10.4: Sistemas Homogéneos de Coeficiente Constante I

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Comenzaremos ahora nuestro estudio del sistema homogéneo

\[\label{eq:10.4.1} {\bf y}'=A{\bf y},\]

donde\(A\) es una matriz\(n\times n\) constante. Dado que\(A\) es continuo\((-\infty,\infty)\), el Teorema 10.2.1 implica que todas las soluciones de la Ecuación\ ref {eq:10.4.1} se definen en\((-\infty,\infty)\). Por lo tanto, cuando hablamos de soluciones de\({\bf y}'=A{\bf y}\), nos referiremos a soluciones en\((-\infty,\infty)\).

En esta sección asumimos que todos los valores propios de\(A\) son reales y que\(A\) tiene un conjunto de vectores propios\(n\) linealmente independientes. En las dos secciones siguientes consideramos los casos donde algunos de los valores propios de\(A\) son complejos, o donde\(A\) no tiene vectores propios\(n\) linealmente independientes.

En el Ejemplo 10.3.2 mostramos que el vector funciona

\[{\bf y}_1=\twocol {-e^{2t}}{2e^{2t}}\quad \text{and} \quad {\bf y}_2=\twocol{-e^{-t}}{e^{-t}}\nonumber \]

formar un conjunto fundamental de soluciones del sistema

\[\label{eq:10.4.2} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc} {-4}&{-3}\\{6}&{5}\end{array} \right] {\bf y},\]

pero no mostramos cómo obtuvimos\({\bf y}_1\) y\({\bf y}_2\) en primer lugar. Para ver cómo se pueden obtener estas soluciones escribimos la Ecuación\ ref {eq:10.4.2} como

\[\label{eq:10.4.3} \begin{array}{ccc} y_1'&=-4y_1-3y_2\\y_2'&=\phantom{-}6y_1+5y_2\end{array}\]

y buscar soluciones de la forma

\[\label{eq:10.4.4} y_1=x_1e^{\lambda t}\quad \text{and} \quad y_2=x_2e^{\lambda t},\]

donde\(x_1\)\(x_2\), y\(\lambda\) son constantes por determinar. Ecuación diferenciadora\ ref {eq:10.4.4} rendimientos

\[y_1'=\lambda x_1e^{\lambda t}\quad\mbox{ and }\quad y_2'=\lambda x_2e^{\lambda t}.\nonumber\]

Sustituyendo esta y la Ecuación\ ref {eq:10.4.4} en la Ecuación\ ref {eq:10.4.3} y cancelar los\(e^{\lambda t}\) rendimientos del factor común

\[\begin{array}{ccc}-4x_1-3x_2&=&\lambda x_1 \\ 6 x_1+5x_2&=&\lambda x_2.\end{array}\nonumber\]

Para un dado\(\lambda\), este es un sistema algebraico homogéneo, ya que puede reescribirse como

\[\label{eq:10.4.5} \begin{array}{rcl} (-4-\lambda) x_1-3 x_2&=&0\\ 6 x_1+(5-\lambda) x_2&=&0.\end{array}\]

La solución trivial\(x_1=x_2=0\) de este sistema no es útil, ya que corresponde a la solución trivial\(y_1\equiv y_2\equiv0\) de la Ecuación\ ref {eq:10.4.3}, que no puede formar parte de un conjunto fundamental de soluciones de la Ecuación\ ref {eq:10.4.2}. Por lo tanto consideramos solo aquellos valores\(\lambda\) para los que la Ecuación\ ref {eq:10.4.5} tiene soluciones no triviales. Estos son los valores\(\lambda\) para los cuales el determinante de la Ecuación\ ref {eq:10.4.5} es cero; es decir,

\[\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc}-4-\lambda&-3\\6&5-\lambda\end{array}\right|&= (-4-\lambda)(5-\lambda)+18\\&=\lambda^2-\lambda-2\\ &=(\lambda-2)(\lambda+1)=0,\end{aligned}\nonumber\]

que cuenta con las soluciones\(\lambda_1=2\) y\(\lambda_2=-1\).

