11.1: Problemas de autovalor para y” + λy = 0
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En el Capítulo 12 estudiaremos ecuaciones diferenciales parciales que surgen en problemas de conducción de calor, propagación de olas y teoría del potencial. El propósito de este capítulo es desarrollar las herramientas necesarias para resolver estas ecuaciones. En esta sección consideramos los siguientes problemas, donde\(\lambda\) se encuentra un número real y\(L>0\):
- Problema 1:\(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(L)=0\)
- Problema 2:\(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y'(L)=0\)
- Problema 3:\(y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(L)=0\)
- Problema 4:\(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y(L)=0\)
- Problema 5:\(y''+\lambda y=0,\quad y(-L)=y(L), \quad y'(-L)=y'(L)\)
En cada problema las condiciones que siguen a la ecuación diferencial se denominan condiciones límite. Tenga en cuenta que las condiciones de contorno en el Problema 5, a diferencia de las de Problemas 1-4, no requieren eso\(y\) o\(y'\) ser cero en los puntos límite, sino solo que\(y\) tienen el mismo valor at\(x=\pm L\), y que\(y'\) tienen el mismo valor at\(x=\pm L\). Decimos que las condiciones límite en el Problema 5 son periódicas.
Obviamente,\(y\equiv0\) (la solución trivial) es una solución de Problemas 1-5 por cualquier valor de\(\lambda\). Para la mayoría de los valores de\(\lambda\), no hay otras soluciones. La pregunta interesante es esta:
¿Para qué valores del\(\lambda\) problema tiene soluciones no triviales, y cuáles son?
Un valor\(\lambda\) para el cual el problema tiene una solución no trivial es un valor propio del problema, y las soluciones no triviales son\(\lambda\) - funciones propias, o funciones propias asociadas con\(\lambda\). Tenga en cuenta que un múltiplo constante distinto de cero de una función\(\lambda\) -eigenfunction es nuevamente una función\(\lambda\) -eigenfunction.
Los problemas 1-5 se denominan problemas de valor propio. Resolver un problema de autovalor significa encontrar todos sus valores propios y funciones propias asociadas. Tomaremos como se da aquí que todos los valores propios de Problemas 1-5 son números reales. Esto se demuestra en un marco más general en la Sección 13.2.
Problemas\(1\) — no\(5\) tienen valores propios negativos. Además\(,\)\(\lambda=0\) es un valor propio de Problemas\(2\) y\(5,\) con función propia asociada\(y_0=1,\) pero\(\lambda=0\) no es un valor propio de Problemas\(1,\)\(3,\) o\(4\).
- Prueba
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Consideramos Problemas 1-4, y dejamos el Problema 5 a usted (Ejercicio 11.1.1). Si\(y''+\lambda y=0\), entonces\(y(y''+\lambda y)=0\), así
\[\int_0^L y(x)(y''(x)+\lambda y(x))\,dx=0;\nonumber \]
por lo tanto,
\[\label{eq:11.1.1} \lambda\int_0^L y^2(x)\,dx=-\int_0^L y(x)y''(x)\, dx.\]
Integración por rendimientos de piezas
\[\label{eq:11.1.2} \begin{array}{rcl} \int_0^L y(x)y''(x)\, dx &= \left.\ y(x)y'(x)\right| _{0}^{L} -\int_0^L (y'(x))^2\,dx \\ &=\ y(L)y'(L)-y(0)y'(0)-\int_0^L (y'(x))^2\,dx. \end{array}\]
Sin embargo, si\(y\) satisface alguna de las condiciones límite de los Problemas 1-4, entonces
\[y(L)y'(L)-y(0)y'(0)=0;\nonumber \]
por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:11.1.1} y la Ecuación\ ref {eq:11.1.2} implican que
\[\lambda\int_0^L y^2(x)\,dx=\int_0^L (y'(x))^2\, dx.\nonumber \]
Si\(y\not\equiv0\), entonces\(\int_0^L y^2(x)\,dx>0\). Por lo tanto\(\lambda\ge0\) y, si\(\lambda=0\), entonces\(y'(x)=0\) para todos\(x\) en\((0,L)\) (¿por qué?) , y\(y\) es constante en\((0,L)\). Cualquier función constante satisface las condiciones de límite del Problema 2, así\(\lambda=0\) es un valor propio del Problema 2 y cualquier función constante distinta de cero es una función propia asociada. Sin embargo, la única función constante que satisface las condiciones límite de Problemas\(1\),\(3\), o\(4\) es\(y\equiv0\). Por lo tanto,\(\lambda=0\) no es un valor propio de ninguno de estos problemas.
