5.6E: Reducción de Orden (Ejercicios)

Q5.6.1

En Ejercicios 5.6.1-5.6.17 encontramos la solución general, dado que\(y_1\) satisface la ecuación complementaria. Como subproducto, encontrar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria.

1. \((2x+1)y''-2y'-(2x+3)y=(2x+1)^2; \quad y_1=e^{-x}\)

2. \(x^2y''+xy'-y={4\over x^2}; \quad y_1=x\)

3. \(x^2y''-xy'+y=x; \quad y_1=x\)

4. \(y''-3y'+2y={1\over1+e^{-x}}; \quad y_1=e^{2x}\)

5. \(y''-2y'+y=7x^{3/2}e^x; \quad y_1=e^x\)

6. \(4x^2y''+(4x-8x^2)y'+(4x^2-4x-1)y=4x^{1/2}e^x(1+4x); \quad y_1=x^{1/2}e^x\)

7. \(y''-2y'+2y=e^x\sec x; \quad y_1=e^x\cos x\)

8. \(y''+4xy'+(4x^2+2)y=8e^{-x(x+2)}; \quad y_1=e^{-x^2}\)

9. \(x^2y''+xy'-4y=-6x-4; \quad y_1=x^2\)

10. \(x^2y''+2x(x-1)y'+(x^2-2x+2)y=x^3e^{2x}; \quad y_1=xe^{-x}\)

11. \(x^2y''-x(2x-1)y'+(x^2-x-1)y=x^2e^x; \quad y_1=xe^x\)

12. \((1-2x)y''+2y'+(2x-3)y=(1-4x+4x^2)e^x; \quad y_1=e^x\)

13. \(x^2y''-3xy'+4y=4x^4; \quad y_1=x^2\)

14. \(2xy''+(4x+1)y'+(2x+1)y=3x^{1/2}e^{-x}; \quad y_1=e^{-x}\)

15. \(xy''-(2x+1)y'+(x+1)y=-e^x; \quad y_1=e^x\)

16. \(4x^2y''-4x(x+1)y'+(2x+3)y=4x^{5/2}e^{2x}; \quad y_1=x^{1/2}\)

17. \(x^2y''-5xy'+8y=4x^2; \quad y_1=x^2\)

Q5.6.2

En Ejercicios 5.6.18-5.6.30 encontramos un conjunto fundamental de soluciones, dado que\(y_{1}\) es una solución.

18. \(xy''+(2-2x)y'+(x-2)y=0; \quad y_1=e^x\)

19. \(x^2y''-4xy'+6y=0; \quad y_1=x^2\)

20. \(x^2(\ln |x|)^2y''-(2x \ln |x|)y'+(2+\ln |x|)y=0; \quad y_1=\ln |x|\)

21. \(4xy''+2y'+y=0; \quad y_1=\sin \sqrt{x}\)

22. \(xy''-(2x+2)y'+(x+2)y=0; \quad y_1=e^x\)

23. \(x^2y''-(2a-1)xy'+a^2y=0; \quad y_1=x^a\)

24. \(x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0; \quad y_1=x \sin x\)

25. \(xy''-(4x+1)y'+(4x+2)y=0; \quad y_1=e^{2x}\)

26. \(4x^2(\sin x)y''-4x(x\cos x+\sin x)y'+(2x\cos x+3\sin x)y=0; \quad y_1=x^{1/2}\)

27. \(4x^2y''-4xy'+(3-16x^2)y=0; \quad y_1=x^{1/2}e^{2x}\)

28. \((2x+1)xy''-2(2x^2-1)y'-4(x+1)y=0; \quad y_1=1/x\)

29. \((x^2-2x)y''+(2-x^2)y'+(2x-2)y=0; \quad y_1=e^x\)

30. \(xy''-(4x+1)y'+(4x+2)y=0; \quad y_1=e^{2x}\)

Q5.6.3

En Ejercicios 5.6.31-5.6.33 resolver el problema de valor inicial, dado que\(y_{1}\) satisface la ecuación complementaria.

