6.3: El circuito RLC
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En esta sección consideramos el \(RLC\)circuito, mostrado esquemáticamente en la Figura 6.3.1 . Como veremos, el\(RLC\) circuito es un análogo eléctrico de un sistema de masa-resorte con amortiguación.
No pasa nada mientras el conmutador está abierto (línea discontinua). Cuando el interruptor está cerrado (línea continua) decimos que el circuito está cerrado. Las diferencias en el potencial eléctrico en un circuito cerrado hacen que la corriente fluya en el circuito. La batería o generador en la Figura 6.3.1 crea una diferencia en el potencial eléctrico\(E=E(t)\) entre sus dos terminales, que hemos marcado arbitrariamente como positivo y negativo. (También podríamos intercambiar las marcas.) Diremos que\(E(t)>0\) si el potencial en el terminal positivo es mayor que el potencial en el terminal negativo,\(E(t)<0\) si el potencial en el terminal positivo es menor que el potencial en el terminal negativo, y\(E(t)=0\) si el potencial es el mismo en los dos terminales. Nosotros llamamos\(E\) el voltaje impresionado.
En cualquier momento\(t\), la misma corriente fluye en todos los puntos del circuito. Denotamos corriente por\(I=I(t)\). Decimos que\(I(t)>0\) si la dirección del flujo es alrededor del circuito desde el terminal positivo de la batería o generador de vuelta al terminal negativo, como lo indican las flechas en la Figura 6.3.1 \(I(t)<0\) si el flujo está en la dirección opuesta, y\(I(t)=0\) si no fluye corriente en tiempo\(t\).
Las diferencias de potencial ocurren en la resistencia, la bobina de inducción y el condensador en la Figura 6.3.1 . Obsérvese que los dos lados de cada uno de estos componentes también se identifican como positivos y negativos. La caída de voltaje a través de cada componente se define como el potencial en el lado positivo del componente menos el potencial en el lado negativo. Esta terminología es algo engañosa, ya que la “caída” sugiere una disminución a pesar de que los cambios en el potencial son cantidades firmadas y por lo tanto pueden ser incrementos. Sin embargo, vamos a ir de acuerdo con la tradición y llamarlos caídas de voltaje. La caída de voltaje a través de la resistencia en la Figura 6.3.1 viene dada por
\[\label{eq:6.3.1} V_R=IR,\]
donde\(I\) es corriente y\(R\) es una constante positiva, la resistencia de la resistencia. La caída de voltaje a través de la bobina de inducción viene dada por
\[\label{eq:6.3.2} V_I=L{dI\over dt}=LI',\]
donde\(L\) es una constante positiva, la inductancia de la bobina.
Un condensador almacena carga eléctrica\(Q=Q(t)\), que está relacionada con la corriente en el circuito por la ecuación
\[\label{eq:6.3.3} Q(t)=Q_0+\int_0^tI(\tau)\,d\tau,\]
donde\(Q_0\) esta la carga en el condensador en\(t=0\). La caída de voltaje a través de un condensador viene dada por
\[\label{eq:6.3.4} V_C={Q\over C},\]
donde\(C\) es una constante positiva, la capacitancia del condensador.
