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5.7E: Variación de Parámetros (Ejercicios)

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    Q5.7.1

    En Ejercicios 5.7.1—5.7.6 utilizan variación de parámetros para encontrar una solución particular.

    1. \(y''+9y=\tan 3x\)

    2. \(y''+4y=\sin 2x\sec^2 2x\)

    3. \(y''-3y'+2y={4\over 1+e^{-x}}\)

    4. \(y''-2y'+2y=3e^x \sec x\)

    5. \(y''-2y'+y=14x^{3/2}e^x\)

    6. \(y''-y={4e^{-x}\over 1-e^{-2x}}\)

    Q5.7.2

    En Ejercicios 5.7.7-5.7.29 utilizan variación de parámetros para encontrar una solución particular, dadas las soluciones\(y_{1}, y_{2}\) de la ecuación complementaria.

    7. \(x^2y''+xy'- y=2x^2+2; \quad y_1=x, \quad y_2={1\over x}\)

    8. \({xy''+(2-2x)y'+(x-2)y=e^{2x}; \quad y_1=e^x, \quad y_2={e^x\over x}}\)

    9. \(4x^2y''+(4x-8x^2)y'+(4x^2-4x-1)y=4x^{1/2}e^x, \quad x > 0\);\(y_1=x^{1/2} e^x,\; y_2=x^{-1/2}e^x\)

    10. \(y''+4xy'+(4x^2+2)y=4e^{-x(x+2)};\quad y_1=e^{-x^2}, \quad y_2=xe^{-x^2}\)

    11. \(x^2y''-4xy'+6y=x^{5/2},\, x > 0;\quad y_1=x^2,\; y_2=x^3\)

    12. \(x^2y''-3xy'+3y=2x^4\sin x; \quad y_1=x,\; y_2=x^3\)

    13. \((2x+1)y''-2y'-(2x+3)y=(2x+1)^2e^{-x}; \quad y_1=e^{-x}, \quad y_2=xe^x\)

    14. \(4xy''+2y'+y=\sin\sqrt x; \quad y_1=\cos\sqrt x, \quad y_2=\sin\sqrt x\)

    15. \(xy''-(2x+2)y'+(x+2)y=6x^3e^x;\quad y_1=e^x,\quad y_2=x^3e^x\)

    16. \(x^2y''-(2a-1)xy'+a^2y=x^{a+1}; \quad y_1=x^a, \quad y_2=x^a \ln x\)

    17. \(x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=x^3\cos x; \quad y_1=x\cos x, \quad y_2=x\sin x\)

    18. \(xy''-y'-4x^3y=8x^5;\quad y_1=e^{x^2},\; y_2=e^{-x^2}\)

    19. \((\sin x)y''+(2\sin x-\cos x)y'+(\sin x-\cos x)y=e^{-x}; \quad y_1=e^{-x},\quad y_2=e^{-x}\cos x\)

    20. \(4x^2y''-4xy'+(3-16x^2)y=8x^{5/2}; \quad y_1=\sqrt xe^{2x},\; y_2=\sqrt xe^{-2x}\)

    21. \(4x^2y''-4xy'+(4x^2+3)y=x^{7/2}; \quad y_1=\sqrt x\sin x,\; y_2=\sqrt x\cos x\)

    22. \(x^2y''-2xy'-(x^2-2)y=3x^4;\quad y_1=xe^x,\; y_2=xe^{-x}\)

    23. \(x^2y''-2x(x+1)y' +(x^2+2x+2)y=x^3e^x; \quad y_1=xe^x, \quad y_2=x^2e^x\)

    24. \(x^2y''-xy'-3y=x^{3/2}; \quad y_1=1/x, \quad y_2=x^3\)

    25. \(x^2y''-x(x+4)y'+2(x+3)y=x^4e^x; \quad y_1=x^2, \quad y_2=x^2e^x\)

    26. \(x^2y''-2x(x+2)y'+(x^2+4x+6)y=2xe^x; \quad y_1=x^2e^x, \quad y_2=x^3e^x\)

    27. \(x^2y''-4xy'+(x^2+6)y=x^4; \quad y_1=x^2\cos x, \quad y_2=x^2\sin x\)

    28. \((x-1)y''-xy'+y=2(x-1)^2e^x; \quad y_1=x, \quad y_2=e^x\)

    29. \(4x^2y''-4x(x+1)y'+(2x+3)y=x^{5/2}e^x; \quad y_1=\sqrt x, \quad y_2=\sqrt xe^x\)

    Q5.7.3

    En los Ejercicios 5.7.30—5.7.32 utilizan variación de parámetros para resolver el problema de valor inicial, dado\(y_{1}\),\(y_{2}\) son soluciones de la ecuación complementaria.

