5.5: El Método de Coeficientes Indeterminados II
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En esta sección consideramos la ecuación de coeficiente constante
\[\label{eq:5.5.1} ay''+by'+cy=e^{\lambda x}\left(P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x\right)\]
donde\(\lambda\) y\(\omega\) son números reales\(\omega\ne0\),,\(P\) y\(Q\) son polinomios. Queremos encontrar una solución particular de Ecuación\ ref {eq:5.5.1}. Al igual que en la Sección 5.4, el procedimiento que vamos a utilizar se denomina método de coeficientes indeterminados.
Forzar funciones sin factores exponenciales
Comenzamos con el caso donde\(\lambda=0\) en la Ecuación\ ref {eq:5.5.1}; así, queremos encontrar una solución particular de
\[\label{eq:5.5.2} ay''+by'+cy=P(x)\cos\omega x+Q(x)\sin\omega x,\]
donde\(P\) y\(Q\) son polinomios.
Diferenciación\(x^r\cos\omega x\) y\(x^r\sin\omega x\) rendimientos
\[{d\over dx}x^r\cos\omega x=-\omega x^r\sin\omega x+ rx^{r-1}\cos\omega x \nonumber \]
y
\[ {d\over dx}x^r\sin\omega x=\phantom{-}\omega x^r\cos\omega x+ rx^{r-1}\sin\omega x. \nonumber \]
Esto implica que si
\[y_p=A(x)\cos\omega x+B(x)\sin\omega x\nonumber \]
donde\(A\) y\(B\) son polinomios, entonces
\[ay_p''+by_p'+cy_p=F(x)\cos\omega x+G(x)\sin\omega x,\nonumber \]
donde\(F\) y\(G\) son polinomios con coeficientes que pueden expresarse en términos de los coeficientes de\(A\) y\(B\). Esto sugiere que tratamos de elegir\(A\) y\(B\) así que\(F=P\) y\(G=Q\), respectivamente. Entonces\(y_p\) será una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.2}. El siguiente teorema nos dice cómo elegir la forma adecuada para\(y_p\). Para la prueba véase Ejercicio 5.5.37.
Supongamos que\(\omega\) es un número positivo\(P\) y y\(Q\) son polinomios. Dejar\(k\) ser el mayor de los grados de\(P\) y\(Q.\) Luego la ecuación
\[ay''+by'+cy=P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x \nonumber \]
tiene una solución particular
\[\label{eq:5.5.3} y_p=A(x)\cos\omega x+B(x)\sin\omega x,\]
donde
\[A(x)=A_0+A_1x+\cdots+A_kx^k \quad \text{and} \quad B(x)=B_0+B_1x+\cdots+B_kx^k, \nonumber \]
siempre que\(\cos\omega x\) y no\(\sin\omega x\) sean soluciones de la ecuación complementaria. Las soluciones de
\[a(y''+\omega^2y)=P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x \nonumber \]
para lo cual\(\cos\omega x\) y\(\sin\omega x\) son soluciones de la ecuación complementaria son de la forma de Ecuación\ ref {eq:5.5.3}, donde
\[A(x)=A_0x+A_1x^2+\cdots+A_kx^{k+1} \quad \text{and} \quad B(x)=B_0x+B_1x^2+\cdots+B_kx^{k+1}. \nonumber \]
Para un análogo de este teorema que es aplicable a la Ecuación\ ref {eq:5.5.1}, ver Ejercicio 5.5.38.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.5.4} y''-2y'+y=5\cos2x+10\sin2x.\]
Solución
En la Ecuación\ ref {eq:5.5.4} los coeficientes de\(\cos2x\) y\(\sin2x\) son ambos polinomios de cero grados (constantes). Por lo tanto, el teorema 5.5.1 implica que la ecuación\ ref {eq:5.5.4} tiene una solución particular
\[y_p=A\cos2x+B\sin2x.\nonumber \]
Desde
\[y_p'=-2A\sin2x+2B\cos2x\quad \text{and} \quad y_p''=-4(A\cos2x+B\sin2x),\nonumber \]
reemplazando\(y\) por\(y_p\) en Ecuación\ ref {eq:5.5.4} rendimientos
\[\begin{aligned} y_p''-2y_p'+y_p&=-4(A\cos2x+B\sin2x)-4(-A\sin2x+B\cos2x) \\ &&+(A\cos2x+B\sin2x)\\ &= (-3A-4B)\cos2x+(4A-3B)\sin2x.\end{aligned}\nonumber \]
Equiparar los coeficientes de\(\cos2x\) y\(\sin2x\) aquí con los coeficientes correspondientes en el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:5.5.4} muestra que\(y_p\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.5.4} si
