5.7: Variación de parámetros
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En esta sección damos un método llamado variación de parámetros para encontrar una solución particular de
\[\label{eq:5.7.1} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=F(x)\]
si conocemos un conjunto fundamental\(\{y_1,y_2\}\) de soluciones de la ecuación complementaria
\[\label{eq:5.7.2} P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0.\]
Habiendo encontrado una solución particular\(y_p\) por este método, podemos escribir la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.1} como
\[y=y_p+c_1y_1+c_2y_2. \nonumber \]
Ya que solo necesitamos una solución no trivial de la Ecuación\ ref {eq:5.7.2} para encontrar la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.1} por reducción de orden, es natural preguntarnos por qué nos interesa la variación de parámetros, lo que requiere dos soluciones linealmente independientes de la Ecuación\ ref {eq:5.7.2} para lograr la mismo objetivo. Aquí está la respuesta:
- Si ya conocemos dos soluciones linealmente independientes de Ecuación\ ref {eq:5.7.2} entonces la variación de parámetros probablemente será más simple que la reducción del orden.
- La variación de parámetros se generaliza naturalmente a un método para encontrar soluciones particulares de ecuaciones lineales de orden superior (Sección 9.4) y sistemas lineales de ecuaciones (Sección 10.7), mientras que la reducción de orden no lo hace.
- La variación de parámetros es una poderosa herramienta teórica utilizada por los investigadores en ecuaciones diferenciales. Si bien una discusión detallada de esto está más allá del alcance de este libro, puedes hacerte una idea de lo que significa a partir de los Ejercicios 5.7.37—5.7.39.
Ahora derivaremos el método. Como es habitual, consideramos soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.7.1} y Ecuación\ ref {eq:5.7.2} en un intervalo\((a,b)\) donde\(P_0\)\(P_1\),\(P_2\),, y\(F\) son continuas y no\(P_0\) tiene ceros. Supongamos que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria Ecuación\ ref {eq:5.7.2}. Buscamos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.7.1} en la forma
\[\label{eq:5.7.3} y_p=u_1y_1+u_2y_2\]
donde\(u_1\) y\(u_2\) son funciones a determinar para que\(y_p\) satisfaga la Ecuación\ ref {eq:5.7.1}. Puede que no pienses que esto es una buena idea, ya que ahora hay dos funciones desconocidas por determinar, en lugar de una. Sin embargo, dado que\(u_1\) y\(u_2\) tenemos que satisfacer sólo una condición (que\(y_p\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.7.1}), podemos imponer una segunda condición que produzca una simplificación conveniente, de la siguiente manera.
Ecuación diferenciadora\ ref {eq:5.7.3} rendimientos
\[\label{eq:5.7.4} y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'+u_1'y_1+u_2'y_2.\]
Como nuestra segunda condición en\(u_1\) y\(u_2\) requerimos que
\[\label{eq:5.7.5} u_1'y_1+u_2'y_2=0.\]
Entonces la Ecuación\ ref {eq:5.7.4} se convierte en
\[y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'; \label{eq:5.7.6}\]
es decir, la Ecuación\ ref {eq:5.7.5} nos permite diferenciar\(y_p\) (¡una vez!) como si\(u_1\) y\(u_2\) son constantes. Ecuación diferenciadora\ ref {eq:5.7.4} rendimientos
\[\label{eq:5.7.7} y_p''=u_1y''_1+u_2y''_2+u_1'y_1'+u_2'y_2'.\]
(No hay términos que involucren\(u_1''\) y\(u_2''\) aquí, como lo habría si no hubiéramos requerido Ecuación\ ref {eq:5.7.5}.) Sustituyendo la ecuación\ ref {eq:5.7.3}, la ecuación\ ref {eq:5.7.6} y la ecuación\ ref {eq:5.7.7} en la ecuación\ ref {eq:5.7.1} y recogiendo los coeficientes de\(u_1\) y\(u_2\) rendimientos
\[u_1(P_0y''_1+P_1y_1'+P_2y_1)+u_2(P_0y''_2+P_1y_2'+P_2y_2) +P_0(u_1'y_1'+u_2'y_2')=F. \nonumber \]
Al igual que en la derivación del método de reducción de orden, los coeficientes de\(u_1\) y\(u_2\) aquí son ambos cero porque\(y_1\) y\(y_2\) satisfacen la ecuación complementaria. De ahí que podamos reescribir la última ecuación como
\[\label{eq:5.7.8} P_0(u_1'y_1'+u_2'y_2')=F.\]
Por lo tanto\(y_p\) en la Ecuación\ ref {eq:5.7.3} satisface la Ecuación\ ref {eq:5.7.1} si
\[\label{eq:5.7.9} \begin{array}{rcl} u_1'y_1+u_2'y_2 &= 0 \\ u_1'y_1'+u_2'y_2' &= {F\over P_0}, \end{array}\]
donde la primera ecuación es la misma que la Ecuación\ ref {eq:5.7.5} y la segunda es de la Ecuación\ ref {eq:5.7.8}.