Tomando\(\lambda=2\) en la ecuación\ ref {eq:10.4.5} rendimientos

\[\begin{aligned} -6 x_1-3 x_2&=0\\ 6 x_1+3 x_2&=0,\end{aligned}\nonumber\]

lo que implica que\(x_1=-x_2/2\), donde se\(x_2\) puede elegir arbitrariamente. Elegir\(x_2=2\) rinde la solución\(y_1=-e^{2t}\),\(y_2=2e^{2t}\) de la Ecuación\ ref {eq:10.4.3}. Podemos escribir esta solución en forma vectorial como

\[\label{eq:10.4.6} {\bf y}_1=\twocol {-1}{\phantom{-}2} e^{2t}.\]

Tomando\(\lambda=-1\) en la ecuación\ ref {eq:10.4.5} produce el sistema

\[\begin{aligned} -3 x_1-3 x_2&=0\\ \phantom{-}6 x_1+6 x_2&=0,\end{aligned}\nonumber\]

así\(x_1=-x_2\). Tomando\(x_2=1\) aquí arroja la solución\(y_1=-e^{-t}\),\(y_2=e^{-t}\) de la Ecuación\ ref {eq:10.4.3}. Podemos escribir esta solución en forma vectorial como

\[\label{eq:10.4.7} {\bf y}_2=\twocol{-1}{\phantom{-}1}e^{-t}.\]

En la Ecuación\ ref {eq:10.4.6} y Ecuación\ ref {eq:10.4.7} los coeficientes constantes en los argumentos de las funciones exponenciales son los valores propios de la matriz de coeficientes en la Ecuación\ ref {eq:10.4.2}, y los coeficientes vectoriales de las funciones exponenciales son vectores propios asociados. Esto ilustra el siguiente teorema.

Teorema 10.4.1

Supongamos que la matriz\(n\times n\) constante\(A\) tiene valores propios\(n\) reales\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\) (que no necesitan ser distintos) con vectores propios linealmente independientes asociados\({\bf x}_1,{\bf x}_2,\ldots,{\bf x}_n\). Luego las funciones

\[{\bf y}_1={\bf x}_1e^{\lambda_1 t},\, {\bf y}_2={\bf x}_2e^{\lambda_2 t},\, \dots,\, {\bf y}_n={\bf x}_ne^{\lambda_n t} \nonumber\]

formar un conjunto fundamental de soluciones de\({\bf y}'=A{\bf y};\) que es\(,\) la solución general de este sistema es

\[{\bf y}=c_1{\bf x}_1e^{\lambda_1 t}+c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2 t} +\cdots+c_n{\bf x}_ne^{\lambda_n t}. \nonumber\]

Prueba

Diferenciar\({\bf y}_i={\bf x}_ie^{\lambda_it}\) y recordar que\(A{\bf x}_i=\lambda_i{\bf x}_i\) rinde

\[{\bf y}_i'=\lambda_i{\bf x}_ie^{\lambda_it}=A{\bf x}_ie^{\lambda_it} =A{\bf y}_i. \nonumber\]

Esto demuestra que\({\bf y}_i\) es una solución de\({\bf y}'=A{\bf y}\).

El Wronskian de\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2,\ldots,{\bf y}_n\}\) es

\[\left|\begin{array}{cccc} x_{11}e^{\lambda_1 t}& x_{12}e^{\lambda_2 t}&\cdots& x_{1n}e^{\lambda_n t}\\ x_{21}e^{\lambda_1 t}& x_{22}e^{\lambda_2 t}&\cdots& x_{2n}e^{\lambda_n t}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}e^{\lambda_1 t}& x_{n2}e^{\lambda_2 t}&\cdots& x_{nn}e^{\lambda x_n t}\end{array}\right| =e^{\lambda_1 t}e^{\lambda_2 t}\cdots e^{\lambda_n t} \left|\begin{array}{cccc} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\cr x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\cr \end{array}\right|.\nonumber\]

Dado que las columnas del determinante a la derecha son\({\bf x}_1\),\({\bf x}_2\),...\({\bf x}_n\), que se supone que son linealmente independientes, el determinante es distinto de cero. Por lo tanto, el Teorema 10.3.3 implica que\(\{{\bf y}_1,{\bf y}_2,\ldots,{\bf y}_n\}\) es un conjunto fundamental de soluciones de\({\bf y}'=A{\bf y}\).

