9.4: Variación de parámetros para ecuaciones de orden superior
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Derivación del método
Suponemos a lo largo de esta sección que la ecuación lineal no homogénea
\[\label{eq:9.4.1} P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_n(x)y=F(x)\]
es normal en un intervalo\((a,b)\). Vamos a abreviar esta ecuación como\(Ly=F\), donde
\[Ly=P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_n(x)y. \nonumber\]
Cuando hablamos de soluciones de esta ecuación y su ecuación complementaria\(Ly=0\), nos referimos a soluciones sobre\((a,b)\). Mostraremos cómo utilizar el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular de\(Ly=F\), siempre que conozcamos un conjunto fundamental de soluciones\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) de\(Ly=0\).
Buscamos una solución particular de\(Ly=F\) en la forma
\[\label{eq:9.4.2} y_p=u_1y_1+u_2y_2+\cdots+u_ny_n\]
donde\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) se conoce un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria
\[P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_n(x)y=0\nonumber\]
y\(u_1\),\(u_2\),...,\(u_n\) son funciones por determinar. Comenzamos imponiendo las siguientes\(n-1\) condiciones sobre\(u_1,u_2,\dots,u_n\):
\[\label{eq:9.4.3} \begin{array}{rcl} u'_1y_1+u'_2y_2+&\cdots&+u'_ny_n=0 \\ u'_1y'_1+u'_2y'_2+&\cdots&+u'_ny'_n=0 \\ \phantom{u'_1y^{(n_1)}+u'_2y_2^{(n-1)}}&\vdots& \phantom{\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n=q} \\ u'_1y_1^{(n-2)}+u'_2y^{(n-2)}_2+&\cdots&+u'_ny^{(n-2)}_n =0. \end{array}\]
Estas condiciones conducen a fórmulas simples para las primeras\(n-1\) derivadas de\(y_p\):
\[\label{eq:9.4.4} y^{(r)}_p=u_1y^{(r)}_1+u_2y_2^{(r)}\cdots+u_ny^{(r)}_n,\ 0 \le r \le n-1.\]
Estas fórmulas son fáciles de recordar, ya que parecen que las obtuvimos diferenciando la Ecuación\ ref {eq:9.4.2}\(n-1\) veces al tratar\(u_1\)\(u_2\),,...,\(u_n\) como constantes. Para ver que la Ecuación\ ref {eq:9.4.3} implica Ecuación\ ref {eq:9.4.4}, primero diferenciamos la Ecuación\ ref {eq:9.4.2} para obtener
\[y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'+\cdots+u_ny_n'+u_1'y_1+u_2'y_2+\cdots+u_n'y_n,\nonumber\]
lo que reduce a
\[y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'+\cdots+u_ny_n'\nonumber\]
debido a la primera ecuación en la Ecuación\ ref {eq:9.4.3}. Diferenciando estos rendimientos
\[y_p''=u_1y_1''+u_2y_2''+\cdots+u_ny_n''+u_1'y_1'+u_2'y_2'+\cdots+u_n'y_n',\nonumber\]
lo que reduce a
\[y_p''=u_1y_1''+u_2y_2''+\cdots+u_ny_n''\nonumber\]
debido a la segunda ecuación en la Ecuación\ ref {eq:9.4.3}. Continuando de esta manera rinde la Ecuación\ ref {eq:9.4.4}.