\[\begin{aligned} -3A-4B&=\phantom{1}5\phantom{.}\\ \phantom{-}4A-3B&=10.\end{aligned}\nonumber \]
Resolver estas ecuaciones rinde\(A=1\),\(B=-2\). Por lo tanto
\[y_p=\cos2x-2\sin2x\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.4}.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.5.5} y''+4y=8\cos2x+12\sin2x.\]
Solución
El procedimiento utilizado en el Ejemplo 5.5.1 no funciona aquí; sustituyendo\(y_p=A\cos2x+B\sin2x\) por\(y\) en la ecuación\ ref {eq:5.5.5} rinde
\[y_p''+4y_p=-4(A\cos2x+B\sin2x) +4(A\cos2x+B\sin2x)=0\nonumber \]
para cualquier elección de\(A\) y\(B\), ya que\(\cos2x\) y\(\sin2x\) son ambas soluciones de la ecuación complementaria para la Ecuación\ ref {eq:5.5.5}. Estamos tratando con el segundo caso mencionado en Teorema 5.5.1 , y por lo tanto debemos probar una solución particular de la forma
\[\label{eq:5.5.6} y_p=x(A\cos2x+B\sin2x).\]
Entonces\[\begin{aligned} y_p'&=A\cos2x+B\sin2x+2x(-A\sin2x+B\cos2x) \\ \text{and} y_p''&=-4A\sin2x+4B\cos2x-4x(A\cos2x+B\sin2x)\\ &=-4A\sin2x+4B\cos2x-4y_p \mbox{ (see \eqref{eq:5.5.6})},\end{aligned}\nonumber \]
por lo\[y_p''+4y_p=-4A\sin2x+4B\cos2x.\nonumber \]
Por lo tanto\(y_p\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.5.5} si\[-4A\sin2x+4B\cos2x=8\cos2x+12\sin2x,\nonumber \]
que sostiene si\(A=-3\) y\(B=2\). Por lo tanto\[y_p=-x(3\cos2x-2\sin2x)\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.5}.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.5.7} y''+3y'+2y=(16+20x)\cos x+10\sin x.\]
Solución
Los coeficientes de\(\cos x\) y\(\sin x\) en la Ecuación\ ref {eq:5.5.7} son polinomios de grado uno y cero, respectivamente. Por lo tanto el teorema 5.5.1 nos dice que busquemos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.7} de la forma
\[\label{eq:5.5.8} y_p=(A_0+A_1x)\cos x+(B_0+B_1x)\sin x.\]
Entonces\[\label{eq:5.5.9} y_p'=(A_1+B_0+B_1x)\cos x+(B_1-A_0-A_1x)\sin x\]
y\[\label{eq:5.5.10} y_p''=(2B_1-A_0-A_1x)\cos x-(2A_1+B_0+B_1x)\sin x,\]
por lo\[\label{eq:5.5.11} \begin{array}{rcl} y_p''+3y_p'+2y_p&=\left[A_0+3 A_1+3 B_0+2 B_1+(A_1+3 B_1)x\right]\cos x + \left[B_0+3 B_1-3 A_0-2 A_1+(B_1-3 A_1)x\right]\sin x. \end{array}\]
Comparando los coeficientes de\(x\cos x\),\(x\sin x\),\(\cos x\), y\(\sin x\) aquí con los coeficientes correspondientes en la Ecuación\ ref {eq:5.5.7} muestra que\(y_p\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.5.7} si\[\begin{array}{rcr} \phantom{-3}A_1+3B_1&=20\phantom{.}\\ -3A_1+\phantom{3}B_1&=0\phantom{.}\\ \phantom{-3}A_0+3B_0+3A_1+2B_1&=16\phantom{.}\\ -3A_0+\phantom{3}B_0-2A_1+3B_1&=10. \end{array}\nonumber \]
Resolver las dos primeras ecuaciones rinde\(A_1=2\),\(B_1=6\). Sustituyendo estos en las dos últimas ecuaciones rinde\[\begin{aligned} \phantom{-3}A_0+3B_0&=16-3A_1-2B_1=-2\phantom{.}\\ -3A_0+\phantom{3}B_0&=10+2A_1-3B_1=-4. \end{aligned}\nonumber \]
Resolver estas ecuaciones rinde\(A_0=1\),\(B_0=-1\). Sustituir\(A_0=1\),\(A_1=2\),\(B_0=-1\),\(B_1=6\) en la Ecuación\ ref {eq:5.5.8} muestra que\[y_p=(1+2x)\cos x-(1-6x)\sin x \nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.7}.Una observación útil
En Ecuaciones\ ref {eq:5.5.9},\ ref {eq:5.5.10}, y\ ref {eq:5.5.11} los polinomios que se multiplican\(\sin x\) pueden obtenerse reemplazando\(A_0,A_1,B_0\), y\(B_1\) por\(B_0\)\(B_1\),\(-A_0\),, y\(-A_1\), respectivamente, en los polinomios mutiplicando\(\cos x\). Un resultado análogo se aplica en general, de la siguiente manera (Ejercicio 5.5.36).