Ejemplo 10.4.1

1. Encuentre la solución general de\[\label{eq:10.4.8} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{2}&{4}\\{4}&{2}\end{array} \right] {\bf y}.\]
2. Resolver el problema de valor inicial\[\label{eq:10.4.9} {\bf y}'=\left[\begin{array}{cc}{2}&{4}\\{4}&{2}\end{array} \right] {\bf y},\quad{\bf y}(0)=\left[\begin{array}{r}5 \\-1 \end{array}\right].\]

Solución a

El polinomio característico de la matriz de coeficientes\(A\) en la Ecuación\ ref {eq:10.4.8} es

\[\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\4&2-\lambda\end{array}\right| &= (\lambda-2)^2-16\\ &= (\lambda-2-4)(\lambda-2+4)\\ &= (\lambda-6)(\lambda+2).\end{aligned}\nonumber\]

De ahí,\(\lambda_1=6\) y\(\lambda_2 =-2\) son valores propios de\(A\). Para obtener los vectores propios, debemos resolver el sistema

\[\label{eq:10.4.10} \left[\begin{array}{cc} 2-\lambda&4\\4&2-\lambda\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right]\]

con\(\lambda=6\) y\(\lambda=-2\). Ajuste\(\lambda=6\) en Ecuación\ ref {eq:10.4.10} rendimientos

\[\left[\begin{array}{rr}-4&4\\4&-4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array} \right],\nonumber\]

lo que implica eso\(x_1=x_2\). Tomando\(x_2=1\) rinde el vector propio

\[{\bf x}_1=\left[\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right],\nonumber\]

por lo

\[{\bf y}_1=\left[\begin{array}{c} 1\\1\end{array}\right]e^{6t}\nonumber\]

es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.4.8}. Ajuste\(\lambda=-2\) en Ecuación\ ref {eq:10.4.10} rendimientos

\[\left[\begin{array}{rr} 4&4\\4&4\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right],\nonumber\]

lo que implica eso\(x_1=-x_2\). Tomando\(x_2=1\) rinde el vector propio

\[{\bf x}_2=\left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right],\nonumber\]

por lo

\[{\bf y}_2=\left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array} \right]e^{-2t}\nonumber\]

es una solución de la Ecuación\ ref {eq:10.4.8}. Del Teorema 10.4.1 , la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.4.8} es

\[\label{eq:10.4.11} {\bf y}=c_1{\bf y}_1+c_2{\bf y}_2=c_1\left[\begin{array}{r}1\\1 \end{array}\right]e^{6t}+c_2\left[\begin{array}{r}-1\\1 \end{array}\right]e^{-2t}.\]

Solución b

Para satisfacer la condición inicial en la Ecuación\ ref {eq:10.4.9}, debemos elegir\(c_1\) y\(c_2\) en la Ecuación\ ref {eq:10.4.11} para que

\[c_1\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]+c_2\left[ \begin{array}{r}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}5\\-1 \end{array}\right].\nonumber\]

Esto es equivalente al sistema

\[\begin{aligned} c_1-c_2&=\phantom{-}5\\ c_1+c_2&=-1,\end{aligned}\nonumber\]

así\(c_1=2, c_2=-3\). Por lo tanto, la solución de la Ecuación\ ref {eq:10.4.9} es

\[{\bf y}=2\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]e^{6t}-3 \left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right]e^{-2t},\nonumber\]

o, en términos de componentes,

\[y_1=2e^{6t}+3e^{-2t},\quad y_2=2e^{6t}-3e^{-2t}.\nonumber\]