Table 6.3.1 nombra las unidades para las cantidades que hemos discutido. Las unidades se definen de manera que
\[\begin{aligned} 1\mbox{volt}&= 1 \text{ampere} \cdot1 \text{ohm}\\ &=1 \text{henry}\cdot1\,\text{ampere}/\text{second}\\ &= 1\text{coulomb}/\text{farad}\end{aligned} \nonumber \]
y
\[\begin{aligned} 1 \text{ampere}&=1\text{coulomb}/\text{second}.\end{aligned} \nonumber \]
| Símbolo | Nombre | Unidad |
|---|---|---|
| \(E\) | Voltaje impresionado | voltios |
| \(I\) | Actual | amperio |
| \(Q\) | Cargar | culombo |
| \(R\) | Resistencia | ohm |
| \(L\) | Inductancia | henry |
| \(C\) | Capacitancia | farad |
Según la ley de Kirchoff, la suma de las caídas de voltaje en un\(RLC\) circuito cerrado es igual al voltaje impreso. Por lo tanto, de la Ecuación\ ref {eq:6.3.1}, Ecuación\ ref {eq:6.3.2}, y Ecuación\ ref {eq:6.3.4},
\[\label{eq:6.3.5} LI'+RI+{1\over C}Q=E(t).\]
Esta ecuación contiene dos incógnitas, la corriente\(I\) en el circuito y la carga\(Q\) en el condensador. Sin embargo, la ecuación\ ref {eq:6.3.3} implica eso\(Q'=I\), así que la ecuación\ ref {eq:6.3.5} se puede convertir en la ecuación de segundo orden
\[\label{eq:6.3.6} LQ''+RQ'+{1\over C}Q=E(t)\]
pulg\(Q\). Para encontrar la corriente que fluye en un\(RLC\) circuito, resolvemos la Ecuación\ ref {eq:6.3.6} para\(Q\) y luego diferenciamos la solución a obtener\(I\).
En las Secciones 6.1 y 6.2 encontramos la ecuación
\[\label{eq:6.3.7} my''+cy'+ky=F(t)\]
en conexión con sistemas de masa-resorte. Excepto por notación esta ecuación es la misma que la Ecuación\ ref {eq:6.3.6}. La correspondencia entre las cantidades eléctricas y mecánicas conectadas con la Ecuación\ ref {eq:6.3.6} y la Ecuación\ ref {eq:6.3.7} se muestra en la Tabla 6.3.2 .
| Eléctricos | Mecánica |
|---|---|
| cargar\(Q\) | desplazamiento\(y\) |
| actual\(I\) | velocidad\(y'\) |
| voltaje impresionado\(E(t)\) | fuerza externa\(F(t)\) |
| inductancia\(L\) | masa\(m\) |
| resistencia\(R\) | amortiguación\(c\) |
| 1/capacitancia\(1/C\) | constante de resorte\(k\) |
La equivalencia entre la Ecuación\ ref {eq:6.3.6} y la Ecuación\ ref {eq:6.3.7} es un ejemplo de cómo las matemáticas unifican similitudes fundamentales en diversos fenómenos físicos. Como ya hemos estudiado las propiedades de las soluciones de la Ecuación\ ref {eq:6.3.7} en las Secciones 6.1 y 6.2, podemos obtener resultados referentes a soluciones de la Ecuación\ ref {eq:6.3.6} simplemente cambiando la notación, de acuerdo con la Tabla 6.3.1 .
Oscilaciones Libres
Decimos que un\(RLC\) circuito está en oscilación libre si es\(E(t)=0\) para\(t>0\), así que la Ecuación\ ref {eq:6.3.6} se convierte en
\[\label{eq:6.3.8} LQ''+RQ'+{1\over C}Q=0.\]
La ecuación característica de la ecuación\ ref {eq:6.3.8} es
\[Lr^2+Rr+{1\over C}=0,\nonumber\]
con raíces
\[\label{eq:6.3.9} r_1={-R-\sqrt{R^2-4L/C}\over2L}\quad \text{and} \quad r_2= {-R+\sqrt{R^2-4L/C}\over2L}.\]
Hay tres casos a considerar, todos análogos a los considerados en la Sección 6.2 para las vibraciones libres de un sistema amortiguado de masa de resorte.
