10.3E: Teoría Básica de Sistemas Lineales Homogéneos (Ejercicios)

Q10.3.1

1. Demostrar: Si\({\bf y}_1\)\({\bf y}_2\),,...,\({\bf y}_n\) son soluciones de\({\bf y}'=A(t){\bf y}\) on\((a,b)\), entonces cualquier combinación lineal de\({\bf y}_1\)\({\bf y}_2\),,...,\({\bf y}_n\) es también una solución de\({\bf y}'=A(t){\bf y}\) on\((a,b)\).

2. En la Sección 5.1 el Wronskian de dos soluciones\(y_1\) y\(y_2\) de la ecuación escalar de segundo orden

\[P_0(x)y''+P_1(x)y'+P_2(x)y=0 \tag{A}\]

se definió como

\[W=\left|\begin{array}{cc} y_1&y_2 \\ y'_1&y'_2\end{array}\right|.\nonumber \]

1. Reescribe (A) como un sistema de ecuaciones de primer orden y muestra que\(W\) es el Wronskian (como se define en esta sección) de dos soluciones de este sistema.
2. Aplicar la Ecuación 10.3.6 al sistema derivado en (a), y mostrar\[W(x)=W(x_0)\exp\left\{-\int^x_{x_0}{P_1(s)\over P_0(s)}\, ds\right\},\nonumber \] lo que es la forma de la fórmula de Abel dada en el Teorema 9.1.3.

3. En la Sección 9.1 el Wronskian de\(n\) soluciones\(y_1\),\(y_2\),...,\(y_n\) de la ecuación de orden\(n-\) th

\[P_0(x)y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+P_n(x)y=0 \tag{A}\]

se definió como

\[W=\left|\begin{array}{cccc} y_1&y_2&\cdots&y_n \\ y'_1&y'_2&\cdots&y_n'\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&y_2^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)} \end{array}\right|.\nonumber \]

1. Reescribir (A) como un sistema de ecuaciones de primer orden y mostrar que\(W\) es el Wronskian (como se define en esta sección) de\(n\) soluciones de este sistema.
2. Aplicar la Ecuación 10.3.6 al sistema derivado en (a), y mostrar\[W(x)=W(x_0)\exp\left\{-\int^x_{x_0}{P_1(s)\over P_0(s)}\, ds\right\},\nonumber \] lo que es la forma de la fórmula de Abel dada en el Teorema 9.1.3.

4. Supongamos

\[{\bf y}_1=\left[\begin{array}{c}{y_{11}}\\{y_{21}}\end{array} \right]\quad\text{and}\quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{c}{y_{12}}\\{y_{22}}\end{array} \right]\nonumber \]

son soluciones del\(2\times 2\) sistema\({\bf y}'=A{\bf y}\) en\((a,b)\), y dejar

\[Y=\left[\begin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}\\{y_{21}}&{y_{22}}\end{array} \right]\quad\text{and}\quad W=\left|\begin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}\\{y_{21}}&{y_{22}}\end{array} \right|\nonumber \]

así,\(W\) es el Wronskian de\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2\}\).

1. Deducir de la definición de determinante que\[W'=\left|\begin{array}{cc} {y'_{11}}&{y'_{12}}\\ {y_{21}}& {y_{22}}\end{array}\right| +\left|\begin{array}{cc} {y_{11}}&{y_{12}}\\ {y'_{21}}&{y'_{22}}\end{array}\right|.\nonumber \]
2. Usa la ecuación\(Y'=A(t)Y\) y la definición de multiplicación matricial para mostrar eso\[[y'_{11}\quad y'_{12}]=a_{11} [y_{11}\quad y_{12}]+a_{12} [y_{21} \quad y_{22}]\nonumber \] y\[[y'_{21}\quad y'_{22}]=a_{21} [y_{11}\quad y_{12}]+a_{22} [y_{21}\quad y_{22}].\nonumber \]
3. Utilizar las propiedades de los determinantes para deducir de (a) y (a) que\[\left|\begin{array}{cc} {y'_{11}}&{y'_{12}}\\ {y_{21}}& {y_{22}}\end{array}\right|=a_{11}W\quad \text{and} \quad \left|\begin{array}{cc} {y_{11}}&{y_{12}}\\ {y'_{21}}&{y'_{22}}\end{array}\right|=a_{22}W.\nonumber \]
4. Concluir de (c) eso\[W'=(a_{11}+a_{22})W,\nonumber \] y usar esto para demostrar que si\(a<t_0<b\) entonces\[W(t)=W(t_0)\exp\left(\int^t_{t_0} \left[a_{11}(s)+a_{22} (s) \right]\, ds\right)\quad a<t<b.\nonumber \]

