8.7E: Ecuaciones de Coeficiente Constante con Impulsos (Ejercicios)

Q8.7.1

En Ejercicios 8.7.1-8.7.20 resolver el problema de valor inicial. Grafique la solución para los Ejercicios 8.7.2, 8.7.4, 8.7.9 y 8.7.19.

1. \(y''+3y'+2y=6e^{2t}+2\delta(t-1), \quad y(0)=2,\quad y'(0)=-6\)

2. \(y''+y'-2y=-10e^{-t}+5\delta(t-1), \quad y(0)=7,\quad y'(0)=-9\)

3. \(y''-4y=2e^{-t}+5\delta(t-1), \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2\)

4. \(y''+y=\sin3t+2\delta(t-\pi/2), \quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1\)

5. \(y''+4y=4+\delta(t-3\pi), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1\)

6. \(y''-y=8+2\delta(t-2), \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=1\)

7. \(y''+y'=e^t+3\delta(t-6), \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=4\)

8. \(y''+4y=8e^{2t}+\delta(t-\pi/2), \quad y(0)=8,\quad y'(0)=0\)

9. \(y''+3y'+2y=1+\delta(t-1), \quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1\)

10. \(y''+2y'+y=e^t+2\delta(t-2), \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2\)

11. \(y''+4y=\sin t+\delta(t-\pi/2), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=2\)

12. \(y''+2y'+2y=\delta(t-\pi)-3\delta(t-2\pi), \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2\)

13. \(y''+4y'+13y=\delta(t-\pi/6)+2\delta(t-\pi/3), \quad y(0)=1,\quad y'(0)=2\)

14. \(2y''-3y'-2y=1+\delta(t-2), \quad y(0)=-1,\quad y'(0)=2\)

15. \(4y''-4y'+5y=4\sin t-4\cos t+\delta(t-\pi/2)-\delta(t-\pi), \quad y(0)=1,\quad y'(0)=1\)

16. \(y''+y=\cos2t+2\delta(t-\pi/2)-3\delta(t-\pi), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=-1\)

17. \(y''-y=4e^{-t}-5\delta(t-1)+3\delta(t-2), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)

18. \(y''+2y'+y=e^t-\delta(t-1)+2\delta(t-2), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=-1\)

19. \(y''+y=f(t)+\delta(t-2\pi), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1\),

\(f(t)=\left\{\begin{array}{cl} \sin2t,&0\le t<\pi,\\[4pt]0,&t\ge \pi.\end{array}\right.\)

20. \(y''+4y=f(t)+\delta(t-\pi)-3\delta(t-3\pi/2), \quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1\),

\(f(t)=\left\{\begin{array}{cl}1,&0\le t<\pi/2,\\[4pt]2,&t\ge \pi/2\end{array}\right.\)

Q8.7.2

21. \(y''+y=\delta(t), \quad y(0)=1,\quad y_-'(0)=-2\)

22. \(y''-4y=3\delta(t), \quad y(0)=-1,\quad y_-'(0)=7\)

23. \(y''+3y'+2y=-5\delta(t), \quad y(0)=0,\quad y_-'(0)=0\)

24. \(y''+4y'+4y=-\delta(t), \quad y(0)=1,\quad y_-'(0)=5\)

25. \(4y''+4y'+y=3\delta(t), \quad y(0)=1,\quad y_-'(0)=-6\)

Q8.7.3

En Ejercicios 8.7.26-8.7.28, resolver el problema de valor inicial\[ay_{h}'' + by_{h}'+cy_{h}=\left\{\begin{array}{ll} {0,}&{0\leq t<t_{0}}\\{1/h, }&{t_{0}\leq t< t_{0} +h, }\\{0,}&{t\geq t_{0}+h, } \end{array} \right. \quad y_{h}(0)=0, y_{h}'(0)=0\nonumber \] donde\(t_{0}>0\) y\(h>0\). Luego encuentra\[w=\cal{L}^{-1}\left(\frac{1}{as^{2}+bs+c} \right) \nonumber \] y verifica el Teorema 8.7.1 graficando\(w\) y\(y_{h}\) en los mismos ejes, para pequeños valores positivos de\(h\).

26. \(y''+2y'+2y=f_h(t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)

27. \(y''+2y'+y=f_h(t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)

28. \(y''+3y'+2y=f_h(t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)

Q8.7.4

29. Recordemos de la Sección 6.2 que el desplazamiento de un objeto de masa\(m\) en un sistema de masa de resorte en oscilación amortiguada libre es

\[my''+cy'+ky=0, \quad y(0)=y_0,\quad y'(0)=v_0,\nonumber \]

y que\(y\) se puede escribir como

\[y=Re^{-ct/2m}\cos(\omega_1t-\phi)\nonumber\]

si el movimiento está subamortiguado. Supongamos\(y(\tau)=0\). Encuentra el impulso que habría que aplicar al objeto\(t=\tau\) para ponerlo en equilibrio.

30. Resolver el problema de valor inicial. Encuentra una fórmula que no implique funciones de paso y que represente\(y\) en cada subintervalo\([0,\infty)\) en el que la función de forzamiento es cero.

1. \(y''-y=\sum_{k=1}^\infty\delta(t-k), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1\)
2. \(y''+y=\sum_{k=1}^\infty\delta(t-2k\pi), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1\)
3. \(y''-3y'+2y=\sum_{k=1}^\infty\delta(t-k), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=1\)
4. \(y''+y=\sum_{k=1}^\infty\delta(t-k\pi), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0\)