Resolver el problema del valor propio
\[\label{eq:11.1.3} y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(L)=0.\]
Solución
Del Teorema 11.1.1 , cualquier valor propio de la Ecuación\ ref {eq:11.1.3} debe ser positivo. Si\(y\) satisface la Ecuación\ ref {eq:11.1.3} con\(\lambda>0\), entonces
\[y=c_1\cos\sqrt\lambda\, x+c_2\sin\sqrt\lambda\, x,\nonumber \]
donde\(c_1\) y\(c_2\) son constantes. La condición límite\(y(0)=0\) implica eso\(c_1=0\). Por lo tanto\(y=c_2\sin\sqrt\lambda\, x\). Ahora la condición límite\(y(L)=0\) implica eso\(c_2\sin\sqrt\lambda\, L=0\). Para hacer\(c_2\sin\sqrt\lambda\, L=0\) con\(c_2\ne0\), debemos elegir\(\sqrt\lambda=n\pi/L\), donde\(n\) es un entero positivo. Por lo tanto,\(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\) es un valor propio y
\[y_n=\sin{n\pi x\over L}\nonumber \]
es una función propia asociada.
Para referencia futura, declaramos el resultado de Ejemplo 11.1.1 como teorema.
El problema del valor propio
\[y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(L)=0\nonumber \]
tiene infinitamente muchos valores propios positivos\(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\), con funciones propias asociadas
\[y_n=\sin {n\pi x\over L},\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
No hay otros valores propios.
Te dejamos probar el siguiente teorema sobre el Problema 2 mediante un argumento como el de Ejemplo 11.1.1 (Ejercicio 11.1.17).
El problema del valor propio
\[y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y'(L)=0\nonumber \]
tiene el valor propio\(\lambda_0=0\), con función propia asociada\(y_0=1\), e infinitamente muchos valores propios positivos\(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\), con funciones propias asociadas
\[y_n=\cos {n\pi x\over L}, n=1,2,3\dots.\nonumber\]
No hay otros valores propios.
Resolver el problema del valor propio
\[\label{eq:11.1.4} y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(L)=0.\]
Solución:
Del Teorema 11.1.1 , cualquier valor propio de la Ecuación\ ref {eq:11.1.4} debe ser positivo. Si\(y\) satisface la Ecuación\ ref {eq:11.1.4} con\(\lambda>0\), entonces
\[y=c_1\cos\sqrt\lambda\, x+c_2\sin\sqrt\lambda\, x,\nonumber \]
donde\(c_1\) y\(c_2\) son constantes. La condición límite\(y(0)=0\) implica eso\(c_1=0\). Por lo tanto\(y=c_2\sin\sqrt\lambda\, x\). De ahí,\(y'=c_2\sqrt\lambda\cos\sqrt\lambda\,x\) y la condición límite\(y'(L)=0\) implica eso\(c_2\cos\sqrt\lambda\,L=0\). Para hacer\(c_2\cos\sqrt\lambda\,L=0\) con\(c_2\ne0\) nosotros debemos elegir
\[\sqrt\lambda={(2n-1)\pi\over2L},\nonumber \]
donde\(n\) es un entero positivo. Entonces\(\lambda_n=(2n-1)^2\pi^2/4L^2\) es un valor propio y
\[y_n=\sin{(2n-1)\pi x\over2L}\nonumber \]
es una función propia asociada.
Para referencia futura, declaramos el resultado de Ejemplo 11.1.2 como teorema.
El problema del valor propio
\[y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(L)=0\nonumber \]
tiene infinitamente muchos valores propios positivos\(\lambda_n=(2n-1)^2\pi^2/4L^2,\) con funciones propias asociadas
\[y_n=\sin{(2n-1)\pi x\over2L},\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber \]
No hay otros valores propios.
Te dejamos probar el siguiente teorema sobre el Problema 4 mediante un argumento como el de Ejemplo 11.1.2 (Ejercicio 11.1.18).
El problema del valor propio
\[y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y(L)=0\nonumber \]
tiene infinitamente muchos valores propios positivos\(\lambda_n=(2n-1)^2\pi^2/4L^2,\) con funciones propias asociadas
\[y_n=\cos{(2n-1)\pi x\over2L},\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
No hay otros valores propios.
Resolver el problema del valor propio
\[\label{eq:11.1.5} y''+\lambda y=0,\quad y(-L)=y(L),\quad y'(-L)=y'(L).\]
Solución
Del teorema 11.1.1 ,\(\lambda=0\) es un valor propio de la ecuación\ ref {eq:11.1.5} con función propia asociada\(y_0=1\), y cualquier otro valor propio debe ser positivo. Si\(y\) satisface la Ecuación\ ref {eq:11.1.5} con\(\lambda>0\), entonces
\[\label{eq:11.1.6} y=c_1\cos\sqrt\lambda\, x+c_2\sin\sqrt\lambda\, x,\]
donde\(c_1\) y\(c_2\) son constantes. La condición límite\(y(-L)=y(L)\) implica que
\[\label{eq:11.1.7} c_1\cos(-\sqrt\lambda\,L)+c_2\sin(-\sqrt\lambda\,L)=c_1\cos \sqrt\lambda\,L+c_2\sin \sqrt\lambda\,L.\]
Desde
\[\label{eq:11.1.8} \cos(-\sqrt\lambda\,L)=\cos \sqrt\lambda\,L\quad \text{and} \quad \sin(-\sqrt\lambda\,L)=-\sin \sqrt\lambda\,L,\]
La ecuación\ ref {eq:11.1.7} implica que
\[\label{eq:11.1.9} c_2\sin \sqrt\lambda\,L=0.\]
Ecuación diferenciadora\ ref {eq:11.1.6} rendimientos
\[y'=\sqrt\lambda\left(-c_1\sin\sqrt\lambda x+c_2\cos\sqrt\lambda x\right).\nonumber\]
La condición límite\(y'(-L)=y'(L)\) implica que
\[-c_1\sin(-\sqrt\lambda\,L)+c_2\cos(-\sqrt\lambda\,L)=-c_1\sin \sqrt\lambda\,L+c_2\cos \sqrt\lambda\,L,\nonumber\]
y Ecuación\ ref {eq:11.1.8} implica que
\[\label{eq:11.1.10} c_1\sin \sqrt\lambda\,L=0.\]
Eqns. La ecuación\ ref {eq:11.1.9} y la ecuación\ ref {eq:11.1.10} implican que\(c_1=c_2=0\) a menos que\(\sqrt\lambda =n\pi /L\), donde\(n\) sea un entero positivo. En este caso Ecuación\ ref {eq:11.1.9} y Ecuación\ ref {eq:11.1.10} ambas se mantienen para arbitrarias\(c_1\) y\(c_2\). El valor propio determinado de esta manera es\(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2\), y cada uno de esos valores propios tiene las funciones propias asociadas linealmente independientes
\[\cos {n\pi x\over L} \quad \text{and} \quad \sin{ n\pi x\over L}. \nonumber\]
Para referencia futura indicamos el resultado de Ejemplo 11.1.3 como teorema.
El problema del valor propio
\[y''+\lambda y=0,\quad y(-L)=y(L),\quad y'(-L)=y'(L),\nonumber\]
tiene el valor propio\(\lambda_0=0\), con función propia asociada\(y_0=1\) e infinitamente muchos valores propios positivos\(\lambda_n=n^2\pi^2/L^2,\) con funciones propias asociadas
\[y_{1n}=\cos {n\pi x\over L} \quad \text{and} \quad y_{2n}=\sin {n\pi x\over L},\quad n=1,2,3,\dots.\nonumber\]
No hay otros valores propios.
Ortogonalidad
Decimos que dos funciones integrables\(f\) y\(g\) son ortogonales en un intervalo\([a,b]\) si
\[\int_a^bf(x)g(x)\,dx=0.\nonumber\]
De manera más general, decimos que las funciones\(\phi_1\),\(\phi_2\),...,\(\phi_n\),... (finita o infinitamente muchas) son ortogonales sobre\([a,b]\) si
\[\int_a^b\phi_i(x)\phi_j(x)\,dx=0\quad \text{whenever} \quad i\ne j.\nonumber\]
La importancia de la ortogonalidad quedará clara cuando estudiemos las series de Fourier en las dos secciones siguientes.
Demostrar que las funciones propias
\[\label{eq:11.1.11} 1,\, \cos{\pi x\over L},\, \sin{\pi x\over L}, \, \cos{2\pi x\over L}, \, \sin{2\pi x\over L},\dots, \cos{n\pi x\over L}, \, \sin{n\pi x\over L},\dots\]
del Problema 5 son ortogonales en\([-L,L]\).
Solución
Debemos demostrar que
\[\label{eq:11.1.12} \int_{-L}^L f(x)g(x)\,dx=0\]
siempre\(f\) y\(g\) son funciones distintas de la Ecuación\ ref {eq:11.1.11}. Si\(r\) es cualquier entero distinto de cero, entonces
\[\label{eq:11.1.13} \int_{-L}^L\cos{r\pi x\over L}\,dx ={L\over r\pi}\sin{r\pi x\over L}\bigg|_{-L}^L=0.\]
y
\[\int_{-L}^L\sin{r\pi x\over L}\,dx =-{L\over r\pi}\cos{r\pi x\over L}\bigg|_{-L}^L=0.\nonumber\]
Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:11.1.12} mantiene si\(f\equiv1\) y\(g\) es cualquier otra función en la Ecuación\ ref {eq:11.1.11}.
Si\(f(x)=\cos m\pi x/L\) y\(g(x)=\cos n\pi x/L\) donde\(m\) y\(n\) son enteros positivos distintos, entonces
\[\label{eq:11.1.14} \int_{-L}^L f(x)g(x)\,dx=\int_{-L}^L\cos{m\pi x\over L} \cos{n\pi x\over L}\,dx.\]
Para evaluar esta integral, utilizamos la identidad
\[\cos A\cos B={1\over2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]\nonumber\]
con\(A=m\pi x/L\) y\(B=n\pi x/L\). Entonces la Ecuación\ ref {eq:11.1.14} se convierte
\[\int_{-L}^L f(x)g(x)\,dx={1\over2}\left[\int_{-L}^L\cos{(m-n)\pi x\over L}\,dx +\int_{-L}^L\cos{(m+n)\pi x\over L}\,dx\right].\nonumber\]
Dado que\(m-n\) y\(m+n\) son ambos enteros distintos de cero, la ecuación\ ref {eq:11.1.13} implica que las integrales de la derecha son ambas cero. Por lo tanto, la Ecuación\ ref {eq:11.1.12} es cierta en este caso.
Si\(f(x)=\sin m\pi x/L\) y\(g(x)=\sin n\pi x/L\) donde\(m\) y\(n\) son enteros positivos distintos, entonces
\[\label{eq:11.1.15} \int_{-L}^L f(x)g(x)\,dx=\int_{-L}^L\sin{m\pi x\over L} \sin{n\pi x\over L}\,dx.\]
Para evaluar esta integral, utilizamos la identidad
\[\sin A\sin B={1\over2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]\nonumber\]
con\(A=m\pi x/L\) y\(B=n\pi x/L\). Entonces la Ecuación\ ref {eq:11.1.15} se convierte
\[\int_{-L}^L f(x)g(x)\,dx={1\over2}\left[\int_{-L}^L\cos{(m-n)\pi x\over L}\,dx -\int_{-L}^L\cos{(m+n)\pi x\over L}\,dx\right]=0.\nonumber\]
Si\(f(x)=\sin m\pi x/L\) y\(g(x)=\cos n\pi x/L\) donde\(m\) y\(n\) son enteros positivos (no necesariamente distintos), entonces
\[\int_{-L}^L f(x)g(x)\,dx=\int_{-L}^L\sin{m\pi x\over L} \cos{n\pi x\over L}\,dx=0\nonumber\]
porque el integrando es una función impar y los límites son simétricos sobre\(x=0\).
Ejercicios 11.1.19-11.1.22 te piden verificar que las funciones propias de los Problemas 1-4 son ortogonales en\([0,L]\). Sin embargo, esto también se desprende de un teorema general que probaremos en el Capítulo 13.