5. Supongamos que la\(n\times n\) matriz\(A=A(t)\) es continua\((a,b)\). Let

\[Y= \left[\begin{array}{cccc} y_{11}&y_{12}&\cdots&y_{1n} \\ y_{21}&y_{22}&\cdots&y_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ y_{n1}&y_{n2}&\cdots&y_{nn} \end{array}\right],\nonumber \]

donde las columnas de\(Y\) son soluciones de\({\bf y}'=A(t){\bf y}\). Let

\[r_i=[y_{i1}\, y_{i2}\, \dots\, y_{in}]\nonumber \]

ser la fila\(i\) th de\(Y\), y dejar\(W\) ser el determinante de\(Y\).

1. Deducir de la definición de determinante que\[W'=W_1+W_2+\cdots+W_n,\nonumber \] donde, para\(1 \le m \le n\), la fila\(i\) th de\(W_m\) es\(r_i\) si\(i \ne m\), y\(r'_m\) si\(i=m\).
2. Usa la ecuación\(Y'=A Y\) y la definición de multiplicación matricial para mostrar que\[r'_m=a_{m1}r_1+a_{m2} r_2+\cdots+a_{mn}r_n.\nonumber \]
3. Utilizar las propiedades de los determinantes para deducir de (b) que\[\det (W_m)=a_{mm}W.\nonumber \]
4. Concluir de (a) y (c) eso\[W'=(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})W,\nonumber \] y usar esto para demostrar que si\(a<t_0<b\) entonces\[W(t)=W(t_0)\exp\left( \int^t_{t_0}\big[a_{11}(s)+a_{22}(s)+\cdots+a_{nn}(s)]\, ds\right), \quad a < t < b.\nonumber \]

6. Supongamos que la\(n\times n\) matriz\(A\) es continua\((a,b)\) y\(t_0\) es un punto en\((a,b)\). Dejemos\(Y\) ser una matriz fundamental para\({\bf y}'=A(t){\bf y}\) el on\((a,b)\).

1. Demostrar que\(Y(t_0)\) es invertible.
2. Mostrar que si\({\bf k}\) es un\(n\) vector arbitrario entonces la solución del problema del valor inicial\[{\bf y}'=A(t){\bf y},\quad {\bf y}(t_0)={\bf k}\nonumber \] es\[{\bf y}=Y(t)Y^{-1}(t_0){\bf k}.\nonumber \]

7. Let

\[A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{4}\\{4}&{2}\end{array} \right], \quad {\bf y}_1=\left[\begin{array}{c} e^{6t} \\ e^{6t} \end{array}\right], \quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{r} e^{-2t} \\ -e^{-2t}\end{array}\right], \quad {\bf k}=\left[\begin{array}{r}-3 \\ 9\end{array}\right].\nonumber \]

1. Verificar que\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2\}\) sea un conjunto fundamental de soluciones para\({\bf y}'=A{\bf y}\).
2. Resolver el problema de valor inicial\[{\bf y}'=A{\bf y},\quad {\bf y}(0)={\bf k}. \tag{A}\]
3. Utilice el resultado del Ejercicio 10.3.6 (b) para encontrar una fórmula para la solución de (A) para un vector inicial arbitrario\({\bf k}\).