Caso 1: Movimiento Subamortiguado
La oscilación está subamortiguada si\(R<\sqrt{4L/C}\). En este caso,\(r_1\) y\(r_2\) en la Ecuación\ ref {eq:6.3.9} son conjugados complejos, que escribimos como
\[r_1=-{R\over2L}+i\omega_1\quad \text{and} \quad r_2=-{R\over2L}-i\omega_1,\nonumber\]
donde
\[\omega_1={\sqrt{4L/C-R^2}\over2L}.\nonumber\]
La solución general de la Ecuación\ ref {eq:6.3.8} es
\[Q=e^{-Rt/2L}(c_1\cos\omega_1 t+c_2\sin\omega_1 t),\nonumber\]
que podemos escribir como
\[\label{eq:6.3.10} Q=Ae^{-Rt/2L}\cos(\omega_1 t-\phi),\]
donde
\[A=\sqrt{c_1^2+c_2^2},\quad A\cos\phi=c_1,\quad \text{and} \quad A\sin\phi=c_2.\nonumber\]
En el caso idealizado donde\(R=0\), la solución Ecuación\ ref {eq:6.3.10} reduce a
\[Q=A\cos\left({t\over\sqrt{LC}}-\phi\right),\nonumber\]
que es análogo al simple movimiento armónico de un sistema de masa de resorte sin amortiguar en vibración libre.
Los\(RLC\) circuitos reales suelen estar poco amortiguados, por lo que el caso que acabamos de considerar es el más importante. Sin embargo, para la completitud consideraremos las otras dos posibilidades.
Caso 2: Movimiento sobreamortiguado
La oscilación está sobreamortiguada si\(R>\sqrt{4L/C}\). En este caso, los ceros\(r_1\) y\(r_2\) del polinomio característico son reales, con\(r_1 < r_2 <0\) (ver\ ref {eq:6.3.9}), y la solución general de\ ref {eq:6.3.8} es
\[\label{eq:6.3.11} Q=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}.\]
Caso 3: Amortiguado críticamente
La oscilación se amortigua críticamente si\(R=\sqrt{4L/C}\). En este caso,\(r_1=r_2=-R/2L\) y la solución general de la Ecuación\ ref {eq:6.3.8} es
\[\label{eq:6.3.12} Q=e^{-Rt/2L}(c_1+c_2t).\]
Si\(R\ne0\), los exponenciales en la Ecuación\ ref {eq:6.3.10}, Ecuación\ ref {eq:6.3.11} y Ecuación\ ref {eq:6.3.12} son negativos, por lo que la solución de cualquier problema de valor inicial homogéneo
\[LQ''+RQ'+{1\over C}Q=0,\quad Q(0)=Q_0,\quad Q'(0)=I_0,\nonumber\]
se acerca a cero exponencialmente como\(t\to\infty\). De esta manera, todas esas soluciones son transitorias, en el sentido definido Sección 6.2 en la discusión de vibraciones forzadas de un sistema de masa-resorte con amortiguación.
A\(t=0\) una corriente de 2 amperios fluye en un\(RLC\) circuito con\(R=40\) ohmios de resistencia,\(L=.2\) henrys de inductancia y\(C=10^{-5}\) faradios de capacitancia. Encuentre la corriente que fluye en el circuito en\(t>0\) si la carga inicial en el condensador es de 1 culomb. Supongamos que\(E(t)=0\) para\(t>0\).
Solución
La ecuación para la carga\(Q\) es
\[{1\over5}Q''+40Q'+10000Q=0, \nonumber \]
o
\[\label{eq:6.3.13} Q''+200Q'+50000Q=0.\]
Por lo tanto, debemos resolver el problema de valor inicial
\[\label{eq:6.3.14} Q''+200Q'+50000Q=0,\quad Q(0)=1,\quad Q'(0)=2.\]
La corriente deseada es la derivada de la solución de este problema de valor inicial.