Ejemplo 10.4.2

1. Encuentre la solución general de\[\label{eq:10.4.12} {\bf y}'=\left[\begin{array}{rrr}3&-1&-1\\-2& 3& 2\\4&-1&-2\end{array}\right]{\bf y}.\]
2. Resolver el problema de valor inicial\[\label{eq:10.4.13} {\bf y}'=\left[\begin{array}{rrr}3&-1&-1\\-2&3& 2\\4&-1&-2\end{array} \right]{\bf y},\quad{\bf y}(0)=\left[\begin{array}{r}2\\ -1\\8\end{array}\right].\]

Solución a

El polinomio característico de la matriz de coeficientes\(A\) en la Ecuación\ ref {eq:10.4.12} es

\[\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda&-1&-1\\-2&3-\lambda& 2\\4 &-1&-2-\lambda\end{array}\right|=-(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+1).\nonumber\]

De ahí que los valores propios de\(A\) son\(\lambda_1=2\),\(\lambda_2=3\), y\(\lambda_3=-1\). Para encontrar los vectores propios, debemos resolver el sistema

\[\label{eq:10.4.14} \left[\begin{array}{ccc}3-\lambda&-1&-1\\-2&3-\lambda& 2\\4&-1& -2-\lambda\end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right]=\left[\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right]\]

con\(\lambda=2\),\(3\),\(-1\). Con\(\lambda=2\), la matriz aumentada de Ecuación\ ref {eq:10.4.14} es

\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1&-1&-1&\vdots&0\\-2& 1&2&\vdots&0\\4&-1&-4&\vdots&0 \end{array}\right],\nonumber\]

que es fila equivalente a

\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1&0&-1&\vdots&0\\0&1&0& \vdots&0\\0&0&0&\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]

De ahí,\(x_1=x_3\) y\(x_2=0\). Tomando\(x_3=1\) rendimientos

\[{\bf y}_1=\left[\begin{array}{rrr}1\\0\\1\end{array}\right]e^{2t}\nonumber\]

como solución de la Ecuación\ ref {eq:10.4.12}. Con\(\lambda=3\), la matriz aumentada de Ecuación\ ref {eq:10.4.14} es

\[\left[\begin{array}{rrrcr}0&-1&-1&\vdots&0\\-2& 0& 2&\vdots&0\\4&-1&-5&\vdots&0 \end{array}\right],\nonumber\]

que es fila equivalente a

\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1&0&-1&\vdots&0\\0&1&1& \vdots&0\\0&0&0&\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]

De ahí,\(x_1=x_3\) y\(x_2=-x_3\). Tomando\(x_3=1\) rendimientos

\[{\bf y}_2=\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array} \right]e^{3t}\nonumber\]

como solución de la Ecuación\ ref {eq:10.4.12}. Con\(\lambda=-1\), la matriz aumentada de Ecuación\ ref {eq:10.4.14} es

\[\left[\begin{array}{rrrcr} 4&-1&-1&\vdots&0\\-2&4& 2&\vdots&0\\4&-1&-1&\vdots&0 \end{array}\right],\nonumber\]

que es fila equivalente a

\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1&0&-{1\over 7}&\vdots&0\\0&1& {3\over 7}&\vdots&0\\0&0&0&\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]

De ahí,\(x_1=x_3/7\) y\(x_2=-3x_3/7\). Tomando\(x_3=7\) rendimientos

\[{\bf y}_3=\left[\begin{array}{r}1\\-3\\7\end{array} \right]e^{-t}\nonumber\]

como solución de la Ecuación\ ref {eq:10.4.12}. Por teorema 10.4.1 , la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.4.12} es

\[{\bf y}=c_1\left[\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right]e^{2t} +c_2\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right] e^{3t}+c_3 \left[\begin{array}{r}1\\-3\\7\end{array}\right]e^{-t},\nonumber\]

que también se puede escribir como

\[\label{eq:10.4.15} {\bf y}=\left[\begin{array}{crc}e^{2t}&e^{3t}&e^{-t} \\0&-e^{3t}& -3e^{-t}\\e^{2t}&e^{3t}&\phantom{-}7e^{-t}\end{array} \right]\left[\begin{array}{c} c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right].\]

