6.1E: Problemas de Primavera I (Ejercicios)

En los siguientes ejercicios supongamos que no hay amortiguación.

Q6.1.1

1. Un objeto estira un resorte\(4\) pulgadas en equilibrio. Encuentre y grafique su desplazamiento para\(t>0\) si inicialmente se desplaza\(36\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(2\) ft/s.

2. Un objeto estira una cuerda\(1.2\) pulgadas en equilibrio. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\) si inicialmente se desplaza\(3\) pulgadas por debajo del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(2\) ft/s.

3. Un resorte con longitud natural\(.5\) m tiene longitud\(50.5\) cm con una masa de\(2\) gm suspendida de él. La masa se desplaza inicialmente\(1.5\) cm por debajo del equilibrio y se libera con velocidad cero. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

4. Un objeto estira un resorte\(6\) pulgadas en equilibrio. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\) si inicialmente se desplaza\(3\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(6\) pulgadas/s. Encuentra la frecuencia, periodo, amplitud y ángulo de fase del movimiento.

5. Un objeto estira un resorte\(5\) cm en equilibrio. Inicialmente se desplaza\(10\) cm por encima del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de\(.25\) m/s. encontrar y graficar su desplazamiento para\(t>0\). Encuentra la frecuencia, el período, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento.

6. Una masa de\(10\) kg estira un resorte\(70\) cm en equilibrio. Supongamos que una masa de\(2\) kg está unida al resorte, inicialmente desplazada\(25\) cm por debajo del equilibrio, y dada una velocidad ascendente de\(2\) m/s\(t>0\). Encuentra la frecuencia, el período, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento.

7. Un peso estira un resorte\(1.5\) pulgadas en equilibrio. El peso se desplaza inicialmente\(8\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(4\) ft/s\(t > 0\).

8. Un peso estira un resorte\(6\) pulgadas en equilibrio. El peso se desplaza inicialmente\(6\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(3\) ft/s\(t>0\).

9. Un sistema muelle—masa tiene frecuencia natural\(7\sqrt{10}\) rad/s. La longitud natural del resorte es\(.7\) m. ¿Cuál es la longitud del resorte cuando la masa está en equilibrio?

10. Un peso de\(64\) lb se une a un resorte con\(k=8\) lb/ft constante y se somete a una fuerza externa\(F(t)=2\sin t\). El peso se desplaza inicialmente\(6\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de\(2\) ft/s\(t>0\).

11. Una masa unitaria cuelga en equilibrio de un resorte con constante\(k=1/16\). A partir de\(t=0\),\(F(t)=3\sin t\) se aplica una fuerza a la masa. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

12. Un peso de\(4\) lb estira un\(1\) pie de resorte en equilibrio. Se aplica una fuerza externa\(F(t)=.25\sin8 t\) lb al peso, que inicialmente se desplaza\(4\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(1\) ft/s\(t>0\).

13. Un peso de\(2\) lb estira un resorte\(6\) pulgadas en equilibrio. Se aplica una fuerza externa\(F(t)=\sin8t\) lb al peso, que se libera de las\(2\) pulgadas de reposo por debajo del equilibrio. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

14. Una masa\(10\) gm suspendida en un resorte se mueve en movimiento armónico simple con período\(4\) s. Encuentra el período del movimiento armónico simple de una masa\(20\) gm suspendida del mismo resorte.

15. Un peso de\(6\) lb estira un resorte\(6\) pulgadas en equilibrio. Supongamos que se aplica una fuerza externa\(F(t)={3\over16}\sin\omega t+{3\over8}\cos\omega t\) lb al peso. ¿Por qué valor\(\omega\) será el desplazamiento sin límites? Encuentra el desplazamiento si\(\omega\) tiene este valor. Supongamos que el movimiento parte del equilibrio con velocidad inicial cero.

16. Un peso de\(6\) lb estira un resorte\(4\) pulgadas en equilibrio. Supongamos que se aplica una fuerza externa\(F(t)=4\sin\omega t-6\cos\omega t\) lb al peso. ¿Por qué valor\(\omega\) será el desplazamiento sin límites? Encuentra y grafica el desplazamiento si\(\omega\) tiene este valor. Supongamos que el movimiento parte del equilibrio con velocidad inicial cero.

17. Una masa de un kg se une a un resorte con\(k=4\) N/m constante. Se aplica una fuerza externa\(F(t)=-\cos\omega t-2\sin\omega t\) n a la masa. Encuentre el desplazamiento\(y\) para\(t>0\) si\(\omega\) es igual a la frecuencia natural del sistema de muelle—masa. Supongamos que la masa se desplaza inicialmente\(3\) m por encima del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de\(450\) cm/s.

18. Un objeto está en movimiento armónico simple con frecuencia\(\omega_0\), con\(y(0)=y_0\) y\(y'(0)=v_0\). Encuentra su desplazamiento para\(t>0\). También, encontrar la amplitud de la oscilación y dar fórmulas para el seno y coseno del ángulo de fase inicial.

19. Dos objetos suspendidos de muelles idénticos se ponen en movimiento. El periodo de un objeto es el doble del periodo del otro. ¿Cómo se relacionan los pesos de los dos objetos?

20. Dos objetos suspendidos de muelles idénticos se ponen en movimiento. El peso de un objeto es el doble del peso del otro. ¿Cómo se relacionan los periodos de las mociones resultantes?

21. Dos objetos idénticos suspendidos de diferentes resortes se ponen en movimiento. El periodo de una moción es\(3\) multiplicada por el periodo de la otra. ¿Cómo se relacionan las dos constantes de resorte?