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6.2E: Problemas de Primavera II (Ejercicios)

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    Q6.2.1

    1. Un objeto\(64\) lb estira un\(4\) pie de resorte en equilibrio. Se fija a un amortiguador con amortiguación constante\(c=8\) lb-seg/ft. El objeto se desplaza inicialmente\(18\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(4\) pies/seg. Encuentre su desplazamiento y amplitud variable en el tiempo para\(t>0\).

    2. Un peso de\(16\) lb está unido a un resorte con longitud natural\(5\) ft. Con el peso unido, el resorte mide\(8.2\) pies. El peso se desplaza inicialmente\(3\) pies por debajo del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de\(2\) pies/seg. Encuentre y grafique su desplazamiento para\(t>0\) si el medio resiste el movimiento con una fuerza de una lb por cada pies/seg de velocidad. Además, encuentra su amplitud variable en el tiempo.

    3. Un peso de\(8\) lb estira un resorte\(1.5\) pulgadas. Se fija a un amortiguador con amortiguación constante\(c=8\) lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente\(3\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de\(6\) pies/seg. Encuentra y grafica su desplazamiento para\(t>0\).

    4. Un peso de\(96\) lb estira un\(3.2\) pie de resorte en equilibrio. Se fija a un amortiguador con constante de amortiguación\(c\) =\(18\) lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente\(15\) pulgadas por debajo del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(12\) pies/seg. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

    5. Un peso de\(16\) lb estira un resorte\(6\) pulgadas en equilibrio. Está unido a un mecanismo de amortiguación con constante\(c\). Encuentra todos los valores de\(c\) tal manera que la vibración libre del peso tenga infinitamente muchas oscilaciones.

    6. Un peso de\(8\) lb estira un resorte\(.32\) ft. El peso se desplaza inicialmente\(6\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de\(4\) pies/seg. Encuentre su desplazamiento para\(t>0\) si el medio ejerce una fuerza de amortiguación de\(1.5\) lb por cada pies/seg de velocidad.

    7. Un peso de\(32\) lb estira un\(2\) pie de resorte en equilibrio. Se une a un dashpot con constante\(c=8\) lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente\(8\) pulgadas por debajo del equilibrio y se libera del reposo. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

    8. Una masa de\(20\) gm estira un resorte\(5\) cm. El resorte está unido a un amortiguador con amortiguación constante de\(400\) dinas seg/cm. Determinar el desplazamiento para\(t>0\) si la masa es inicialmente desplazada\(9\) cm por encima del equilibrio y liberada del reposo.

    9. Un peso de\(64\) lb se suspende de un resorte con\(k=25\) lb/ft constantes. Inicialmente se desplaza\(18\) pulgadas por encima del equilibrio y se libera del reposo. Encuentre su desplazamiento para\(t>0\) si el medio resiste el movimiento con\(6\) lb de fuerza por cada pies/seg de velocidad.

    10. Un peso de\(32\) lb estira un\(1\) pie de resorte en equilibrio. El peso se desplaza inicialmente 6 pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(3\) pies/seg. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\) si el medio resiste el movimiento con una fuerza igual a\(3\) veces la velocidad en pies/seg.

    11. Un peso de\(8\) lb estira un resorte\(2\) pulgadas. Se fija a un amortiguador con amortiguación constante\(c=4\) lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente\(3\) pulgadas por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(4\) pies/seg. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

    12. Un peso de\(2\) lb estira un resorte\(.32\) ft. El peso se desplaza inicialmente\(4\) pulgadas por debajo del equilibrio y se le da una velocidad ascendente de\(5\) pies/seg. El medio proporciona amortiguación con constante\(c=1/8\) lb-seg/ft. Encuentra y grafica el desplazamiento para\(t>0\).

    13. Un peso de\(8\) lb estira un resorte\(8\) pulgadas en equilibrio. Se fija a un amortiguador con amortiguación constante\(c=.5\) lb-seg/ft y se somete a una fuerza externa\(F(t)=4\cos2t\) lb Determinar el componente de estado estacionario del desplazamiento para\(t>0\).