8. Repita el Ejercicio 10.3.7 con

\[A=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{-2}\\{-5}&{1}\end{array} \right], \quad {\bf y}_1=\left[\begin{array}{r} e^{-4t} \\ e^{-4t}\end{array}\right], \quad {\bf y}_2=\left[ \begin{array}{r}-2e^{3t} \\ 5e^{3t}\end{array}\right], \quad {\bf k}=\left[\begin{array}{r} 10 \\-4\end{array}\right].\nonumber \]

9. Repita el Ejercicio 10.3.7 con

\[A=\left[\begin{array}{cc}{-4}&{-10}\\{3}&{7}\end{array} \right], \quad {\bf y}_1=\left[\begin{array}{r}-5e^{2t} \\ 3e^{2t} \end{array}\right], \quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{r} 2e^t \\-e^t \end{array}\right], \quad {\bf k}=\left[\begin{array}{r}-19 \\ 11\end{array} \right ].\nonumber \]

10. Repita el Ejercicio 10.3.7 con

\[A=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array} \right], \quad {\bf y}_1=\left[\begin{array}{r} e^{3t} \\ e^{3t} \end{array}\right], \quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{r}e^t \\ -e^t\end{array}\right], \quad {\bf k}=\left[\begin{array}{r} 2 \\ 8 \end{array}\right].\nonumber \]

11. Let

\[\begin{aligned} A&= \left[\begin{array}{ccc}{3}&{-1}&{-1}\\{-2}&{3}&{2}\\{4}&{-1}&{-2}\end{array} \right] , \\ {\bf y}_1&=\left[\begin{array}{c} e^{2t} \\ 0 \\ e^{2t}\end{array} \right], \quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{c} e^{3t} \\-e^{3t} \\ e^{3t}\end{array}\right], \quad {\bf y}_3=\left[\begin{array}{c} e^{-t} \\-3e^{-t} \\ 7e^{-t} \end{array}\right], \quad {\bf k}=\left[\begin{array}{r} 2 \\-7 \\ 20\end{array}\right].\end{aligned}\nonumber \]

1. Verificar que\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2,{\bf y}_3\}\) sea un conjunto fundamental de soluciones para\({\bf y}'=A{\bf y}\).
2. Resolver el problema de valor inicial\[{\bf y}'=A{\bf y}, \quad {\bf y}(0)={\bf k}. \tag{A}\]
3. Utilice el resultado del Ejercicio 10.3.6 (b) para encontrar una fórmula para la solución de (A) para un vector inicial arbitrario\({\bf k}\).

12. Repetir Ejercicio 10.3.11 con

\[\begin{aligned} A&=\left[\begin{array}{ccc}{0}&{2}&{2}\\{2}&{0}&{2}\\{2}&{2}&{0}\end{array} \right], \\ {\bf y}_1&=\left[\begin{array}{c}-e^{-2t} \\ 0 \\ e^{-2t} \end{array}\right], \quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{c}-e^{-2t} \\ e^{-2t} \\ 0\end{array}\right], \quad {\bf y}_3=\left[\begin{array}{c} e^{4t} \\ e^{4t} \\ e^{4t}\end{array} \right], \quad {\bf k}=\left[\begin{array}{r} 0 \\-9 \\ 12\end{array} \right].\end{aligned}\nonumber \]

13. Repetir Ejercicio 10.3.11 con

\[\begin{aligned} A&=\left[\begin{array}{ccc}{-1}&{2}&{3}\\{0}&{1}&{6}\\{0}&{0}&{-2}\end{array} \right], \\ {\bf y}_1&=\left[\begin{array}{c} e^t \\ e^t \\ 0\end{array}\right], \quad {\bf y}_2=\left[\begin{array}{c} e^{-t} \\ 0 \\ 0\end{array}\right], \quad {\bf y}_3=\left[\begin{array}{c} e^{-2t} \\-2e^{-2t} \\ e^{-2t}\end{array}\right], \quad {\bf k}=\left[\begin{array}{r} 5 \\ 5 \\-1 \end{array}\right].\end{aligned}\nonumber \]