La última ecuación en la Ecuación\ ref {eq:9.4.4} es
\[y_p^{(n-1)}=u_1y_1^{(n-1)}+u_2y_2^{(n-1)}+\cdots+u_ny_n^{(n-1)}.\nonumber\]
Diferenciando estos rendimientos
\[y_p^{(n)}=u_1y_1^{(n)}+u_2y_2^{(n)}+\cdots+u_ny_n^{(n)}+ u_1'y_1^{(n-1)}+u_2'y_2^{(n-1)}+\cdots+u_n'y_n^{(n-1)}.\nonumber\]
Sustituyendo esto y la Ecuación\ ref {eq:9.4.4} en Ecuación\ ref {eq:9.4.1} rendimientos
\[u_1Ly_1+u_2Ly_2+\cdots+u_nLy_n+P_0(x)\left( u_1'y_1^{(n-1)}+u_2'y_2^{(n-1)}+\cdots+u_n'y_n^{(n-1)}\right)=F(x).\nonumber\]
Ya que\(Ly_i=0\)\((1 \le i \le n)\), esto se reduce a
\[u_1'y_1^{(n-1)}+u_2'y_2^{(n-1)}+\cdots+u_n'y_n^{(n-1)}={F(x)\over P_0(x)}.\nonumber\]
Combinando esta ecuación con la ecuación\ ref {eq:9.4.3} muestra que
\[y_p=u_1y_1+u_2y_2+\cdots+u_ny_n\nonumber\]
es una solución de la Ecuación\ ref {eq:9.4.1} si
\[\begin{array}{rcl} u'_1y_1+u'_2y_2+&\cdots&+u'_ny_n=0 \\ u'_1y'_1+u'_2y'_2+&\cdots&+u'_ny'_n=0 \\ \phantom{u'_1y^{(n_1)}+u'_2y_2^{(n-1)}}&\vdots& \phantom{\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n=q} \\ u'_1y_1^{(n-2)}+u'_2y^{(n-2)}_2+&\cdots&+u'_ny^{(n-2)}_n =0 \\ u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+&\cdots&+u'_n y^{(n-1)}_n=F/P_0, \end{array}\nonumber \]
que se puede escribir en forma de matriz como
\[\label{eq:9.4.5} \left[\begin{array}{cccc} y_1&y_2&\cdots&y_n \\[4pt] y'_1&y'_2&\cdots&y_n'\\[4pt] \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\[4pt] y_1^{(n-2)}&y_2^{(n-2)}&\cdots&y_n^{(n-2)}\\[4pt] y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)} \end{array} \right] \left[\begin{array}{c}u_1'\\u_2'\\\vdots\\u_{n-1}'\\u_n'\end{array} \right]= \left[\begin{array}{c}0\\0\\ \vdots\\0\\F/ P_0\end{array}\right].\]
El determinante de este sistema es el Wronskian\(W\) del conjunto fundamental de soluciones\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\), que no tiene ceros en\((a,b)\), por el Teorema 9.1.4. Resolviendo la ecuación\ ref {eq:9.4.5} por rendimientos de reglas de Cramer
\[\label{eq:9.4.6} u'_j=(-1)^{n-j}{FW_j\over P_0W},\quad 1\le j\le n,\]
donde\(W_j\) es el Wronskian del conjunto de funciones obtenido al eliminar\(y_j\)\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) y mantener las funciones restantes en el mismo orden. Equivalentemente,\(W_j\) es el determinante obtenido al eliminar la última fila y\(j\) -ésima columna de\(W\).
Habiendo obtenido\(u_1'\),\(u_2'\)\(, \dots,\)\(u_n'\), podemos integrar para obtener\(u_1,\,u_2,\dots,u_n\). Al igual que en la Sección 5.7, tomamos las constantes de integración como cero, y dejamos caer cualquier combinación lineal de la\(\{y_1,y_2,\dots,y_n\}\) que pueda aparecer en\(y_p\).
Para mayor eficiencia, lo mejor es calcular\(W_{1}, W_{2}, \cdots , W_{n}\) primero y luego calcular expandiéndose en cofactores de la última fila;\(W\) por lo tanto,\[W=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{n-j}y_{j}^{(n-1)}W_{j}.\nonumber \]
Ecuaciones de tercer orden
Si\(n=3\), entonces
\[W=\left| \begin{array}{ccc} y_1&y_2&y_3 \\[4pt] y'_1&y'_2&y'_3 \\[4pt] y''_1&y''_2&y''_3 \end{array} \right|.\nonumber\]
Por lo tanto
\[W_1=\left| \begin{array}{cc} y_2&y_3 \\[4pt] y'_2&y'_3 \end{array} \right|, \quad W_2=\left| \begin{array}{cc} y_1&y_3 \\[4pt] y'_1&y'_3 \end{array} \right|, \quad W_3=\left| \begin{array}{cc} y_1&y_2 \\[4pt] y'_1&y'_2 \end{array} \right|,\nonumber\]
y la Ecuación\ ref {eq:9.4.6} se convierte
\[\label{eq:9.4.7} u'_1={FW_1\over P_0W},\quad u'_2=-{FW_2\over P_0W},\quad u'_3={FW_3\over P_0W}.\]
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:9.4.8} xy'''-y''-xy'+y=8x^2e^x,\]
dado que\(y_1=x\),\(y_2=e^x\), y\(y_3=e^{-x}\) formar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Entonces encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.4.8}.