Solución b

Para satisfacer la condición inicial en la Ecuación\ ref {eq:10.4.13} debemos elegir\(c_1\),\(c_2\),\(c_3\) en la Ecuación\ ref {eq:10.4.15} para que

\[\left[\begin{array}{rrr}1&1&1\\0&-1&-3\\ 1&1&7\end{array}\right] \left[\begin{array}{c} c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right]= \left[\begin{array}{r}2\\-1\\8\end{array}\right].\nonumber\]

Resolver este sistema rinde\(c_1=3\),\(c_2=-2\),\(c_3=1\). De ahí que la solución de la Ecuación\ ref {eq:10.4.13} es

\[\begin{aligned} {\bf y}&=\left[\begin{array}{ccc}e^{2t}&e^{3t}& e^{-t}\\0&-e^{3t} &-3e^{-t}\\e^{2t}&e^{3t}&7e^{-t}\end{array} \right] \left[\begin{array}{r}3\\-2\\1\end{array}\right]\\ &=3\left[\begin{array}{r}1\\0\\1\end{array}\right]e^{2t}-2 \left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right] e^{3t}+\left[\begin{array}{r}1\\-3\\7\end{array} \right]e^{-t}.\end{aligned}\nonumber\]

Ejemplo 10.4.3

Encuentre la solución general de

\[\label{eq:10.4.16} {\bf y}'=\left[\begin{array}{rrr}-3&2&2\\ 2&-3&2\\2&2&-3 \end{array}\right]{\bf y}.\]

Solución

El polinomio característico de la matriz de coeficientes\(A\) en la Ecuación\ ref {eq:10.4.16} es

\[\left|\begin{array}{ccc}-3-\lambda&2&2\\2&-3-\lambda&2\\2&2 &-3-\lambda\end{array}\right|=-(\lambda-1)(\lambda+5)^2.\nonumber\]

De ahí\(\lambda_1=1\) que sea un valor propio de multiplicidad\(1\), mientras que\(\lambda_2=-5\) es un valor propio de multiplicidad\(2\). Los vectores propios asociados a\(\lambda_1=1\) son soluciones del sistema con matriz aumentada

\[\left[\begin{array}{rrrcr}-4&2&2&\vdots&0\\ 2 &-4&2&\vdots&0\\2&2&-4& \vdots&0\end{array}\right],\nonumber\]

que es fila equivalente a

\[\left[\begin{array}{rrrcr} 1&0&-1&\vdots& 0\\0&1&-1 &\vdots& 0 \\0&0&0&\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]

De ahí\(x_1=x_2=x_3\),, y elegimos\(x_3=1\) obtener la solución

\[\label{eq:10.4.17} {\bf y}_1=\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right]e^t\]

de Ecuación\ ref {eq:10.4.16}. Los vectores propios asociados a\(\lambda_2=-5\) son soluciones del sistema con matriz aumentada

\[\left[\begin{array}{rrrcr} 2&2&2&\vdots&0\\2&2&2&\vdots&0 \\2&2&2&\vdots&0\end{array}\right].\nonumber\]

Por lo tanto, los componentes de estos vectores propios solo necesitan satisfacer la única condición

\[x_1+x_2+x_3=0.\nonumber\]

Ya que aquí sólo hay una ecuación, podemos elegir\(x_2\) y\(x_3\) arbitrariamente. Obtenemos un vector propio eligiendo\(x_2=0\) y\(x_3=1\), y otro eligiendo\(x_2=1\) y\(x_3=0\). En ambos casos\(x_1=-1\). Por lo tanto

\[\left[\begin{array}{r}-1\\0\\1\end{array}\right]\quad \mbox{ and }\quad\left[\begin{array}{r}-1\\1\\0 \end{array}\right]\nonumber\]

son vectores propios linealmente independientes asociados con\(\lambda_2= -5\), y las soluciones correspondientes de la Ecuación\ ref {eq:10.4.16} son

\[{\bf y}_2=\left[\begin{array}{r}-1\\0\\1\end{array} \right]e^{-5t}\quad \mbox{ and }\quad{\bf y}_3=\left[\begin{array}{r}-1\\1\\ 0\end{array}\right]e^{-5t}.\nonumber\]