Si
\[y_p=A(x)\cos\omega x+B(x)\sin\omega x, \nonumber \]
donde\(A(x)\) y\(B(x)\) son polinomios con coeficientes\(A_0\)...,\(A_k\) y\(B_0\),...,\(B_k,\) entonces los polinomios multiplicándose\(\sin\omega x\) en\[y_p',\quad y_p'',\quad ay_p''+by_p'+cy_p \quad \text{and} \quad y_p''+\omega^2 y_p \nonumber\]
se puede obtener sustituyendo\(A_0\),...\(,\)\(A_k\) por\(B_0,\)...\(,\)\(B_k\) y\(B_0,\)\(-A_0,\)...\(,\)\(B_k\) por...\(,\)\(-A_k\) en los polinomios correspondientes multiplicándose\(\cos\omega x\).
No vamos a utilizar este teorema en nuestros ejemplos, pero te recomendamos que lo uses para comprobar tus manipulaciones cuando trabajes los ejercicios.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.5.12} y''+y=(8-4x)\cos x-(8+8x)\sin x.\]
Solución
Según el Teorema 5.5.1 , debemos buscar una solución particular de la forma
\[\label{eq:5.5.13} y_p=(A_0x+A_1x^2)\cos x+(B_0x+B_1x^2)\sin x,\]
ya que\(\cos x\) y\(\sin x\) son soluciones de la ecuación complementaria. Sin embargo, intentemos\[\label{eq:5.5.14} y_p=(A_0+A_1x)\cos x+(B_0+B_1x)\sin x\]
primero, para que veas por qué no funciona. De la ecuación\ ref {eq:5.5.10},\[y_p''=(2B_1-A_0-A_1x)\cos x-(2A_1+B_0+B_1x)\sin x, \nonumber\]
que junto con la Ecuación\ ref {eq:5.5.14} implica que\[y_p''+y_p=2B_1\cos x-2A_1\sin x. \nonumber\]
Dado que el lado derecho de esta ecuación no contiene\(x\cos x\) o\(x\sin x\), Ecuación\ ref {eq:5.5.14} no puede satisfacer la Ecuación\ ref {eq:5.5.12} no importa cómo elijamos\(A_0\),\(A_1\),\(B_0\), y\(B_1\).Ahora vamos a\(y_p\) ser como en la Ecuación\ ref {eq:5.5.13}. Entonces
\[\begin{aligned} y_p'&=\left[A_0+(2A_1+B_0)x+B_1x^2\right]\cos x\\ & +\left[B_0+(2B_1-A_0)x-A_1x^2\right]\sin x \end{aligned}\nonumber \]
y
\[\begin{aligned} y_p''&= \left[2A_1+2B_0-(A_0-4B_1)x-A_1x^2\right]\cos x\\ &+ \left[2B_1-2A_0-(B_0+4A_1)x-B_1x^2\right]\sin x,\end{aligned}\nonumber \]
por lo\[y_p''+y_p=(2A_1+2B_0+4B_1x)\cos x+(2B_1-2A_0-4A_1x)\sin x. \nonumber\]
Comparando los coeficientes de\(\cos x\) y\(\sin x\) aquí con los coeficientes correspondientes en la Ecuación\ ref {eq:5.5.12} muestra que\(y_p\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.5.12} si\[\begin{array}{rcr} \phantom{-}4B_1&=-4\phantom{.}\\ -4A_1&=-8\phantom{.}\\ \phantom{-}2B_0+2A_1&=8\phantom{.}\\ -2A_0+2B_1&=-8. \end{array}\nonumber \]
La solución de este sistema es\(A_1=2\),\(B_1=-1\),\(A_0=3\),\(B_0=2\). Por lo tanto\[y_p=x\left[(3+2x)\cos x+(2-x)\sin x\right] \nonumber\]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.12}.