Ahora mostraremos que siempre puedes resolver la Ecuación\ ref {eq:5.7.9} para\(u_1'\) y\(u_2'\). (El método que usamos aquí siempre funcionará, pero los métodos más simples suelen funcionar cuando se trata de ecuaciones específicas). Para obtener\(u_1'\), multiplique la primera ecuación en la Ecuación\ ref {eq:5.7.9} por\(y_2'\) y la segunda ecuación por\(y_2\). Esto rinde
\[\begin{aligned} u_1'y_1y_2'+u_2'y_2y_2'&= 0 \\ u_1'y_1'y_2+u_2'y_2'y_2 &= {Fy_2\over P_0}.\end{aligned}\]
Restar la segunda ecuación de los primeros rendimientos
\[\label{eq:5.7.10} u_1'(y_1y_2'-y_1'y_2)=-{Fy_2\over P_0}.\]
Dado que\(\{y_1,y_2\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación\ ref {eq:5.7.2} en\((a,b)\) adelante, el Teorema 5.1.6 implica que el Wronskiano no\(y_1y_2'-y_1'y_2\) tiene ceros en\((a,b)\). Por lo tanto podemos resolver la Ecuación\ ref {eq:5.7.10} para\(u_1'\), para obtener
\[\label{eq:5.7.11} u_1'=-{Fy_2\over P_0(y_1y_2'-y_1'y_2)}.\]
Te dejamos a ti partir de la Ecuación\ ref {eq:5.7.9} y mostrar por un argumento similar que
\[\label{eq:5.7.12} u_2'={Fy_1\over P_0(y_1y_2'-y_1'y_2)}.\]
Ahora podemos obtener\(u_1\) y\(u_2\) integrando\(u_1'\) y\(u_2'\). Las constantes de integración se pueden tomar como cero, ya que bastará con cualquier elección de\(u_1\) y\(u_2\) en la Ecuación\ ref {eq:5.7.3}.
No se debe memorizar la Ecuación\ ref {eq:5.7.11} y la Ecuación\ ref {eq:5.7.12}. Por otro lado, no se quiere rederivar todo el procedimiento para cada problema específico. Recomendamos el compromiso:
- Escribe\[\label{eq:5.7.13} y_p=u_1y_1+u_2y_2\] para recordarte lo que estás haciendo.
- Escribe el sistema\[\label{eq:5.7.14} \begin{array}{rcl} u_1'y_1+u_2'y_2 &= 0 \\ u_1'y_1'+u_2'y_2' &= {F\over P_0} \end{array}\] para el problema específico que intentas resolver.
- Resolver Ecuación\ ref {eq:5.7.14} para\(u_1'\) y\(u_2'\) por cualquier método conveniente.
- Obtener\(u_1\) y\(u_2\) integrando\(u_1'\) y\(u_2'\), tomando las constantes de integración a cero.
- Sustituir\(u_1\) y\(u_2\) en Ecuación\ ref {eq:5.7.13} a obtener\(y_p\).