La ecuación característica de la Ecuación\ ref {eq:6.3.13} es
\[r^2+200r+50000=0, \nonumber \]
que tiene ceros complejos\(r=-100\pm200i\). Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:6.3.13} es
\[\label{eq:6.3.15} Q=e^{-100t}(c_1\cos200t+c_2\sin200t).\]
Diferenciando esto y recogiendo rendimientos de términos similares
\[\label{eq:6.3.16} Q'=-e^{-100t}\left[(100c_1-200c_2)\cos200t+ (100c_2+200c_1)\sin200t\right].\]
Para encontrar la solución del problema del valor inicial Ecuación\ ref {eq:6.3.14}, nos fijamos\(t=0\) en Ecuación\ ref {eq:6.3.15} y Ecuación\ ref {eq:6.3.16} para obtener
\[c_1=Q(0)=1\quad \text{and} \quad -100c_1+200c_2=Q'(0)=2;\nonumber\]
por lo tanto,\(c_1=1\) y\(c_2=51/100\), por lo
\[Q=e^{-100t}\left(\cos200t+{51\over100}\sin200t\right)\nonumber\]
es la solución de la Ecuación\ ref {eq:6.3.14}. Diferenciando estos rendimientos
\[I=e^{-100t}(2\cos200t-251\sin200t).\nonumber\]
Oscilaciones forzadas con amortiguación
Un problema de valor inicial para la ecuación\ ref {eq:6.3.6} tiene la forma
\[\label{eq:6.3.17} LQ''+RQ'+{1\over C}Q=E(t),\quad Q(0)=Q_0,\quad Q'(0)=I_0,\]
donde\(Q_0\) está la carga inicial en el condensador y\(I_0\) es la corriente inicial en el circuito. Ya hemos visto que si\(E\equiv0\) entonces todas las soluciones de la Ecuación\ ref {eq:6.3.17} son transitorias. Si\(E\not\equiv0\), sabemos que la solución de la Ecuación\ ref {eq:6.3.17} tiene la forma\(Q=Q_c+Q_p\), donde\(Q_c\) satisface la ecuación complementaria, y se acerca a cero exponencialmente como\(t\to\infty\) para cualquier condición inicial, mientras que\(Q_p\) depende solo de\(E\) y es independiente de la inicial condiciones. Como en el caso de las oscilaciones forzadas de un sistema de masa-resorte con amortiguación, llamamos a\(Q_p\) la carga de estado estacionario en el condensador del\(RLC\) circuito. Ya que\(I=Q'=Q_c'+Q_p'\) y\(Q_c'\) también tiende a cero exponencialmente como\(t\to\infty\), decimos que\(I_c=Q'_c\) es la corriente transitoria y\(I_p=Q_p'\) es la corriente de estado estacionario. En la mayoría de las aplicaciones solo nos interesa la carga de estado estacionario y la corriente.
Encuentre la forma de amplitud-fase de la corriente de estado estacionario en el\(RLC\) circuito en la Figura 6.3.1 si el voltaje impreso, proporcionado por un generador de corriente alterna, es\(E(t)=E_0\cos\omega t\).
Solución
Primero encontraremos la carga de estado estacionario en el condensador como una solución particular de
\[LQ''+RQ'+{1\over C}Q=E_0\cos\omega t.\nonumber\]
Para ello, simplemente reinterpretaremos un resultado obtenido en la Sección 6.2, donde encontramos que la solución de estado estacionario de
\[my''+cy'+ky=F_0\cos\omega t \nonumber\]
es
\[y_p={F_0\over\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}} \cos(\omega t-\phi), \nonumber\]
donde
\[\cos\phi={k-m\omega^2\over\sqrt {(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}\quad \text{and} \quad \sin\phi={c\omega\over\sqrt{(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2}}. \nonumber\]
(ver Ecuaciones\ ref {eq:6.3.14} y Ecuación\ ref {eq:6.3.15}.) Al hacer los cambios apropiados en los símbolos (de acuerdo con la Tabla 6.3.2 ) produce la carga de estado estacionario
\[Q_p={E_0\over\sqrt{(1/C-L\omega^2)^2+R^2\omega^2}}\cos(\omega t-\phi), \nonumber\]
donde
\[\cos\phi={1/C-L\omega^2\over\sqrt{(1/C-L\omega^2)^2+R^2\omega^2}} \quad \text{and} \quad \sin\phi={R\omega\over\sqrt{(1/C-L\omega^2)^2+R^2\omega^2}}. \nonumber\]
Por lo tanto, la corriente de estado estacionario en el circuito es
\[I_p=Q_p'= -{\omega E_0\over\sqrt{(1/C-L\omega^2)^2+R^2\omega^2}}\sin(\omega t-\phi). \nonumber\]