5.1E: Ecuaciones Lineales Homogéneas (Ejercicios)

Q5.1.1

1.

1. Verificar eso\(y_1=e^{2x}\) y\(y_2=e^{5x}\) son soluciones de\[y''-7y'+10y=0 \tag{A}\] on\((-\infty,\infty)\).
2. Verificar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias entonces\(y=c_1e^{2x}+c_2e^{5x}\) es una solución de (A) on\((-\infty,\infty)\).
3. Resolver el problema de valor inicial\[y''-7y'+10y=0,\quad y(0)=-1,\quad y'(0)=1.\nonumber \]
4. Resolver el problema de valor inicial\[y''-7y'+10y=0,\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\nonumber \]

2.

1. Verificar eso\(y_1=e^x\cos x\) y\(y_2=e^x\sin x\) son soluciones de\[y''-2y'+2y=0 \tag{A}\] on\((-\infty,\infty)\).
2. Verificar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias entonces\(y=c_1e^x\cos x+c_2e^x\sin x\) es una solución de (A) on\((-\infty,\infty)\).
3. Resolver el problema de valor inicial\[y''-2y'+2y=0,\quad y(0)=3,\quad y'(0)=-2.\nonumber \]
4. Resolver el problema de valor inicial\[y''-2y'+2y=0,\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\nonumber \]

3.

1. Verificar eso\(y_1=e^x\) y\(y_2=xe^x\) son soluciones de\[y''-2y'+y=0 \tag{A}\] on\((-\infty,\infty)\).
2. Verificar que si\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias entonces\(y=e^x(c_1+c_2x)\) es una solución de (A) on\((-\infty,\infty)\).
3. Resolver el problema de valor inicial\[y''-2y'+y=0,\quad y(0)=7,\quad y'(0)=4.\nonumber \]
4. Resolver el problema de valor inicial\[y''-2y'+y=0,\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\nonumber \]

4.

1. Verificar eso\(y_1=1/(x-1)\) y\(y_2=1/(x+1)\) son soluciones de\[(x^2-1)y''+4xy'+2y=0 \tag{A}\] on\((-\infty,-1)\),\((-1,1)\), y\((1,\infty)\). ¿Cuál es la solución general de (A) en cada uno de estos intervalos?
2. Resolver el problema de valor inicial\[(x^2-1)y''+4xy'+2y=0,\quad y(0)=-5,\quad y'(0)=1.\nonumber \] ¿Cuál es el intervalo de validez de la solución?
3. Grafique la solución del problema de valor inicial.
4. Verificar la fórmula de Abel para\(y_1\) y\(y_2\), con\(x_0=0\).

5. Calentar los Wronskians de los conjuntos de funciones dados.

1. \(\{1, e^{x}\}\)
2. \(\{e^{x}, e^{x}\sin x\}\)
3. \(\{x+1, x^{2}+2\}\)
4. \(\{x^{1/2}, x^{-1/3}\}\)
5. \(\{\frac{\sin x}{x},\frac{\cos x}{x}\}\)
6. \(\{x\ln |x|, x^{2}\ln |x|\}\)
7. \(\{e^{x}\cos\sqrt{x}, e^{x}\sin\sqrt{x}\}\)

6. Encuentre el Wronskian de un conjunto dado\(\{y_1,y_2\}\) de soluciones de

\[y''+3(x^2+1)y'-2y=0,\nonumber \]

dado eso\(W(\pi)=0\).

7. Encuentre el Wronskian de un conjunto dado\(\{y_1,y_2\}\) de soluciones de

\[(1-x^2)y''-2xy'+\alpha(\alpha+1)y=0,\nonumber \]

dado eso\(W(0)=1\). (Esta es la ecuación de Legendre.)

8. Encuentre el Wronskian de un conjunto dado\(\{y_1,y_2\}\) de soluciones de

\[x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0 ,\nonumber \]

dado eso\(W(1)=1\). (Esta es la ecuación de Bessel.)

9. (Este ejercicio muestra que si conoces una solución no trivial de\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\), puedes usar la fórmula de Abel para encontrar otra.)

Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos y\(y_1\) es una solución de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{A}\]

que no tiene ceros encendida\((a,b)\). Dejar\(P(x)=\int p(x)\,dx\) ser cualquier antiderivado de\(p\) on\((a,b)\).

1. Mostrar que si\(K\) es una constante arbitraria distinta de cero y\(y_2\) satisface\[y_1y_2'-y_1'y_2=Ke^{-P(x)} \tag{B}\] on\((a,b)\), entonces\(y_2\) también satisface (A) on\((a,b)\), y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones en (A) on\((a,b)\).
2. Concluir de (a) que si\(y_2=uy_1\) donde\(u'=K{e^{-P(x)}\over y_1^2(x)}\), entonces\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en adelante\((a,b)\).

Q5.1.2

En Ejercicios 5.1.10-5.1.23 usa el método sugerido por el Ejercicio 5.1.9 para encontrar una segunda solución\(y_{2}\) que no sea un múltiplo constante de la solución\(y_{1}\). Elija\(K\) convenientemente para simplificar\(y_{2}\).

10. \(y''-2y'-3y=0\);\(y_1=e^{3x}\)

11. \(y''-6y'+9y=0\);\(y_1=e^{3x}\)

12. \(y''-2ay'+a^2y=0\)(\(a=\)constante);\(y_1=e^{ax}\)

13. \(x^2y''+xy'-y=0\);\(y_1=x\)

14. \(x^2y''-xy'+y=0\);\(y_1=x\)

15. \(x^2y''-(2a-1)xy'+a^2y=0\)(constante\(a=\) distinta de cero)\(x>0\);\(y_1=x^a\)

16. \(4x^2y''-4xy'+(3-16x^2)y=0\);\(y_1=x^{1/2}e^{2x}\)

17. \((x-1)y''-xy'+y=0\);\(y_1=e^x\)

18. \(x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0\);\(y_1=x\cos x\)

19. \(4x^2(\sin x)y''-4x(x\cos x+\sin x)y'+(2x\cos x+3\sin x)y=0\);\(y_1=x^{1/2}\)

20. \((3x-1)y''-(3x+2)y'-(6x-8)y=0\);\(y_1=e^{2x}\)

21. \((x^2-4)y''+4xy'+2y=0\);\(y_1={1\over x-2}\)

22. \((2x+1)xy''-2(2x^2-1)y'-4(x+1)y=0\);\(y_1={1\over x}\)

23. \((x^2-2x)y''+(2-x^2)y'+(2x-2)y=0\);\(y_1=e^x\)

Q5.1.3

24. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en un intervalo abierto\((a,b)\) y dejan entrar\(x_0\)\((a,b)\). Utilice el Teorema 5.1.1 para mostrar que la única solución del problema de valor inicial

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad y(x_0)=0,\quad y'(x_0)=0\nonumber \]

on\((a,b)\) es la solución trivial\(y\equiv0\).

25. Supongamos\(P_0\)\(P_1\),, y\(P_2\) son continuos\((a,b)\) y dejan entrar\(x_0\)\((a,b)\). Demostrar que si alguna de las siguientes afirmaciones es cierta entonces\(P_0(x)=0\) para algunos\(x\) en\((a,b)\).

1. El problema de valor inicial\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \] tiene más de una solución en\((a,b)\).
2. El problema de valor inicial\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0,\quad y(x_0)=0,\quad y'(x_0)=0\nonumber \] tiene una solución no trivial en\((a,b)\).

26. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en\((a,b)\)\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{A}\]

encendido\((a,b)\). Let

\[z_1=\alpha y_1+\beta y_2\quad\text{ and} \quad z_2=\gamma y_1+\delta y_2,\nonumber \]

donde\(\alpha\)\(\beta\),\(\gamma\), y\(\delta\) son constantes. Demostrar que si\(\{z_1,z_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en\((a,b)\) entonces así es\(\{y_1,y_2\}\).

27. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos\((a,b)\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{A}\]

encendido\((a,b)\). Let

\[z_1=\alpha y_1+\beta y_2\quad\text{ and} \quad z_2=\gamma y_1+\delta y_2,\nonumber \]

donde\(\alpha,\beta,\gamma\), y\(\delta\) son constantes. Demostrar que\(\{z_1,z_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) sobre\((a,b)\) si y solo si\(\alpha\gamma-\beta\delta\ne0\).

28. Supongamos que\(y_1\) es diferenciable en un intervalo\((a,b)\) y\(y_2=ky_1\), donde\(k\) es una constante. Demuestre que el Wronskian de\(\{y_1,y_2\}\) es idénticamente cero encendido\((a,b)\).

29. Let

\[y_1=x^3\quad\mbox{ and }\quad y_2=\left\{\begin{array}{rl} x^3,&x\ge 0,\\ -x^3,&x<0.\end{array}\right.\nonumber \]

1. Demostrar que el Wronskian de\(\{y_1,y_2\}\) está definido e idénticamente cero encendido\((-\infty,\infty)\).
2. Supongamos\(a<0<b\). Demostrar que\(\{y_1,y_2\}\) es linealmente independiente en\((a,b)\).
3. Utilice el Ejercicio 5.1.25b para demostrar que estos resultados no contradicen el Teorema 5.1.5, porque\(y_1\) ni ni\(y_2\) puede ser una solución de una ecuación\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\nonumber \] sobre\((a,b)\) si\(p\) y\(q\) son continuos en\((a,b)\).

30. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos\((a,b)\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto de soluciones de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\nonumber \]

en\((a,b)\) tal que cualquiera\(y_1(x_0)=y_2(x_0)=0\) o\(y_1'(x_0)=y_2'(x_0)=0\) para algunos\(x_0\) en\((a,b)\). Demostrar\(\{y_1,y_2\}\) que depende linealmente de\((a,b)\).

31. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos\((a,b)\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0\nonumber \]

encendido\((a,b)\). Demostrar que si\(y_1(x_1)=y_1(x_2)=0\), donde\(a<x_1<x_2<b\), entonces\(y_2(x)=0\) para algunos\(x\) en\((x_1,x_2)\).

32. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en\((a,b)\) y cada solución de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{A}\]

on se\((a,b)\) puede escribir como una combinación lineal de las funciones dos veces diferenciables\(\{y_1,y_2\}\). Utilice el Teorema 5.1.1 para demostrar que\(y_1\) y\(y_2\) son en sí mismas soluciones de (A) en\((a,b)\).

33. Supongamos\(p_1\)\(p_2\)\(q_1\),,, y\(q_2\) son continuos\((a,b)\) y las ecuaciones

\[y''+p_1(x)y'+q_1(x)y=0 \quad \text{and} \quad y''+p_2(x)y'+q_2(x)y=0\nonumber \]

tener las mismas soluciones en\((a,b)\). Demuestre eso\(p_1=p_2\) y así\(q_1=q_2\) sucesivamente\((a,b)\).

34. (Para este ejercicio hay que conocer\(3\times 3\) los determinantes.) Demostrar que si\(y_1\) y\(y_2\) son dos veces continuamente diferenciables en\((a,b)\) y el Wronskian\(W\) de no\(\{y_1,y_2\}\) tiene ceros en\((a,b)\) entonces la ecuación

\[\frac{1}{W} \left| \begin{array}{ccc} y & y_1 & y_2 \\ y' & y'_1 & y'_2 \\ y'' & y_1'' & y_2'' \end{array} \right|=0\nonumber \]

se puede escribir como

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0, \tag{A}\]

donde\(p\) y\(q\) son continuos\((a,b)\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) on\((a,b)\).

35. Utilice el método sugerido por el Ejercicio 5.1.34 para encontrar una ecuación lineal homogénea para la cual las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones en algún intervalo.

1. \(e^{x}\cos 2x, e^{x}\sin 2x\)
2. \(x, e^{2x}\)
3. \(x, x\ln x\)
4. \(\cos (\ln x), \sin (\ln x)\)
5. \(\cosh x, \sinh x\)
6. \(x^{2}-1, x^{2}+1\)

36. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos\((a,b)\) y\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{A}\]

encendido\((a,b)\). Demuestre que si\(y\) es una solución de (A) encendido\((a,b)\), hay exactamente una manera de elegir\(c_1\) y\(c_2\) así\(y=c_1y_1+c_2y_2\) sucesivamente\((a,b)\).