Encuentre una solución particular\(y_p\) de
\[\label{eq:5.7.15} x^2y''-2xy'+2y=x^{9/2},\]
dado que\(y_1=x\) y\(y_2=x^2\) son soluciones de la ecuación complementaria
\[x^2y''-2xy'+2y=0. \nonumber \]
Entonces encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.15}.
Solución
Nosotros fijamos
\[y_p=u_1x+u_2x^2, \nonumber \]
donde
\[\begin{aligned} u_1'x+\phantom{2}u_2'x^2&=0\\ u_1'\phantom{x}+2u_2'x\phantom{^2}&={x^{9/2}\over x^2}=x^{5/2}.\end{aligned}\]
A partir de la primera ecuación,\(u_1'=-u_2'x\). Sustituir esto en la segunda ecuación rinde\(u_2'x=x^{5/2}\), así\(u_2'=x^{3/2}\) y por lo tanto\(u_1'=-u_2'x=-x^{5/2}\). Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[u_1=-{2\over7}x^{7/2}\quad \text{and} \quad u_2={2\over5}x^{5/2}. \nonumber \]
Por lo tanto
\[y_p=u_1x+u_2x^2 =-{2\over7}x^{7/2}x+{2\over5}x^{5/2}x^2={4\over35}x^{9/2}, \nonumber \]
y la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.15} es
\[y={4\over35}x^{9/2}+c_1x+c_2x^2. \nonumber \]
Encuentre una solución particular\(y_p\) de
\[\label{eq:5.7.16} (x-1)y''-xy'+y=(x-1)^2,\]
dado que\(y_1=x\) y\(y_2=e^x\) son soluciones de la ecuación complementaria
\[(x-1)y''-xy'+y=0. \nonumber \]
Entonces encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.16}.
Solución
Nosotros fijamos
\[y_p=u_1x+u_2e^x, \nonumber \]
donde
\[\begin{aligned} u_1'x+u_2'e^x&=0\\ u_1'\phantom{x}+u_2'e^x&={(x-1)^2\over x-1}=x-1.\end{aligned}\]
Restar la primera ecuación de la segunda rinde\(-u_1'(x-1)=x-1\), entonces\(u_1'=-1\). A partir de esta y la primera ecuación,\(u_2'=-xe^{-x}u_1'=xe^{-x}\). Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[u_1=-x \quad \text{and} \quad u_2=-(x+1)e^{-x}. \nonumber \]
Por lo tanto
\[y_p=u_1x+u_2e^x =(-x)x+(-(x+1)e^{-x})e^x=-x^2-x-1, \nonumber \]
así que la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.16} es
\[\label{eq:5.7.17} y=y_p+c_1x+c_2e^x=-x^2-x-1+c_1x+c_2e^x = -x^2-1+(c_1-1)x+c_2e^x.\]
Sin embargo, dado que\(c_1\) es una constante arbitraria, así es\(c_1-1\); por lo tanto, mejoramos la apariencia de este resultado al cambiar el nombre de la constante y escribir la solución general como
\[\label{eq:5.7.18} y= -x^2-1+c_1x+c_2e^x.\]
No hay nada malo en dejar la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.16} en la forma Ecuación\ ref {eq:5.7.17}; sin embargo, creemos que estarás de acuerdo en que la Ecuación\ ref {eq:5.7.18} es preferible. También podemos ver la transición de la Ecuación\ ref {eq:5.7.17} a la Ecuación\ ref {eq:5.7.18} de manera diferente. En este ejemplo la solución particular\(y_p=-x^2-x-1\) contenía el término\(-x\), que satisface la ecuación complementaria. Podemos dejar caer este término y redefinir\(y_p=-x^2-1\), ya que\(-x^2-x-1\) es una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.7.16} y\(x\) es una solución de la ecuación complementaria; de ahí,\(-x^2-1=(-x^2-x-1)+x\) es también una solución de la Ecuación\ ref {eq:5.7.16}. En general, siempre es legítimo eliminar combinaciones lineales de soluciones particulares\(\{y_1,y_2\}\) obtenidas por variación de parámetros. (Véase el Ejercicio 5.7.36 para una discusión general de esta cuestión.) Esto lo haremos en los siguientes ejemplos y en las respuestas a ejercicios que piden una solución particular. Por lo tanto, no se preocupe si su respuesta a tal ejercicio difiere de la nuestra sólo por una solución de la ecuación complementaria.