Forzar funciones con factores exponenciales
Para encontrar una solución particular de
\[\label{eq:5.5.15} ay''+by'+cy=e^{\lambda x}\left(P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x\right)\]
cuando\(\lambda\ne0\), recordamos de la Sección 5.4 que la sustitución\(y=ue^{\lambda x}\) en la Ecuación\ ref {eq:5.5.15} producirá una ecuación de coeficiente constante para\(u\) con la función de forzamiento\(P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x\). Podemos encontrar una solución particular\(u_p\) de esta ecuación por el procedimiento que usamos en Ejemplos 5.5.1 - 5.5.4 . Entonces\(y_p=u_pe^{\lambda x}\) is a particular solution of Equation \ref{eq:5.5.15}.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.5.16} y''-3y'+2y=e^{-2x}\left[2\cos 3x-(34-150x)\sin 3x\right].\]
Vamos\(y=ue^{-2x}\). Entonces
\[\begin{aligned} y''-3y'+2y&=e^{-2x}\left[(u''-4u'+4u)-3(u'-2u)+2u\right]\\ &=e^{-2x}(u''-7u'+12u)\\ &= e^{-2x}\left[2\cos 3x-(34-150x)\sin 3x\right]\end{aligned}\nonumber \]
si\[\label{eq:5.5.17} u''-7u'+12u=2\cos 3x-(34-150x)\sin 3x.\]
Ya que\(\cos3x\) y\(\sin3x\) no son soluciones de la ecuación complementaria\[u''-7u'+12u=0,\nonumber \]
El teorema 5.5.1 nos dice que busquemos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.17} de la forma\[\label{eq:5.5.18} u_p=(A_0+A_1x)\cos 3x +(B_0+B_1x)\sin 3x.\]
Entonces\[\begin{aligned} u_p'&=(A_1+3B_0+3B_1x)\cos 3x+(B_1-3A_0-3A_1x)\sin 3x\\ \text{and} \qquad u_p''&=(-9A_0+6B_1-9A_1x)\cos 3x-(9B_0+6A_1+9B_1x)\sin 3x,\end{aligned}\nonumber \]
por lo\[\begin{aligned} u_p''-7u_p'+12u_p&=\left[3A_0-21B_0-7A_1+6B_1+(3A_1-21B_1)x\right]\cos 3x\\ &+\left[21A_0+3B_0-6A_1-7B_1+(21A_1+3B_1)x\right]\sin 3x.\end{aligned}\nonumber \]
Comparando los coeficientes de\(x\cos 3x\),\(x\sin 3x\),\(\cos 3x\), y\(\sin 3x\) aquí con los coeficientes correspondientes en el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:5.5.17} muestra que\(u_p\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.5.17} si\[\label{eq:5.5.19} \begin{array}{rcr} 3A_1-21B_1&=0\phantom{.}\\ 21A_1+\phantom{2}3B_1&=150\phantom{.}\\ 3A_0-21B_0-7A_1+\phantom{2}6B_1&=\phantom{-3}2\phantom{.}\\ 21A_0+\phantom{2}3B_0-6A_1-\phantom{5}7B_1&=-34. \end{array}\]
Resolver las dos primeras ecuaciones rinde\(A_1=7\),\(B_1=1\). Sustituyendo estos valores en las dos últimas ecuaciones de la Ecuación\ ref {eq:5.5.19} rinde\[\begin{aligned} \phantom{2}3A_0-21B_0&=\phantom{-3}2+7A_1-6B_1=45\phantom{.}\\ 21A_0+\phantom{2}3B_0&=-34+6A_1+7B_1=15.\end{aligned}\nonumber \]