31. \(x^2y''-3xy'+4y=4x^4,\quad y(-1)=7,\quad y'(-1)=-8; \quad y_1=x^2\)

32. \((3x-1)y''-(3x+2)y'-(6x-8)y=0, \quad y(0)=2,\; y'(0)=3; \quad y_1=e^{2x}\)

33. \((x+1)^2y''-2(x+1)y'-(x^2+2x-1)y=(x+1)^3e^x, \quad y(0)=1,\quad y'(0)=~-1; \quad y_1=(x+1)e^x\)

Q5.6.4

En los Ejercicios 5.6.34 y 5.6.35 resolver el problema de valor inicial y graficar la solución, dado que\(y_{1}\) satisface la ecuación complementaria.

34. \(x^2y''+2xy'-2y=x^2, \quad y(1)={5\over4},\; y'(1)={3\over2}; \quad y_1=x\)

35. \((x^2-4)y''+4xy'+2y=x+2, \quad y(0)=-{1\over3},\quad y'(0)=-1; \quad y_1={1\over x-2}\)

Q5.6.5

36. Supongamos\(p_1\) y\(p_2\) son continuos en\((a,b)\). Dejar\(y_1\) ser una solución de

\[y''+p_1(x)y'+p_2(x)y=0 \tag{A}\]

que no tiene ceros encendidos\((a,b)\), y\(x_0\) déjese entrar\((a,b)\). Usar reducción de orden para demostrar eso\(y_1\) y

\[y_2(x)=y_1(x)\int^x_{x_0}{1\over y^2_1(t)} \exp \left(-\int^t_{x_0}p_1(s)\, ds\right)\,dt\]

formar un conjunto fundamental de soluciones de (A) en\((a,b)\).

37. La ecuación no lineal de primer orden

\[y'+y^2+p(x)y+q(x)=0 \tag{A}\]

es una ecuación de Riccati. (Ver Ejercicio 2.4.55.) Supongamos que\(p\) y\(q\) son continuos.

1. Demostrar que\(y\) es una solución de (A) si y solo si\(y={z'/z}\), donde\[z''+p(x)z'+q(x)z=0. \tag{B}\]
2. Mostrar que la solución general de (A)\(\{z_1,z_2\}\) es\[y={c_1z'_1+c_2z'_2\over c_1z_1+c_2z_2}, \tag{C}\] donde se encuentra un conjunto fundamental de soluciones de (B) y\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias.
3. ¿La fórmula (C) implica que la ecuación de primer orden (A) tiene una familia de soluciones de dos parámetros? Explica tu respuesta.

38. Utilice un método sugerido por el Ejercicio 5.6.37 para encontrar todas las soluciones. de la ecuación.

1. \(y'+y^2+k^2=0\)
2. \(y'+y^2-3y+2=0\)
3. \(y'+y^2+5y-6=0\)
4. \(y'+y^2+8y+7=0\)
5. \(y'+y^2+14y+50=0\)
6. \(6y'+6y^2-y-1=0\)
7. \(36y'+36y^2-12y+1=0\)

39. Utilizar un método sugerido por el Ejercicio 5.6.37 y reducción del orden para encontrar todas las soluciones de la ecuación, dado que esa\(y_1\) es una solución.

1. \(x^2(y'+y^2)-x(x+2)y+x+2=0; \quad y_1=1/x\)
2. \(y'+y^2+4xy+4x^2+2=0; \quad y_1=-2x\)
3. \((2x+1)(y'+y^2)-2y-(2x+3)=0; \quad y_1=-1\)
4. \((3x-1)(y'+y^2)-(3x+2)y-6x+8=0; \quad y_1=2\)
5. \({x^2(y'+y^2)+xy+x^2- {1\over 4}=0; \quad y_1=-\tan x -{1\over 2x}}\)
6. \({x^2(y'+y^2)-7xy+7=0; \quad y_1=1/x}\)

40. La ecuación no lineal de primer orden

\[y'+r(x)y^2+p(x)y+q(x)=0 \tag{A}\]

es la ecuación generalizada de Riccati. (Ver Ejercicio 2.4.55.) Supongamos que\(p\) y\(q\) son continuos y\(r\) es diferenciable.

1. Demostrar que\(y\) es una solución de (A) si y solo si\(y={z'/rz}\), donde\[z''+\left[p(x)-{r'(x)\over r(x)}\right] z'+r(x)q(x)z=0. \tag{B}\]
2. Mostrar que la solución general de (A)\(\{z_1,z_2\}\) es\[y={c_1z'_1+c_2z'_2\over r(c_1z_1+c_2z_2)},\] donde se encuentra un conjunto fundamental de soluciones de (B) y\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias.