31} W=\left| \begin{array}{cc} x^2 & 1/x^2 \\ 2x & -2/x^3 \end{array} \right|=x^2\left(-{2\over x^3}\right)-2x\left(1\over x^2\right)=-{4\over x}.\]

Para verificar la fórmula de Abel reescribimos la ecuación diferencial como

\[y''+{1\over x}y'-{4\over x^2}y=0\nonumber \]

para ver eso\(p(x)=1/x\). Si\(x_0\) y\(x\) están ambos en\((-\infty,0)\) o ambos en\((0,\infty)\) entonces

\[\int_{x_0}^x p(t)\,dt=\int_{x_0}^x {dt\over t}=\ln\left(x\over x_0\right),\nonumber \]

así que la fórmula de Abel se convierte

\[\begin{aligned} W(x)&=W(x_0)e^{-\ln(x/x_0)}=W(x_0){x_0\over x}\\ &=-\left(4\over x_0\right)\left(x_0\over x\right)\quad \text{from} \eqref{eq:5.1.31}\\ &=-{4\over x},\end{aligned}\nonumber \]

que es consistente con la Ecuación\ ref {eq:5.1.31}.

El siguiente teorema nos permitirá completar la prueba del Teorema 5.1.3 .

Teorema 5.1.5

Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en un intervalo abierto\((a,b),\) dejar\(y_1\) y\(y_2\) ser soluciones de

\[\label{eq:5.1.32} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

on\((a,b),\) y let\(W=y_1y_2'-y_1'y_2.\) Entonces\(y_1\) y\(y_2\) son linealmente independientes de\((a,b)\) si y solo si no\(W\) tiene ceros en\((a,b).\)

Prueba

Primero mostramos que si\(W(x_0)=0\) para algunos\(x_0\) en\((a,b)\), entonces\(y_1\) y\(y_2\) son linealmente dependientes de\((a,b)\). Dejar\(I\) ser un subintervalo de\((a,b)\) sobre el que no\(y_1\) tiene ceros. (Si no hay tal subintervalo,\(y_1\equiv0\) on\((a,b)\), así\(y_1\) y\(y_2\) son linealmente independientes, y estamos terminados con esta parte de la prueba.) Luego\(y_2/y_1\) se define en\(I\), y

\[\label{eq:5.1.33} \left(y_2\over y_1\right)'={y_1y_2'-y_1'y_2\over y_1^2}={W\over y_1^2}.\]

Sin embargo, si\(W(x_0)=0\), Teorema 5.1.4 implica que\(W\equiv0\) en\((a,b)\). Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:5.1.33} implica que\((y_2/y_1)'\equiv0\), así\(y_2/y_1=c\) (constante) on\(I\). Esto demuestra que\(y_2(x)=cy_1(x)\) para todos\(x\) en\(I\). No obstante, queremos mostrar eso\(y_2=cy_1(x)\) para todos\(x\) en\((a,b)\). Vamos\(Y=y_2-cy_1\). Entonces\(Y\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.1.32} sobre\((a,b)\) tal que\(Y\equiv0\) en\(I\), y por lo tanto\(Y'\equiv0\) en\(I\). En consecuencia, si\(x_0\) se elige arbitrariamente en\(I\) entonces\(Y\) es una solución del problema de valor inicial

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad y(x_0)=0,\quad y'(x_0)=0,\nonumber \]

lo que implica que\(Y\equiv0\) on\((a,b)\), por el párrafo siguiente Teorema 5.1.1 . (Ver también Ejercicio 5.1.24). De ahí,\(y_2-cy_1\equiv0\) en\((a,b)\), lo que implica eso\(y_1\) y no\(y_2\) son linealmente independientes de\((a,b)\).

Ahora supongamos que no\(W\) tiene ceros encendida\((a,b)\). Entonces no\(y_1\) puede ser idénticamente cero en\((a,b)\) (¿por qué no?) , y por lo tanto hay un subintervalo\(I\) de\((a,b)\) sobre el cual no\(y_1\) tiene ceros. Dado que la ecuación\ ref {eq:5.1.33} implica que no\(y_2/y_1\) es constante on\(I\),\(y_2\) no es un múltiplo constante de\(y_1\) on\((a,b)\). Un argumento similar muestra que\(y_1\) no es un múltiplo constante de\(y_2\) on\((a,b)\), ya que

\[\left(y_1\over y_2\right)'={y_1'y_2-y_1y_2'\over y_2^2}=-{W\over y_2^2}\nonumber \]

en cualquier subintervalo de\((a,b)\) donde no\(y_2\) tenga ceros.

Ya podemos completar la prueba del Teorema 5.1.3 . Del Teorema 5.1.5 , dos soluciones\(y_1\) y\(y_2\) de Ecuación\ ref {eq:5.1.32} son linealmente independientes de\((a,b)\) si y solo si no\(W\) tiene ceros activados\((a,b)\). Del Teorema 5.1.4 y los comentarios motivadores que lo preceden,\(\{y_1,y_2\}\) se encuentra un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.1.32} si y solo si no\(W\) tiene ceros encendidos\((a,b)\). Por lo tanto\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental para la Ecuación\ ref {eq:5.1.32} en\((a,b)\) si y solo si\(\{y_1,y_2\}\) es linealmente independiente on\((a,b)\).

El siguiente teorema resume las relaciones entre los conceptos discutidos en esta sección.

Teorema 5.1.6

Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en un intervalo abierto\((a,b)\) y dejar\(y_1\) y\(y_2\) ser soluciones de

\[\label{eq:5.1.34} y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

on\((a,b).\) Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes\(;\) que es que o bien\(,\) son todas verdaderas o todas falsas\(.\)

1. La solución general de\(\eqref{eq:5.1.34}\) on\((a,b)\) es\(y=c_1y_1+c_2y_2\).
2. \(\{y_1,y_2\}\)es un conjunto fundamental de soluciones de\(\eqref{eq:5.1.34}\) on\((a,b).\)
3. \(\{y_1,y_2\}\)es linealmente independiente en\((a,b).\)
4. El Wronskian de\(\{y_1,y_2\}\) es distinto de cero en algún momento en\((a,b).\)
5. El Wronskian de\(\{y_1,y_2\}\) es distinto de cero en todos los puntos en\((a,b).\)

Podemos aplicar este teorema a una ecuación escrita como

\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0\nonumber \]

en un intervalo\((a,b)\) donde\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) son continuos y no\(P_0\) tiene prueba zeros.dd aquí y automáticamente se ocultará

Teorema 5.1.7

Supongamos que\(c\) está en\((a,b)\)\(\alpha\) y y\(\beta\) son números reales, no ambos cero. Bajo los supuestos del Teorema 5.1.7 , supongamos\(y_{1}\) y\(y_{2}\) son soluciones de la Ecuación\ ref {eq:5.1.34} tal que

\[\label{eq:5.1.35} \alpha y_{1}(c)+\beta y_{1}'(c)=0\quad\text{and}\quad \alpha y_{2}(c)+\beta y_{2}'(c)=0.\]

Entonces\(\{y_{1},y_{2}\}\) no es linealmente independiente de\((a,b).\)

Prueba

Dado que\(\alpha\) y no\(\beta\) son ambos cero, la ecuación\ ref {eq:5.1.35} implica que

\[\left|\begin{array}{ccccccc} y_{1}(c)&y_{1}'(c)\\y_{2}(c)& y_{2}'(c) \end{array}\right|=0, \quad\text{so}\quad \left|\begin{array}{cccccc} y_{1}(c)&y_{2}(c)\\ y_{1}'(c)&y_{2}'(c) \end{array}\right|=0\nonumber \]

y Teorema 5.1.6 implica la conclusión declarada.