Debido a esto y a la Ecuación\ ref {eq:10.4.17}, el Teorema 10.4.1 implica que la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.4.16} es

\[{\bf y}=c_1\left[\begin{array}{r}1\\1\\ 1\end{array}\right]e^t+c_2 \left[\begin{array}{r}-1\\0\\1\end{array}\right] e^{-5t}+c_3\left[\begin{array}{r}-1\\1\\0\end{array} \right]e^{-5t}.\nonumber\]

Propiedades geométricas de las soluciones cuando\(n=2\)

Ahora consideraremos las propiedades geométricas de las soluciones de un sistema de coeficientes\(2\times2\) constantes

\[\label{eq:10.4.18} \twocol{y_1'}{y_2'}=\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{array}\right]\twocol{y_1}{y_2}.\]

Es conveniente pensar en un “\(y_1\)-\(y_2\) plano”, donde un punto es identificado por coordenadas rectangulares\((y_1,y_2)\). Si\({\bf y}=\left[\begin{array}{c}{y_{1}}\\{y_{2}}\end{array} \right]\) es una solución no constante de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18}, entonces el punto\((y_1(t),y_2(t))\) se mueve a lo largo de una curva\(C\) en el\(y_2\) plano\(y_1\) - como\(t\) varía de\(-\infty\) a\(\infty\). Llamamos a\(C\) la trayectoria de\({\bf y}\). (También decimos que\(C\) es una trayectoria del sistema Ecuación\ ref {eq:10.4.18}.) Es importante señalar que\(C\) es la trayectoria de infinitamente muchas soluciones de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18}, ya que si\(\tau\) es algún número real, entonces\({\bf y}(t-\tau)\) es una solución de Ecuación\ ref {eq:10.4.18} (Ejercicio 10.4.28b), y\((y_1(t-\tau),y_2(t-\tau))\) también se mueve a lo largo\(C\) como \(t\)varía de\(-\infty\) a\(\infty\). Además, el Ejercicio 10.4.28c implica que distintas trayectorias de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18} no pueden cruzarse, y que dos soluciones\({\bf y}_1\) y\({\bf y}_2\) de Ecuación\ ref {eq:10.4.18} tienen la misma trayectoria si y solo si\({\bf y}_2(t)={\bf y}_1(t-\tau)\) para algunos\(\tau\).

Del Ejercicio 10.4.28a, una trayectoria de una solución no trivial de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18} no puede contener\((0,0)\), que definimos como la trayectoria de la solución trivial\({\bf y}\equiv0\). De manera más general, si\({\bf y}=\left[\begin{array}{c}{k_{1}}\\{k_{2}}\end{array} \right] \ne{\bf 0}\) es una solución constante de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18} (que podría ocurrir si cero es un valor propio de la matriz de Ecuación\ ref {eq:10.4.18}), definimos la trayectoria de\({\bf y}\) ser el punto único\((k_1,k_2)\).

Para ser específicos, esta es la pregunta: ¿Cómo se ven las trayectorias y cómo se recorren? En esta sección vamos a responder a esta pregunta, asumiendo que la matriz

\[A=\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{array}\right]\nonumber\]

de Ecuación\ ref {eq:10.4.18} tiene valores propios reales\(\lambda_1\) y\(\lambda_2\) con vectores propios linealmente independientes asociados\({\bf x}_1\) y\({\bf x}_2\). Entonces la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18} es

\[\label{eq:10.4.19} {\bf y}= c_1{\bf x}_1 e^{\lambda_1 t}+c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2 t}.\]

Consideraremos otras situaciones en las siguientes dos secciones.

