5.6: Reducción de Orden
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En esta sección damos un método para encontrar la solución general de
\[\label{eq:5.6.1} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F(x)\]
si conocemos una solución no trivial\(y_1\) de la ecuación complementaria
\[\label{eq:5.6.2} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0.\]
El método se llama reducción de orden porque reduce la tarea de resolver la Ecuación\ ref {eq:5.6.1} a resolver una ecuación de primer orden. A diferencia del método de coeficientes indeterminados, no requiere\(P_0\),\(P_1\), y\(P_2\) que sean constantes, o\(F\) que sean de alguna forma especial.
A estas alturas no te sorprendería que busquemos soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.6.1} en la forma
\[\label{eq:5.6.3} y=uy_1\]
donde\(u\) se va a determinar para que\(y\) satisfaga la Ecuación\ ref {eq:5.6.1}. Ecuación sustitutiva\ ref {eq:5.6.3} y
\[\begin{align*} y'&= u'y_1+uy_1' \\[4pt] y'' &= u''y_1+2u'y_1'+uy_1'' \end{align*}\]
en Ecuación\ ref {eq:5.6.1} rendimientos
\[P_0(x)(u''y_1+2u'y_1'+uy_1'')+P_1(x)(u'y_1+uy_1')+P_2(x)uy_1=F(x). \nonumber\]
Recopilación de los coeficientes de\(u\)\(u'\), y\(u''\) rendimientos
\[\label{eq:5.6.4} (P_0y_1)u''+(2P_0y_1'+P_1y_1)u'+(P_0y_1''+P_1y_1'+P_2y_1) u=F.\]
Sin embargo, el coeficiente de\(u\) es cero, ya que\(y_1\) satisface la Ecuación\ ref {eq:5.6.2}. Por lo tanto, la ecuación\ ref {eq:5.6.4} se reduce a
\[\label{eq:5.6.5} Q_0(x)u''+Q_1(x)u'=F,\]
con
\[Q_0=P_0y_1 \quad \text{and} \quad Q_1=2P_0y_1'+P_1y_1.\nonumber\]
(¡No vale la pena memorizar las fórmulas para\(Q_0\) y\(Q_1\)!) Dado que la Ecuación\ ref {eq:5.6.5} es una ecuación lineal de primer orden en\(u'\), podemos resolverla\(u'\) por variación de parámetros como en la Sección 1.2, integrar la solución a obtener\(u\), y luego obtener\(y\) de la Ecuación\ ref {eq:5.6.3}.
- Encontrar la solución general de\[\label{eq:5.6.6} xy''-(2x+1)y'+(x+1)y=x^2,\] dado que\(y_1=e^x\) es una solución de la ecuación complementaria\[\label{eq:5.6.7} xy''-(2x+1)y'+(x+1)y=0.\]
- Como subproducto de (a), encuentra un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación\ ref {eq:5.6.7}.
Solución
a. Si\(y=ue^x\), entonces\(y'=u'e^x+ue^x\) y\(y''=u''e^x+2u'e^x+ue^x\), así
\[\begin{align*} xy''-(2x+1)y'+(x+1)y&=x(u''e^x+2u'e^x+ue^x) -(2x+1)(u'e^x+ue^x)+(x+1)ue^x\\ &=(xu''-u')e^x.\end{align*}\]
Por lo tanto\(y=ue^x\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.6} si y solo si
\[(xu''-u')e^x=x^2,\nonumber\]
que es una ecuación de primer orden en\(u'\). Lo reescribimos como
\[\label{eq:5.6.8} u''-{u'\over x}=xe^{-x}.\]
Para enfocarnos en cómo aplicamos variación de parámetros a esta ecuación, escribimos temporalmente\(z=u'\), para que la Ecuación\ ref {eq:5.6.8} se convierta en
\[\label{eq:5.6.9} z'-{z\over x}=xe^{-x}.\]
Te dejamos a ti mostrar (por separación de variables) que\(z_1=x\) es una solución de la ecuación complementaria
\[z'-{z\over x}=0\nonumber\]
para Ecuación\ ref {eq:5.6.9}. Al aplicar variación de parámetros como en la Sección 1.2, ahora podemos ver que cada solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.9} es de la forma
\[z=vx \quad \text{where} \quad v'x=xe^{-x}, \quad \text{so} \quad v'=e^{-x} \quad \text{and} \quad v=-e^{-x}+C_1.\nonumber\]
Ya que\(u'=z=vx\),\(u\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.6.8} si y solo si
\[u'=vx=-xe^{-x}+C_1x.\nonumber\]
Integrando estos rendimientos
\[u=(x+1)e^{-x}+{C_1\over2}x^2+C_2.\nonumber\]
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.6.6} es
\[\label{eq:5.6.10} y=ue^x=x+1+{C_1\over2}x^2e^x+C_2e^x.\]
b. Al dejar\(C_1=C_2=0\) entrar la Ecuación\ ref {eq:5.6.10}, vemos que\(y_{p_1}=x+1\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.6}. Al dejar\(C_1=2\) y\(C_2=0\), vemos que también\(y_{p_2}=x+1+x^2e^x\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:5.6.6}. Dado que la diferencia de dos soluciones de la Ecuación\ ref {eq:5.6.6} es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.7},\(y_2=y_{p_1}-y_{p_2}=x^2e^x\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.7}. Dado que\(y_2/y_1\) es inconstante y ya sabemos que\(y_1=e^x\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.6}, el Teorema 5.1.6 implica que\(\{e^x,x^2e^x\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación\ ref {eq:5.6.7}.