37. Supongamos\(p\) y\(q\) son continuos en\((a,b)\) y\(x_0\) están en\((a,b)\). Dejar\(y_1\) y\(y_2\) ser las soluciones de

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \tag{A}\]

tal que

\[y_1(x_0)=1, \quad y'_1(x_0)=0\quad \text{and} \quad y_2(x_0)=0,\; y'_2(x_0)=1.\nonumber \]

(Teorema 5.1.1 implica que cada uno de estos problemas de valor inicial tiene una solución única en\((a,b)\).)

1. Demostrar que\(\{y_1,y_2\}\) es linealmente independiente en\((a,b)\).
2. Demostrar que una solución arbitraria\(y\) de (A) on\((a,b)\) puede escribirse como\(y=y(x_0)y_1+y'(x_0)y_2\).
3. Expresar la solución del problema del valor inicial\[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \] como una combinación lineal de\(y_1\) y\(y_2\).

38. Encontrar soluciones\(y_1\) y\(y_2\) de la ecuación\(y''=0\) que satisfaga las condiciones iniciales

\[y_1(x_0)=1, \quad y'_1(x_0)=0 \quad \text{and} \quad y_2(x_0)=0, \quad y'_2(x_0)=1.\nonumber \]

Luego usa el Ejercicio 5.1.37 (c) para escribir la solución del problema de valor inicial

\[y''=0,\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \]

como una combinación lineal de\(y_1\) y\(y_2\).

39. \(x_0\)Déjese ser un número real arbitrario. Dado (Ejemplo 5.1.1) que\(e^x\) y\(e^{-x}\) son soluciones de\(y''-y=0\), encontrar soluciones\(y_1\) y\(y_2\) de\(y''-y=0\) tal manera que

\[y_1(x_0)=1, \quad y'_1(x_0)=0\quad \text{and} \quad y_2(x_0)=0,\; y'_2(x_0)=1.\nonumber \]

Luego usa el Ejercicio 5.1.37 (c) para escribir la solución del problema de valor inicial

\[y''-y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \]

como una combinación lineal de\(y_1\) y\(y_2\).

40. \(x_0\)Déjese ser un número real arbitrario. Dado (Ejemplo 5.1.2) que\(\cos\omega x\) y\(\sin\omega x\) son soluciones de\(y''+\omega^2y=0\), encontrar soluciones de\(y''+\omega^2y=0\) tal manera que

\[y_1(x_0)=1, \quad y'_1(x_0)=0\quad\text{ and} \quad y_2(x_0)=0,\; y'_2(x_0)=1.\nonumber \]

Luego usa el Ejercicio 5.1.37 (c) para escribir la solución del problema de valor inicial

\[y''+\omega^2y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \]

como una combinación lineal de\(y_1\) y\(y_2\). Usar las identidades

\[\begin{aligned} \cos(A+B)&=\cos A\cos B-\sin A\sin B\\ \sin(A+B)&=\sin A\cos B+\cos A\sin B\end{aligned}\nonumber \]

para simplificar sus expresiones para\(y_1\),\(y_2\), y\(y\).

41. Recordemos del Ejercicio 5.1.4 que\(1/(x-1)\) y\(1/(x+1)\) son soluciones de

\[(x^2-1)y''+4xy'+2y=0 \tag{A}\]

encendido\((-1,1)\). Encuentre soluciones de (A) de tal manera que

\[y_1(0)=1, \quad y'_1(0)=0\quad \text{and} \quad y_2(0)=0,\; y'_2(0)=1.\nonumber \]

Luego usa el Ejercicio 5.1.37 (c) para escribir la solución del problema de valor inicial

\[(x^2-1)y''+4xy'+2y=0,\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \]

como una combinación lineal de\(y_1\) y\(y_2\).

42.