Solución
Buscamos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:9.4.8} de la forma
\[y_p=u_1x+u_2e^x+u_3e^{-x}.\nonumber\]
El Wronskian de\(\{y_1,y_2,y_3\}\) es
\[W(x)=\left| \begin{array}{ccr} x&e^x&e^{-x} \\ 1&e^x&-e^{-x} \\ 0&e^x&e^{-x} \end{array} \right|,\nonumber\]
por lo
\[\begin{aligned} W_1&= \left| \begin{array}{cr} e^x&e^{-x}\\ e^x&-e^{-x} \end{array} \right|=-2,\\[10pt] W_2&= \left| \begin{array}{cr} x&e^{-x}\\1&-e^{-x} \end{array} \right|=-e^{-x}(x+1),\\ W_3&= \left| \begin{array}{cc} x&e^x\\1&e^x \end{array} \right|=e^x(x-1).\end{aligned}\]
Expandiendo\(W\) por cofactores de los rendimientos de la última fila
\[W=0W_1-e^x W_2+e^{-x}W_3=0(-2)-e^x\left(-e^{-x}(x+1)\right) +e^{-x}e^x(x-1)=2x.\nonumber\]
Desde\(F(x)=8x^2e^x\) y\(P_0(x)=x\),
\[{F\over P_0W}={8x^2e^x\over x\cdot 2x}=4e^x.\nonumber\]
Por lo tanto, de la Ecuación\ ref {eq:9.4.7}
\[\begin{aligned} u'_1&=\phantom{-} 4e^xW_1=\phantom{-}4e^x(-2)=-8e^x,\\ u_2'&=-4e^xW_2=-4e^x\left(-e^{-x}(x+1)\right)=4(x+1),\\ u_3'&=\phantom{-}4e^xW_3=\phantom{-}4e^x\left(e^x(x-1)\right)=4e^{2x}(x-1).\end{aligned}\nonumber\]
Integrar y tomar las constantes de integración para ser cero rendimientos
\[u_1=-8e^x,\quad u_2=2(x+1)^2, u_3=e^{2x}(2x-3).\nonumber\]
Por lo tanto,
\[\begin{aligned} y_p&=u_1y_1+u_2y_2+u_3y_3\\ &=(-8e^x)x+e^x(2(x+1)^2)+e^{-x}\left(e^{2x}(2x-3)\right) \\&=e^x(2x^2-2x-1).\end{aligned}\]
Dado que\(-e^x\) es una solución de la ecuación complementaria, redefinimos
\[y_p=2xe^x(x-1).\nonumber\]
Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.4.8} es
\[y=2xe^x(x-1)+c_1x+c_2e^x+c_3e^{-x}.\nonumber\]
Ecuaciones de Cuarto Orden
Si\(n=4\), entonces
\[W=\left| \begin{array}{cccc} y_1&y_2&y_3&y_4 \\[4pt] y'_1&y'_2&y'_3&y_4' \\[4pt] y''_1&y''_2&y''_3&y_4''\\[4pt] y'''_1&y'''_2&y'''_3&y_4''' \end{array} \right|,\nonumber\]
Por lo tanto
\[W_1=\left| \begin{array}{ccc} y_2&y_3&y_4 \\[4pt] y'_2&y'_3&y_4'\\[4pt] y''_2&y''_3&y_4'' \end{array} \right|, \quad W_2=\left| \begin{array}{ccc} y_1&y_3&y_4 \\[4pt] y'_1&y'_3&y_4'\\[4pt] y''_1&y''_3&y_4'' \end{array} \right|,\nonumber\]
\[W_3=\left| \begin{array}{ccc} y_1&y_2&y_4 \\[4pt] y'_1&y'_2&y_4'\\[4pt] y''_1&y''_2&y_4'' \end{array} \right|,\quad W_4=\left| \begin{array}{ccc} y_1&y_2&y_3 \\[4pt] y_1'&y'_2&y_3'\\[4pt] y_1''&y''_2&y_3'' \end{array} \right|,\nonumber\]
y la Ecuación\ ref {eq:9.4.6} se convierte
\[\label{eq:9.4.9} u'_1=-{FW_1\over P_0W},\quad u'_2={FW_2\over P_0W},\quad u'_3=-{FW_3\over P_0W},\quad u'_4={FW_4\over P_0W}.\]
Encuentre una solución particular de
\[\label{eq:9.4.10} x^4y^{(4)}+6x^3y'''+2x^2y''-4xy'+4y=12x^2,\]
dado que\(y_1=x\),\(y_2=x^2\),\(y_3=1/x\) y\(y_4=1/x^2\) formar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación complementaria. Entonces encuentra la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.4.10} en\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).
Solución
Buscamos una solución particular de la Ecuación\ ref {eq:9.4.10} de la forma
\[y_p=u_1x+u_2x^2+{u_3\over x}+{u_4\over x^2}.\nonumber\]
El Wronskian de\(\{y_1,y_2,y_3,y_4\}\) es
\[W(x)=\left| \begin{array}{cccr} x&x^2&1/x&-1/x^2 \\[4pt] 1&2x&-1/x^2&-2/x^3 \\[4pt] 0 &2&2/x^3&6/x^4\\[4pt] 0&0&-6/x^4&-24/x^5 \end{array} \right|,\nonumber\]
por lo
\[\begin{aligned} W_1&= \left| \begin{array}{ccr} x^2&1/x&1/x^2\\[4pt]2x&-1/x^2&-2/x^3\\[4pt] 2&2/x^3&6/x^4 \end{array} \right|=-{12\over x^4},\\[10pt] W_2&= \left| \begin{array}{ccr} x&1/x&1/x^2\\[4pt]1&-1/x^2&-2/x^3\\[4pt] 0&2/x^3&6/x^4 \end{array} \right|=-{6\over x^5},\\[10pt] W_3&= \left| \begin{array}{ccc} x&x^2&1/x^2\\[4pt]1&2x&-2/x^3\\[4pt] 0&2&6/x^4 \end{array} \right|={12\over x^2}, \\ W_4&= \left| \begin{array}{ccc} x&x^2&1/x\\[4pt]1&2x&-1/x^2\\[4pt] 0&2&2/x^3 \end{array} \right|={6\over x}.\end{aligned}\]
Expandiendo\(W\) por cofactores de los rendimientos de la última fila
\[\begin{aligned} W&=-0W_1+0 W_2-\left(-{6\over x^4}\right)W_3+\left(-{24\over x^5}\right)W_4\\ &={6\over x^4}{12\over x^2}-{24\over x^5}{6\over x}=-{72\over x^6}.\end{aligned}\]
Desde\(F(x)=12x^2\) y\(P_0(x)=x^4\),
\[{F\over P_0W}={12x^2\over x^4}\left(-{x^6\over72}\right)=-{x^4\over 6}. \nonumber\]
Por lo tanto, a partir de la Ecuación\ ref {eq:9.4.9},
\[\begin{aligned} u'_1&=-\left(-{x^4\over6}\right)W_1={x^4\over6}\left(-{12\over x^4}\right)=-2,\\[4pt] u_2'&=\phantom{-}-{x^4\over6}W_2=-{x^4\over6}\left(-{6\over x^5}\right) ={1\over x},\\[4pt] u_3'&=-\left(-{x^4\over6}\right)W_3={x^4\over6}{12\over x^2}=2x^2,\\ u_4'&=\phantom{-}-{x^4\over6}W_4=-{x^4\over6}{6\over x}=-x^3.\end{aligned}\]
Integrando estos y tomando las constantes de integración a cero rendimientos
\[u_1=-2x,\quad u_2=\ln|x|,\quad u_3={2x^3\over3}, u_4=-{x^4\over4}.\nonumber\]
Por lo tanto,
\[\begin{aligned} y_p&=u_1y_1+u_2y_2+u_3y_3+u_4y_4\\ &=(-2x)x+(\ln|x|)x^2+{2x^3\over3}{1\over x}+\left(-{x^4\over4}\right) {1\over x^2} \\&=x^2\ln|x|-{19x^2\over12}.\end{aligned}\]
Dado que\(-19x^2/12\) es una solución de la ecuación complementaria, redefinimos
\[y_p=x^2\ln|x|.\nonumber\]
Por lo tanto
\[y=x^2\ln|x|+c_1x+c_2x^2+{c_3\over x}+{c_4\over x^2}\nonumber\]
es la solución general de la Ecuación\ ref {eq:9.4.10} en\((-\infty,0)\) y\((0,\infty)\).