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:5.7.19} y''+3y'+2y={1\over 1+e^x}.\]
Entonces encuentra la solución general.
Solución
El polinomio característico de la ecuación complementaria
\[\label{eq:5.7.20} y''+3y'+2y=0\]
es\(p(r)=r^2+3r+2=(r+1)(r+2)\), así\(y_1=e^{-x}\) y\(y_2=e^{-2x}\) formar un conjunto fundamental de soluciones de Ecuación\ ref {eq:5.7.20}. Buscamos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:5.7.19} en la forma
\[y_p=u_1e^{-x}+u_2e^{-2x}, \nonumber \]
donde
\[\begin{aligned} \phantom{-}u_1'e^{-x}+\phantom{2}u_2'e^{-2x}&=0\\ -u_1'e^{-x}-2u_2'e^{-2x}&={1\over 1+e^x}.\end{aligned}\]
Sumando estas dos ecuaciones rinde
\[-u_2'e^{-2x}={1\over1+e^x},\quad \text{so} \quad u_2'=-{e^{2x}\over 1+e^x}. \nonumber \]
De la primera ecuación,
\[u_1'=-u_2'e^{-x}={e^x\over 1+e^x}. \nonumber \]
Integrando por medio de la sustitución\(v=e^x\) y tomando las constantes de integración como rendimientos cero
\[u_1=\int{e^x\over 1+e^x}\,dx=\int {dv\over 1+v} =\ln(1+v)=\ln(1+e^x) \nonumber \]
y
\[\begin{aligned} u_2&=-\int{e^{2x}\over 1+e^x}\,dx=-\int {v\over 1+v}\,dv =\int\left[{1\over 1+v}-1\right]\,dv \\ &=\ln(1+v)-v=\ln(1+e^x)-e^x.\end{aligned}\]
Por lo tanto
\[\begin{aligned} y_p&=u_1e^{-x}+u_2e^{-2x}\\ &=[\ln(1+e^x)]e^{-x}+\left[\ln(1+e^x)-e^x\right]e^{-2x},\end{aligned}\]
por lo
\[y_p=\left(e^{-x}+e^{-2x}\right)\ln(1+e^x)-e^{-x}. \nonumber \]
Dado que el último término de la derecha satisface la ecuación complementaria, la dejamos caer y redefinimos
\[y_p=\left(e^{-x}+e^{-2x}\right)\ln(1+e^x). \nonumber \]
La solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.19} es
\[y=y_p+c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}=\left(e^{-x}+e^{-2x}\right)\ln(1+e^x) +c_1e^{-x}+c_2e^{-2x}. \nonumber \]
Resolver el problema de valor inicial
\[\label{eq:5.7.21} (x^2-1)y''+4xy'+2y={2\over x+1}, \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=-5,\]
dado que
\[y_1={1\over x-1}\quad\mbox{ and }\quad y_2={1\over x+1} \nonumber \]
son soluciones de la ecuación complementaria
\[(x^2-1)y''+4xy'+2y=0. \nonumber \]
Solución
Primero utilizamos la variación de parámetros para encontrar una solución particular de
\[(x^2-1)y''+4xy'+2y={2\over x+1} \nonumber \]
on\((-1,1)\) en el formulario
\[y_p={u_1\over x-1}+{u_2\over x+1}, \nonumber \]
donde
\[\label{eq:5.7.22}\frac{u_{1}'}{x-1}+\frac{u_{2}'}{x+1}=0\]
\[-\frac{u_{1}'}{(x-1)^{2}}-\frac{u_{2}'}{(x+1)^{2}}=\frac{2}{(x+1)(x^{2}-1)}\nonumber\]
Multiplicar la primera ecuación por\(1/(x-1)\) y sumar el resultado a la segunda ecuación rinde
\[\label{eq:5.7.23} \left[{1\over x^2-1}-{1\over(x+1)^2}\right]u_2'={2\over(x+1)(x^2-1)}.\]
Desde
\[\left[{1\over x^2-1}-{1\over(x+1)^2}\right]={(x+1)-(x-1)\over(x+1)(x^2-1)} ={2\over(x+1)(x^2-1)}, \nonumber \]
La ecuación\ ref {eq:5.7.23} implica eso\(u_2'=1\). De la ecuación\ ref {eq:5.7.22},