Te dejamos a ti (Ejercicio 10.4.35) clasificar las trayectorias de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18} si cero es un valor propio de\(A\). Vamos a confinar nuestra atención aquí al caso donde ambos valores propios son distintos de cero. En este caso la situación más simple es donde\(\lambda_1=\lambda_2\ne0\), así que la Ecuación\ ref {eq:10.4.19} se convierte

\[{\bf y}=(c_1{\bf x}_1+c_2{\bf x}_2)e^{\lambda_1 t}.\nonumber\]

Dado que\({\bf x}_1\) y\({\bf x}_2\) son linealmente independientes, un vector arbitrario\({\bf x}\) puede escribirse como\({\bf x}=c_1{\bf x}_1+c_2{\bf x}_2\). Por lo tanto, la solución general de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18} puede escribirse como\({\bf y}={\bf x}e^{\lambda_1 t}\) donde\({\bf x}\) es un\(2\) vector arbitrario, y las trayectorias de soluciones no triviales de la Ecuación\ ref {eq:10.4.18} son medias líneas a través (pero sin incluir) el origen. La dirección del movimiento está lejos del origen si\(\lambda_1>0\) (Figura 10.4.1 ), hacia él si\(\lambda_1<0\) (Figura 10.4.2 ). (En estas y en las siguientes figuras una flecha a través de un punto indica la dirección del movimiento a lo largo de la trayectoria a través del punto).

Figura 10.4.1 : Trayectorias de un\(2\times 2\) sistema con un valor propio positivo repetido.

Figura 10.4.2 : Trayectorias de un\(2\times 2\) sistema con un valor propio negativo repetido.

Ahora supongamos\(\lambda_2>\lambda_1\), y dejar\(L_1\) y\(L_2\) denotar líneas a través del origen paralelas a\({\bf x}_1\) y\({\bf x}_2\), respectivamente. Por media línea de\(L_1\) (o\(L_2\)), nos referimos a cualquiera de los rayos obtenidos al eliminar el origen de\(L_1\) (o\(L_2\)).

Dejando\(c_2=0\) en Ecuación\ ref {eq:10.4.19} rendimientos\({\bf y}=c_1{\bf x}_1e^{\lambda_1 t}\). Si\(c_1\ne0\), la trayectoria definida por esta solución es una media línea de\(L_1\). La dirección del movimiento es alejada del origen si\(\lambda_1>0\), hacia el origen si\(\lambda_1<0\). De igual manera, la trayectoria de\({\bf y}=c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2 t}\) con\(c_2\ne0\) es una media línea de\(L_2\).

En adelante, asumimos que\(c_1\) y\(c_2\) en la Ecuación\ ref {eq:10.4.19} son ambos distintos de cero. En este caso, la trayectoria de la Ecuación\ ref {eq:10.4.19} no puede cruzarse\(L_1\) o\(L_2\), ya que cada punto en estas líneas está en la trayectoria de una solución para la cual cualquiera\(c_1=0\) o\(c_2=0\). (Recuerda: ¡trayectorias distintas no pueden cruzarse!). Por lo tanto la trayectoria de la Ecuación\ ref {eq:10.4.19} debe estar enteramente en uno de los cuatro sectores abiertos delimitados por\(L_1\) y\(L_2\), pero no hacer ningún punto sobre\(L_1\) o\(L_2\). Desde el punto inicial\((y_1(0),y_2(0))\) definido por

\[{\bf y}(0)=c_1{\bf x}_1+c_2{\bf x}_2\nonumber\]

está en la trayectoria, podemos determinar qué sector contiene la trayectoria a partir de los signos de\(c_1\) y\(c_2\), como se muestra en la Figura 10.4.3 .

Figura 10.4.3 : Cuatro sectores abiertos delimitados por\(L_{1}\) y\(L_{2}\).

La dirección de\({\bf y}(t)\) en la Ecuación\ ref {eq:10.4.19} es la misma que la de

\[\label{eq:10.4.20} e^{-\lambda_2 t}{\bf y}(t)= c_1{\bf x}_1e^{-(\lambda_2-\lambda_1)t}+c_2{\bf x}_2\]

y de

\[\label{eq:10.4.21} e^{-\lambda_1 t}{\bf y}(t)=c_1{\bf x}_1+c_2{\bf x}_2e^{(\lambda_2-\lambda_1)t}.\]

Dado que el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:10.4.20} se aproxima\(c_2{\bf x}_2\) como\(t\to\infty\), la trayectoria es asintóticamente paralela a\(L_2\) as\(t\to\infty\). Dado que el lado derecho de la Ecuación\ ref {eq:10.4.21} se aproxima\(c_1{\bf x}_1\) como\(t\to-\infty\), la trayectoria es asintóticamente paralela a\(L_1\) as\(t\to-\infty\).