Resolver este sistema rinde\(A_0=1\),\(B_0=-2\). Sustituir\(A_0=1\),\(A_1=7\),\(B_0=-2\), y\(B_1=1\) en la Ecuación\ ref {eq:5.5.18} muestra que\[u_p=(1+7x)\cos 3x-(2-x)\sin 3x\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.17}. Por lo tanto\[y_p=e^{-2x}\left[(1+7x)\cos 3x-(2-x)\sin 3x\right]\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.16}.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.5.20} y''+2y'+5y=e^{-x}\left[(6-16x)\cos2x-(8+8x)\sin2x\right].\]
Solución
Vamos\(y=ue^{-x}\). Entonces
\[\begin{aligned} y''+2y'+5y&=e^{-x}\left[(u''-2u'+u)+2(u'-u)+5u\right]\\ &=e^{-x}(u''+4u)\\ &= e^{-x}\left[(6-16x)\cos2x-(8+8x)\sin2x\right]\end{aligned}\nonumber \]
si\[\label{eq:5.5.21} u''+4u=(6-16x)\cos2x-(8+8x)\sin2x.\]
Dado que\(\cos2x\) y\(\sin2x\) son soluciones de la ecuación complementaria\[u''+4u=0,\nonumber \]
El teorema 5.5.1 nos dice que busquemos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.21} de la forma\[u_p=(A_0x+A_1x^2)\cos2x+(B_0x+B_1x^2)\sin2x.\nonumber \]
Entonces\[\begin{aligned} u_p'&=\left[A_0+(2A_1+2B_0)x+2B_1x^2\right]\cos2x \\ & +\left[B_0+(2B_1-2A_0)x-2A_1x^2\right]\sin2x\end{aligned}\nonumber \]
y
\[\begin{aligned} u_p''&=\left[2A_1+4B_0-(4A_0-8B_1)x-4A_1x^2\right]\cos2x\\ & +\left[2B_1-4A_0-(4B_0+8A_1)x-4B_1x^2\right]\sin2x,\end{aligned}\nonumber \]
por lo\[u_p''+4u_p=(2A_1+4B_0+8B_1x)\cos2x+(2B_1-4A_0-8A_1x)\sin2x.\nonumber\]
Equiparar los coeficientes de\(x\cos2x\),,\(x\sin2x\)\(\cos2x\), y\(\sin2x\) aquí con los coeficientes correspondientes en el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:5.5.21} muestra que\(u_p\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.5.21} si\[\label{eq:5.5.22} \begin{array}{rcr} 8B_1&=-16\phantom{.}\\ -8A_1&=-\phantom{1}8\phantom{.}\\ \phantom{-}4B_0+2A_1&=6\phantom{.}\\ -4A_0+2B_1&=-8. \end{array}\]
La solución de este sistema es\(A_1=1\),\(B_1=-2\),\(B_0=1\),\(A_0=1\). Por lo tanto\[u_p=x[(1+x)\cos2x+(1-2x)\sin2x]\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.21}, y\[y_p=xe^{-x}\left[(1+x)\cos2x+(1-2x)\sin2x\right]\nonumber \]
es una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.5.20}.También puede encontrar una solución particular de Ecuación\ ref {eq:5.5.20} sustituyendo
\[y_p=xe^{-x}\left[(A_0+A_1x)\cos 2x +(B_0+B_1x)\sin 2x\right]\nonumber \]
for\(y\) en Ecuación\ ref {eq:5.5.20} y equiparando los coeficientes de\(xe^{-x}\cos2x\)\(xe^{-x}\sin2x\),,\(e^{-x}\cos2x\), y\(e^{-x}\sin2x\) en la expresión resultante para\[y_p''+2y_p'+5y_p\nonumber \]
con los coeficientes correspondientes en el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:5.5.20}. (Ver Ejercicio 5.5.38). Esto lleva al mismo sistema Ecuación\ ref {eq:5.5.22} de ecuaciones para\(A_0\),\(A_1\),\(B_0\), y\(B_1\) que obtuvimos en Ejemplo 5.5.6 . Sin embargo, si intentas este enfoque verás que derivar la ecuación\ ref {eq:5.5.22} de esta manera es mucho más tedioso que la forma en que lo hicimos en Example 5.5.6 .