\[u_1'=-{x-1\over x+1}u_2'=-{x-1\over x+1}. \nonumber \]
Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[\begin{aligned} u_1&=-\int{x-1\over x+1}\,dx=-\int{x+1-2\over x+1}\,dx \\ &=\int\left[{2\over x+1}-1\right]\,dx=2\ln(x+1)-x\end{aligned}\]
y
\[u_2=\int\,dx=x. \nonumber \]
Por lo tanto
\[\begin{aligned} y_p&={u_1\over x-1}+{u_2\over x+1}=\left[2\ln(x+1)-x\right]{1\over x-1} +x{1\over x+1} \\ &={2\ln(x+1)\over x-1}+x\left[{1\over x+1}-{1\over x-1}\right] ={2\ln(x+1)\over x-1}-{2x\over(x+1)(x-1)}.\end{aligned}\]
Sin embargo, desde
\[{2x\over(x+1)(x-1)}=\left[{1\over x+1}+{1\over x-1}\right] \nonumber \]
es una solución de la ecuación complementaria, redefinimos
\[y_p={2\ln(x+1)\over x-1}. \nonumber \]
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:5.7.24} es
\[\label{eq:5.7.24} y={2\ln(x+1)\over x-1}+{c_1\over x-1}+{c_2\over x+1}.\]
Diferenciando estos rendimientos
\[y'={2\over x^2-1}-{2\ln(x+1)\over(x-1)^2}-{c_1\over(x-1)^2}-{c_2\over(x+1)^2}. \nonumber \]
Estableciendo\(x=0\) en las dos últimas ecuaciones e imponiendo las condiciones iniciales\(y(0)=-1\) y\(y'(0)=-5\) rinde el sistema
\[\begin{aligned} -c_1+c_2&=-1\phantom{.}\\ -2-c_1-c_2&=-5.\end{aligned}\]
La solución de este sistema es\(c_1=2,\,c_2=1\). Sustituyendo estos en Ecuación\ ref {eq:5.7.24} rendimientos
\[\begin{aligned} y&={2\ln(x+1)\over x-1}+{2\over x-1}+{1\over x+1}\\ &={2\ln(x+1)\over x-1}+{3x+1\over x^2-1}\end{aligned}\]
como la solución de la Ecuación\ ref {eq:5.7.21}. La figura 5.7.1 es una gráfica de la solución.
Ahora hemos considerado tres métodos para resolver ecuaciones lineales no homogéneas: coeficientes indeterminados, reducción de orden y variación de parámetros. Es natural preguntar qué método es el mejor para un problema dado. El método de coeficientes indeterminados debe usarse para ecuaciones de coeficientes constantes con funciones forzadas que son combinaciones lineales de polinomios multiplicadas por funciones de la forma\(e^{\alpha x}\),\(e^{\lambda x}\cos \omega x\), o\(e^{\lambda x}\sin \omega x\). Si bien los otros dos métodos pueden ser utilizados para resolver este tipo de problemas, serán más difíciles salvo en los casos más triviales, debido a las integraciones involucradas.
Si la ecuación no es una ecuación de coeficiente constante o la función de forzamiento no es de la forma que se acaba de especificar, no se aplica el método de coeficientes indeterminados y la elección es necesariamente entre los otros dos métodos. Podría darse el caso de que la reducción del orden sea mejor porque solo requiere una solución de la ecuación complementaria mientras que la variación de parámetros requiere dos. Sin embargo, la variación de parámetros probablemente será más fácil si ya se conoce un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria.