11.1E: Problemas de autovalor para y” + λy = 0 (Ejercicios)

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Q11.1.1

1. Demostrar que\(\lambda=0\) es un valor propio del Problema 5 con la función propia asociada\(y_0=1\), y que cualquier otro valor propio debe ser positivo.

Q11.1.2

En Ejercicios 11.1.2-11.1.16 resolver el problema del valor propio.

2. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(\pi)=0\)

3. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y'(\pi)=0\)

4. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(\pi)=0\)

5. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y(\pi)=0\)

6. \(y''+\lambda y=0,\quad y(-\pi)= y(\pi), \quad y'(-\pi)=y'(\pi)\)

7. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y'(1)=0\)

8. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y(1)=0\)

9. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(1)=0\)

10. \(y''+\lambda y=0,\quad y(-1)= y(1), \quad y'(-1)=y'(1)\)

11. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(1)=0\)

12. \(y''+\lambda y=0,\quad y(-2)= y(2), \quad y'(-2)=y'(2)\)

13. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(2)=0\)

14. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y(3)=0\)

15. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(1/2)=0\)

16. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y'(5)=0\)

Q11.1.3

17. Demostrar Teorema 11.1.3.

18. Demostrar Teorema 11.1.5.

19. Verificar que las funciones propias

\[\sin{\pi x\over L}, \, \sin{2\pi x\over L},\dots, \, \sin{n\pi x\over L},\dots\nonumber \]

del Problema 1 son ortogonales en\([0,L]\).

20. Verificar que las funciones propias

\[1,\, \cos{\pi x\over L}, \, \cos{2\pi x\over L},\dots, \, \cos{n\pi x\over L},\dots\nonumber \]

del Problema 2 son ortogonales en\([0,L]\).

21. Verificar que las funciones propias

\[\sin{\pi x\over 2L}, \, \sin{3\pi x\over 2L},\dots, \, \sin{(2n-1)\pi x\over 2L},\dots\nonumber \]

del Problema 3 son ortogonales en\([0,L]\).

22. Verificar que las funciones propias

\[\cos{\pi x\over 2L}, \, \cos{3\pi x\over 2L},\dots, \, \cos{(2n-1)\pi x\over 2L},\dots\nonumber \]

del Problema 4 son ortogonales en\([0,L]\).

Q11.1.4

En Ejercicios 11.1.23-11.1.26 resolver el problema del valor propio.

23. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad \int_0^Ly(x)\,dx=0\)

24. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad \int_0^Ly(x)\,dx=0\)

25. \(y''+\lambda y=0,\quad y(L)=0,\quad \int_0^Ly(x)\,dx=0\)

26. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(L)=0,\quad \int_0^Ly(x)\,dx=0\)