La forma y dirección de recorrido de la trayectoria de la Ecuación\ ref {eq:10.4.19} dependen de si\(\lambda_1\) y\(\lambda_2\) son ambos positivos, ambos negativos, o de signos opuestos. Ahora analizaremos estos tres casos.

En adelante\(\|{\bf u}\|\) denotan la longitud del vector\({\bf u}\).

Caso 1:\(\lambda _{2}>\lambda _{1}>0\)

La figura 10.4.4 muestra algunas trayectorias típicas. En este caso,\(\lim_{t\to-\infty}\|{\bf y}(t)\|=0\), por lo que la trayectoria no sólo es asintóticamente paralela a\(L_1\) as\(t\to-\infty\), sino que en realidad es asintóticamente tangente a\(L_1\) en su origen. Por otro lado,\(\lim_{t\to\infty}\|{\bf y}(t)\|=\infty\) y

\[\lim_{t\to\infty}\left\|{\bf y}(t)-c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2 t}\right\|=\lim_{t\to\infty}\|c_1{\bf x_1}e^{\lambda_1t}\|=\infty,\nonumber\]

así, aunque la trayectoria es asintóticamente paralela a\(L_2\) as\(t\to\infty\), no es asintóticamente tangente a\(L_2\). La dirección del movimiento a lo largo de cada trayectoria está alejada del origen.

Figura 10.4.4 : Dos valores propios positivos; alejamiento del origen.

Caso 2:\(0>\lambda _{2}>\lambda _{1}\)

La figura 10.4.5 muestra algunas trayectorias típicas. En este caso,\(\lim_{t\to\infty}\|{\bf y}(t)\|=0\), por lo que la trayectoria es asintóticamente tangente a\(L_2\) en el origen como\(t\to\infty\). Por otro lado,\(\lim_{t\to-\infty}\|{\bf y}(t)\|=\infty\) y

\[\lim_{t\to-\infty}\left\|{\bf y}(t)-c_1{\bf x}_1e^{\lambda_1 t}\right\|=\lim_{t\to-\infty}\|c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2t}\|=\infty,\nonumber\]

así, aunque la trayectoria es asintóticamente paralela a\(L_1\) as\(t\to-\infty\), no es asintóticamente tangente a ella. La dirección del movimiento a lo largo de cada trayectoria es hacia el origen.

Figura 10.4.5 : Dos valores propios negativos; movimiento hacia el origen.

Caso 3:\(\lambda _{2}>0>\lambda _{1}\)

La figura 10.4.6 muestra algunas trayectorias típicas. En este caso,

\[\lim_{t\to\infty}\|{\bf y}(t)\|=\infty \quad \text{and} \quad \lim_{t\to\infty}\left\|{\bf y}(t)-c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2 t}\right\|=\lim_{t\to\infty}\|c_1{\bf x}_1e^{\lambda_1t}\|=0,\nonumber\]

por lo que la trayectoria es asintóticamente tangente a\(L_2\) as\(t\to\infty\). Del mismo modo,

\[\lim_{t\to-\infty}\|{\bf y}(t)\|=\infty \quad \text{and} \quad \lim_{t\to-\infty}\left\|{\bf y}(t)-c_1{\bf x}_1e^{\lambda_1 t}\right\|=\lim_{t\to-\infty}\|c_2{\bf x}_2e^{\lambda_2t}\|=0,\nonumber\]

por lo que la trayectoria es asintóticamente tangente a\(L_1\) as\(t\to-\infty\). La dirección del movimiento es hacia el origen sobre\(L_1\) y lejos del origen encendido\(L_2\). La dirección del movimiento a lo largo de cualquier otra trayectoria es alejada de\(L_1\), hacia\(L_2\).

Figura 10.4.6 : Valores propios de diferentes signos.