    14. Un peso de\(32\) lb estira un\(1\) pie de resorte en equilibrio. Se une a un dashpot con constante\(c=12\) lb-seg/ft. El peso se desplaza inicialmente\(8\) pulgadas por encima del equilibrio y se libera del reposo. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

    15. Una masa de un kg estira un resorte\(49\) cm en equilibrio. Un amortiguador unido al resorte suministra una fuerza de amortiguación de\(4\) N por cada m/seg de velocidad. La masa se desplaza inicialmente\(10\) cm por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(1\) m/seg. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

    16. Una masa de\(100\) gramos estira un resorte\(98\) cm en equilibrio. Un amortiguador unido al resorte suministra una fuerza de amortiguación de\(600\) dinas por cada cm/s de velocidad. La masa se desplaza inicialmente\(10\) cm por encima del equilibrio y se le da una velocidad descendente de\(1\) m/seg. Encuentra su desplazamiento para\(t>0\).

    17. Un peso de\(192\) lb se suspende de un resorte con\(k=6\) lb/ft constante y se somete a una fuerza externa\(F(t)=8\cos3t\) lb. Encuentre el componente de estado estacionario del desplazamiento para\(t>0\) si el medio resiste el movimiento con una fuerza igual a\(8\) veces la velocidad en pies/seg.

    18. Una masa\(2\) gm se une a un resorte con\(20\) dinas constantes/cm. Encuentre el componente de estado estacionario del desplazamiento si la masa está sometida a una\(F(t)=3\cos4t-5\sin4t\) dinas de fuerza externa y un amortiguador suministra\(4\) dinas de amortiguación por cada cm/s de velocidad.

    19. Un peso de\(96\) lb está unido a un resorte con\(12\) lb/ft constantes. Encuentre y grafique el componente de estado estacionario del desplazamiento si la masa se somete a una fuerza externa\(F(t)=18\cos t-9\sin t\) lb y un amortiguador suministra\(24\) lb de amortiguación por cada pies/seg de velocidad.

    20. Una masa de un kg estira un resorte\(49\) cm en equilibrio. Se une a un amortiguador que suministra una fuerza de amortiguación de\(4\) N por cada m/seg de velocidad. Encuentre el componente de estado estacionario de su desplazamiento si está sometido a una fuerza externa\(F(t)=8\sin2t-6\cos2t\) N.

    21. Una masa\(m\) se suspende de un resorte con constante\(k\) y se somete a una fuerza externa\(F(t)=\alpha\cos\omega_0t+\beta\sin\omega_0t\), donde\(\omega_0\) está la frecuencia natural del sistema de muelle—masa sin amortiguación. Encuentre el componente de estado estacionario del desplazamiento si un amortiguador con\(c\) suministros constantes amortiguadores.

    22. Demostrar que si\(c_1\) y no\(c_2\) son ambos cero entonces

    \[y=e^{r_1t}(c_1+c_2t)\]

    no puede ser igual a cero para más de un valor de\(t\).

    23. Demostrar que si\(c_1\) y no\(c_2\) son ambos cero entonces

    \[y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\]

    no puede ser igual a cero para más de un valor de\(t\).

    24. Encuentra la solución del problema de valor inicial

    \[my''+cy'+ky=0,\quad y(0)=y_0,\;y'(0)=v_0,\]

    dado que el movimiento está subamortiguado, por lo que la solución general de la ecuación es

    \[y=e^{-ct/2m}(c_1\cos\omega_1t+c_2\sin\omega_1t).\]

    25. Encuentra la solución del problema de valor inicial

    \[my''+cy'+ky=0,\quad y(0)=y_0,\;y'(0)=v_0,\]

    dado que el movimiento está sobreamortiguado, por lo que la solución general de la ecuación es

    \[y=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}\;(r_1,r_2<0).\]

    26. Encuentra la solución del problema de valor inicial

    \[my''+cy'+ky=0,\quad y(0)=y_0,\;y'(0)=v_0,\]

    dado que el movimiento está amortiguado críticamente, de manera que la solución general de la ecuación es de la forma

    \[y=e^{r_1t}(c_1+c_2t)\,(r_1<0).\]

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