1. Verificar eso\(y_1=x^2\) y\(y_2=x^3\) satisfacer\[x^2y''-4xy'+6y=0 \tag{A}\]\((-\infty,\infty)\) y que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
2. Dejemos\(a_1\)\(a_2\),\(b_1\),, y\(b_2\) sean constantes. Demostrar que\[y=\left\{\begin{array}{rr} a_1x^2+a_2x^3,&x\ge 0,\\ b_1x^2+b_2x^3,&x<0\phantom{,} \end{array}\right.\nonumber \] es una solución de (A) sobre\((-\infty,\infty)\) si y solo si\(a_1=b_1\). A partir de esto, justificar la afirmación que\(y\) es una solución de (A) sobre\((-\infty,\infty)\) si y sólo si\[y=\left\{\begin{array}{rr} c_1x^2+c_2x^3,&x\ge 0,\\ c_1x^2+c_3x^3,&x<0, \end{array}\right.\nonumber \] donde\(c_1\),\(c_2\), y\(c_3\) son constantes arbitrarias.
3. ¿Para qué valores de\(k_0\) y\(k_1\) tiene solución el problema\[x^2y''-4xy'+6y=0,\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \] del valor inicial? ¿Cuáles son las soluciones?
4. Mostrar que si\(x_0\ne0\) y\(k_0,k_1\) son constantes arbitrarias, el problema del valor inicial\[x^2y''-4xy'+6y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1 \tag{B}\] tiene infinitamente muchas soluciones en\((-\infty,\infty)\). ¿En qué intervalo (B) tiene una solución única?

43.

1. Verificar eso\(y_1=x\) y\(y_2=x^2\) satisfacer\[x^2y''-2xy'+2y=0 \tag{A}\]\((-\infty,\infty)\) y que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
2. Dejemos\(a_1\)\(a_2\),\(b_1\),, y\(b_2\) sean constantes. Demostrar que\[y=\left\{\begin{array}{rr} a_1x+a_2x^2,&x\ge 0,\\ b_1x+b_2x^2,&x<0\phantom{,} \end{array}\right.\nonumber \] es una solución de (A) sobre\((-\infty,\infty)\) si y solo si\(a_1=b_1\) y\(a_2=b_2\). A partir de esto, justifican la afirmación de que la solución general de (A) on\((-\infty,\infty)\) es\(y=c_1x+c_2x^2\), dónde\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias.
3. ¿Para qué valores de\(k_0\) y\(k_1\) tiene solución el problema\[x^2y''-2xy'+2y=0,\quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \] del valor inicial? ¿Cuáles son las soluciones?
4. Mostrar que si\(x_0\ne0\) y\(k_0,k_1\) son constantes arbitrarias entonces el problema de valor inicial\[x^2y''-2xy'+2y=0,\quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1\nonumber \] tiene una solución única en\((-\infty,\infty)\).

44.

1. Verificar eso\(y_1=x^3\) y\(y_2=x^4\) satisfacer\[x^2y''-6xy'+12y=0 \tag{A}\] en\((-\infty,\infty)\), y ese\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de (A) en\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
2. Mostrar que\(y\) es una solución de (A) sobre\((-\infty,\infty)\) si y solo si\[y=\left\{\begin{array}{rr} a_1x^3+a_2x^4,&x\ge 0,\\ b_1x^3+b_2x^4,&x<0, \end{array}\right.\nonumber \] donde\(a_1\),\(a_2\),\(b_1\), y\(b_2\) son constantes arbitrarias.
3. ¿Para qué valores de\(k_0\) y\(k_1\) tiene solución el problema\[x^2y''-6xy'+12y=0, \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1\nonumber \] del valor inicial? ¿Cuáles son las soluciones?
4. Mostrar que si\(x_0\ne0\) y\(k_0,k_1\) son constantes arbitrarias entonces el problema del valor inicial\[x^2y''-6xy'+12y=0, \quad y(x_0)=k_0,\quad y'(x_0)=k_1 \tag{B}\] tiene infinitamente muchas soluciones en\((-\infty,\infty)\). ¿En qué intervalo (B) tiene una solución única?