    30. \((3x-1)y''-(3x+2)y'-(6x-8)y=(3x-1)^2e^{2x}, \quad y(0)=1,\; y'(0)=2\);\(y_1=e^{2x},\; y_2=xe^{-x}\)

    31. \((x-1)^2y''-2(x-1)y'+2y=(x-1)^2, \quad y(0)=3,\quad y'(0)=-6\);

    \(y_1=x-1\),\(y_2=x^2-1\)

    32. \((x-1)^2y''-(x^2-1)y'+(x+1)y=(x-1)^3e^x, \quad y(0)=4,\quad y'(0)=-6\);

    \(y_1=(x-1)e^x,\quad y_2=x-1\)

    Q5.7.4

    En Ejercicios 5.7.33-5.7.35 utilizar variación de parámetros para resolver el problema de valor inicial y graficar la solución, dado que\(y_{1}\),\(y_{2}\) son soluciones de la ecuación complementaria.

    33. \({(x^2-1)y''+4xy'+2y=2x, \quad y(0)=0,\; y'(0) =-2; \quad y_1={1\over x-1},\; y_2={1\over x+1}}\)

    34. \({x^2y''+2xy'-2y=-2x^2, \quad y(1)=1,\; y'(1)= -1; \quad y_1=x,\; y_2={1\over x^2}}\)

    35. \((x+1)(2x+3)y''+2(x+2)y'-2y=(2x+3)^2, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\);\(y_1=x+2,\quad y_2={1\over x+1}\)

    Q5.7.5

    36. Supongamos

    \[y_p=\overline y+a_1y_1+a_2y_2\]

    es una solución particular de

    \[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F(x), \tag{A}\]

    donde\(y_1\) y\(y_2\) son soluciones de la ecuación complementaria

    \[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0.\]

    Demostrar que también\(\overline y\) es una solución de (A).

    37. Supongamos\(p\)\(q\),, y\(f\) son continuos\((a,b)\) y dejan entrar\(x_0\)\((a,b)\). Dejar\(y_1\) y\(y_2\) ser las soluciones de

    \[y''+p(x)y'+q(x)y=0\]

    tal que

    \[y_1(x_0)=1, \quad y_1'(x_0)=0, \quad y_2(x_0)=0, \quad y_2'(x_0)=1.\]

    Utilizar la variación de parámetros para demostrar que la solución del problema de valor inicial

    \[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad y(x_0)=k_0,\; y'(x_0)=k_1,\]

    es

    \[\begin{array}{rcl} y(x) &= k_0y_1(x)+k_1y_2(x) \\ & +\int^x_{x_0}\left(y_1(t)y_2(x)- y_1(x)y_2(t)\right) f(t)\exp\left(\int^t_{x_0}p(s)\,ds\right)\,dt. \end{array}\]

    SUMINACIÓN: Utilice la fórmula de Abel para el Wronskian de\(\{ y_{1}, y_{2}\}\), e integrar\(u_{1}'\) y\(u_{2}'\) de\(x_{0}\) a\(x\).

    Demuestre también que

    \[\begin{array}{rcl} y'(x) &= k_0y_1'(x)+k_1y_2'(x) \\ & +\int^x_{x_0}\left(y_1(t)y_2'(x)-y_1'(x)y_2(t) \right)f(t)\exp\left(\int^t_{x_0}p(s)\,ds\right)\,dt. \end{array}\]

    38. Supongamos que\(f\) es continuo en un intervalo abierto que contiene\(x_0=0\). Utilizar la variación de parámetros para encontrar una fórmula para la solución del problema de valor inicial

    \[y''-y=f(x), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\]

    39. Supongamos que\(f\) es continuo encendido\((a,\infty)\)\(a<0\), dónde, así\(x_0=0\) está adentro\((a,\infty)\).

    1. Utilice la variación de parámetros para encontrar una fórmula para la solución del problema de valor inicial\[y''+y=f(x), \quad y(0)=k_0,\quad y'(0)=k_1.\] HINTA: Necesitará las fórmulas de adición para el seno y el coseno. \[\begin{aligned} \sin (A+B)&=\sin A\cos B +\cos A\sin B \\ \cos (A+B) &=\cos A\cos B - \sin A\sin B \end{aligned}\]Para el resto de este ejercicio supongamos que la integral impropia\(\int_{0}^\infty f(t)\,dt\) es absolutamente convergente.
    2. Mostrar que si\(y\) es una solución de\[y''+y=f(x) \tag{A}\] on\((a,\infty)\), entonces\[\lim_{x \to \infty}\left(y(x)-A_0\cos x-A_1\sin x\right)=0 \tag{B}\] y\[\lim_{x\to\infty}\left(y'(x)+A_0\sin x-A_1\cos x\right)=0, \tag{C}\] donde\[A_0=k_0-\int_0^\infty f(t)\sin t\,dt \quad \text{and} \quad A_1=k_1+\int_0^\infty f(t)\cos t\,dt.\] HINT: Recordemos del cálculo que si\(\int _{0}^{\infty} f(t)dt\) converge absolutamente, entonces\(\lim_{x\to ∞}\int_{x}^{\infty}|f(t)|dt=0\).
    3. Mostrar que si\(A_0\) y\(A_1\) son constantes arbitrarias, entonces hay una solución única de\(y''+y=f(x)\) on\((a,\infty)\) que satisface (B) y (C).

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