14. Supongamos\(Y\) y\(Z\) son matrices fundamentales para el\(n\times n\) sistema\({\bf y}'=A(t){\bf y}\). Entonces algunas de las cuatro matrices\(YZ^{-1}\),\(Y^{-1}Z\),\(Z^{-1}Y\),\(Z Y^{-1}\) son necesariamente constantes. Identificarlos y demostrar que son constantes.

15. Supongamos que las columnas de una\(n\times n\) matriz\(Y\) son soluciones del\(n\times n\) sistema\({\bf y}'=A{\bf y}\) y\(C\) es una matriz\(n \times n\) constante.

1. Mostrar que la matriz\(Z=YC\) satisface la ecuación diferencial\(Z'=AZ\).
2. Demostrar que\(Z\) es una matriz fundamental para\({\bf y}'=A(t){\bf y}\) si y solo si\(C\) es invertible y\(Y\) es una matriz fundamental para\({\bf y}'=A(t){\bf y}\).

16. Supongamos que la\(n\times n\) matriz\(A=A(t)\) es continua\((a,b)\) y\(t_0\) está en\((a,b)\). Para\(i=1\),\(2\),...\(n\), deja\({\bf y}_i\) ser la solución del problema de valor inicial\({\bf y}_i'=A(t){\bf y}_i,\; {\bf y}_i(t_0)={\bf e}_i\), donde

\[{\bf e}_1=\left[\begin{array}{c} 1\\0\\ \vdots\\0\end{array}\right],\quad {\bf e}_2=\left[\begin{array}{c} 0\\1\\ \vdots\\0\end{array}\right],\quad\cdots\quad {\bf e}_n=\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ \vdots\\1\end{array}\right];\nonumber \]

es decir, el componente\(j\) th de\({\bf e}_i\) es\(1\) si\(j=i\), o\(0\) si\(j\ne i\).

1. Demostrar que\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2,\dots,{\bf y}_n\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\({\bf y}'=A(t){\bf y}\) on\((a,b)\).
2. Concluyen de (a) y Ejercicio 10.3.15 que\({\bf y}'= A(t){\bf y}\) tiene infinitamente muchos conjuntos fundamentales de soluciones sobre\((a,b)\).

17. Demostrar que\(Y\) es una matriz fundamental para el sistema\({\bf y}'=A(t){\bf y}\) si y sólo si\(Y^{-1}\) es una matriz fundamental para\({\bf y}'=- A^T(t){\bf y}\), donde\(A^T\) denota la transposición de\(A\). HINTA: Ver Ejercicio 10.3.11.

18. Dejar\(Z\) ser la matriz fundamental para el sistema de coeficientes constantes\({\bf y}'=A{\bf y}\) tal que\(Z(0)=I\).

1. \(Z(t)Z(s)=Z(t+s)\)Demuéstralo para todos\(s\) y\(t\). SUMINISTRO: Para\(s\) let fijo\(\Gamma _{1}(t)=Z(t)Z(s)\) y\(\Gamma _{2}(t)=Z(t+s)\). Demostrar que\(\Gamma _{1}\) y ambas\(\Gamma_{2}\) son soluciones del problema del valor inicial de la matriz\(\Gamma '=A\Gamma , \:\Gamma (0)=Z(s)\). Entonces concluimos del Teorema 10.2.1 que\(\Gamma _{1}=\Gamma _{2}\).
2. \((Z(t))^{-1}=Z(-t)\)Demuéstralo.
3. La matriz\(Z\) definida anteriormente a veces se denota por\(e^{tA}\). Discutir la motivación para esta notación.