Aunque la Ecuación\ ref {eq:5.6.10} es una forma correcta para la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.6.6}, es tonto dejar el coeficiente arbitrario de\(x^2e^x\) como\(C_1/2\) donde\(C_1\) es una constante arbitraria. Además, es sensato hacer que los subíndices de los coeficientes\(y_1=e^x\) y\(y_2=x^2e^x\) sean consistentes con los subíndices de las propias funciones. Por lo tanto reescribimos la ecuación\ ref {eq:5.6.10} como
\[y=x+1+c_1e^x+c_2x^2e^x \nonumber\]
simplemente renombrando las constantes arbitrarias. También haremos esto en los siguientes dos ejemplos, y en las respuestas a los ejercicios.
- Encontrar la solución general de\[x^2y''+xy'-y=x^2+1, \nonumber\] dado que\(y_1=x\) es una solución de la ecuación complementaria\[\label{eq:5.6.11} x^2y''+xy'-y=0.\] Como subproducto de este resultado, encontrar un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.6.11}.
- Resolver el problema de valor inicial\[\label{eq:5.6.12} x^2y''+xy'-y=x^2+1, \quad y(1)=2,\; y'(1)=-3.\]
Solución
a. Si\(y=ux\), entonces\(y'=u'x+u\) y\(y''=u''x+2u'\), así
\[\begin{aligned} x^2y''+xy'-y&=x^2(u''x+2u')+x(u'x+u)-ux\\ &=x^3u''+3x^2u'.\end{aligned}\]
Por lo tanto\(y=ux\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.12} si y solo si
\[x^3u''+3x^2u'=x^2+1, \nonumber\]
que es una ecuación de primer orden en\(u'\). Lo reescribimos como
\[\label{eq:5.6.13} u''+{3\over x}u'={1\over x}+{1\over x^3}.\]
Para enfocarnos en cómo aplicamos variación de parámetros a esta ecuación, escribimos temporalmente\(z=u'\), para que la Ecuación\ ref {eq:5.6.13} se convierta en
\[\label{eq:5.6.14} z'+{3\over x}z={1\over x}+{1\over x^3}.\]
Te dejamos a ti mostrar por separación de variables que\(z_1=1/x^3\) es una solución de la ecuación complementaria
\[z'+{3\over x}z=0 \nonumber\]
para Ecuación\ ref {eq:5.6.14}. Por variación de parámetros, cada solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.14} es de la forma
\[z={v\over x^3} \quad \text{where} \quad {v'\over x^3}={1\over x}+{1\over x^3}, \quad \text{so} \quad v'=x^2+1 \quad \text{and} \quad v={x^3\over 3}+x+C_1. \nonumber\]
Ya que\(u'=z=v/x^3\),\(u\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.14} si y solo si
\[u'={v\over x^3}={1\over3}+{1\over x^2}+{C_1\over x^3}.\nonumber\]
Integrando estos rendimientos
\[u={x\over 3}-{1\over x}-{C_1\over2x^2}+C_2.\nonumber\]
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.6.12} es
\[\label{eq:5.6.15} y=ux={x^2\over 3}-1-{C_1\over2x}+C_2x.\]
Razonamiento como en la solución del Ejemplo\(\PageIndex{1a}\), concluimos que\(y_1=x\) y\(y_2=1/x\) formamos un conjunto fundamental de soluciones para la Ecuación\ ref {eq:5.6.11}.
Como explicamos anteriormente, renombramos las constantes en Ecuación\ ref {eq:5.6.15} y la reescribimos como
\[\label{eq:5.6.16} y={x^2\over3}-1+c_1x+{c_2\over x}.\]
b. Ecuación diferenciadora\ ref {eq:5.6.16} rendimientos
\[\label{eq:5.6.17} y'={2x\over 3}+c_1-{c_2\over x^2}.\]
Ajuste\(x=1\) en Ecuación\ ref {eq:5.6.16} y Ecuación\ ref {eq:5.6.17} e imponiendo las condiciones iniciales\(y(1)=2\) y\(y'(1)=-3\) rendimientos\[\begin{aligned} c_1+c_2&= \phantom{-}{8\over 3} \\ c_1-c_2&= -{11\over 3}.\end{aligned}\]
Resolver estas ecuaciones rinde\(c_1=-1/2\),\(c_2=19/6\). Por lo tanto, la solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.12} es\[y={x^2\over 3}-1-{x\over 2}+{19\over 6x}.\nonumber\]
El uso de reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden conduce a una ecuación lineal homogénea de primer orden en\(u'\) que se puede resolver por separación de variables. El siguiente ejemplo ilustra esto.
Encuentre la solución general y un conjunto fundamental de soluciones de
\[\label{eq:5.6.18} x^2y''-3xy'+3y=0,\]
dado que\(y_1=x\) es una solución.
Solución
Si\(y=ux\) entonces\(y'=u'x+u\) y\(y''=u''x+2u'\), entonces
\[\begin{aligned} x^2y''-3xy'+3y&=x^2(u''x+2u')-3x(u'x+u)+3ux\\ &=x^3u''-x^2u'.\end{aligned}\]
Por lo tanto\(y=ux\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.6.18} si y solo si\[x^3u''-x^2u'=0.\nonumber\]
Separación de las variables\(u'\) y\(x\) rendimientos\[{u''\over u'}={1\over x},\nonumber\]
entonces\[\ln|u'|=\ln|x|+k,\quad \text{or equivalently} \quad u'=C_1x.\nonumber\]
Por lo tanto\[u={C_1\over2}x^2+C_2,\nonumber\]
así que la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.6.18} es\[y=ux={C_1\over2}x^3+C_2x,\nonumber\]
que reescribimos como\[y=c_1x+c_2x^3.\nonumber\]
Por lo tanto\(\{x,x^3\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.6.18}.