11.3E: Fourier Serie II (Ejercicios)

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En los Ejercicios 11.3.2, 11.3.3, 11.3.5, 11.3.9-11.3.12, 11.3.14-11.3.16, 11.3.18, 11.3.20, 11.3.21, 11.3.24, 11.3.25, 11.3.27, 11.3.30, 11.3.36, 11.3.37, y 11.3.43 gráfica\(f\) y algunas sumas parciales de las series requeridas. Si el intervalo es\([0,L]\), elija un valor específico de\(L\) para la gráfica.

Q11.3.1

En Ejercicios 11.3.1-11.3.10 encontramos la serie coseno de Fourier.

1. \(f(x)=x^2\);\([0,L]\)

2. \(f(x)=1-x\);\([0,1]\)

3. \(f(x)=x^2-2Lx\);\([0,L]\)

4. \(f(x)=\sin kx\)(\(k\ne\)entero);\([0,\pi]\)

5. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

6. \(f(x)=x^2-L^2\);\([0,L]\)

7. \(f(x)=(x-1)^2\);\([0,1]\)

8. \(f(x)=e^x\);\([0,\pi]\)

9. \(f(x)=x(L-x)\);\([0,L]\)

10. \(f(x)=x(x-2L)\);\([0,L]\)

Q11.3.2

En Ejercicios 11.3.11-11.3.17 encontrar la serie sinusoidal de Fourier

11. \(f(x)=1\);\([0,L]\)

12. \(f(x)=1-x\);\([0,1]\)

13. \(f(x)=\cos kx\)(\(k\ne\)entero);\([0,\pi]\)

14. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

15. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} x,&0\le x\le{L\over2},\\L-x,&{L\over2}\le x\le L; \end{array}\right.\)\([0,L]\).

16. \(f(x)=x\sin x\);\([0,\pi]\)

17. \(f(x)=e^x\);\([0,\pi]\)

Q11.3.3

En Ejercicios 11.3.18-11.3.24 encontramos la serie mixta de coseno de Fourier.

18. \(f(x)=1\);\([0,L]\)

19. \(f(x)=x^2\);\([0,L]\)

20. \(f(x)=x\);\([0,1]\)

21. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

22. \(f(x)=\cos x\);\([0,\pi]\)

23. \(f(x)=\sin x\);\([0,\pi]\)

24. \(f(x)=x(L-x)\);\([0,L]\)

Q11.3.4

En Ejercicios 11.3.25-11.3.30 encontramos la serie sinusoidal mixta de Fourier.

25. \(f(x)=1\);\([0,L]\)

26. \(f(x)=x^2\);\([0,L]\)

27. \(f(x)= \left\{\begin{array}{cl} 1,&0\le x\le{L\over2}\\0,&{L\over2}<x<L; \end{array}\right.\)\([0,L]\)

28. \(f(x)=\cos x\);\([0,\pi]\)

29. \(f(x)=\sin x\);\([0,\pi]\)

30. \(f(x)=x(L-x)\);\([0,L]\).

Q11.3.5

En Ejercicios 11.3.31-11.3.34 usa el Teorema 11.3.5a para encontrar la serie coseno de Fourier de\(f\) on\([0,L]\).

31. \(f(x)=3x^2(x^2-2L^2)\)

32. \(f(x)=x^3(3x-4L)\)

33. \(f(x)=x^2(3x^2-8Lx+6L^2)\)

34. \(f(x)=x^2(x-L)^2\)

Q11.3.6

35.

Demostrar Teorema 11.3.5b.
Además de los supuestos del Teorema 11.3.5b, supongamos\(f''(0)=f''(L)=0\),\(f'''\) es continuo, y\(f^{(4)}\) es continuo por tramos en\([0,L]\). Demostrar que\[b_n={2L^3\over n^4\pi^4}\int_0^L f^{(4)}(x)\sin{n\pi x\over L}\,dx, \quad n\ge1.\nonumber\]

Q11.3.7

En Ejercicios 11.3.36-11.3.41 usa el Teorema 11.3.5b o, en su caso, Ejercicios 11.1.35b para encontrar la serie sinusoidal de Fourier de\(f\) on\([0,L]\).

36. \(f(x)=x(L-x)\)

37. \(f(x)=x^2(L-x)\)

38. \(f(x)=x(L^2-x^2)\)

39. \(f(x)=x(x^3-2Lx^2+L^3)\)

40. \(f(x)=x(3x^4-10L^2x^2+7L^4)\)

41. \(f(x)=x(3x^4-5Lx^3+2L^4)\)

Q11.3.8

42.

Demostrar Teorema 11.3.5c.
Además de los supuestos del Teorema 11.3.5c, supongamos\(f''(L)=0\),\(f''\) es continuo, y\(f'''\) es continuo por tramos en\([0,L]\). Demostrar que\[c_n={16L^2\over(2n-1)^3\pi^3}\int_0^L f'''(x)\sin{(2n-1)\pi x\over2L} \,dx,\quad n\ge1.\nonumber \]

Q11.3.9

En Ejercicios 11.3.43-11.3.49 usa el Teorema 11.3.5c, o en su caso, el Ejercicio 11.1.42b, para encontrar la serie mixta de coseno de Fourier de\(f\) on\([0,L]\).

43. \(f(x)=x^2(L-x)\)

44. \(f(x)=L^2-x^2\)

45. \(f(x)=L^3-x^3\)

46. \(f(x)=2x^3+3Lx^2-5L^3\)

47. \(f(x)=4x^3+3Lx^2-7L^3\)

48. \(f(x)=x^4-2Lx^3+L^4\)

49. \(f(x)=x^4-4Lx^3+6L^2x^2-3L^4\)

Q11.3.10

50.

Demostrar Teorema 11.3.5d.
Además de los supuestos del Teorema 11.3.5d, supongamos\(f''(0)=0\),\(f''\) es continuo, y\(f'''\) es continuo por tramos en\([0,L]\). Demostrar que\[d_n=-{16L^2\over(2n-1)^3\pi^3}\int_0^L f'''(x)\cos{(2n-1)\pi x\over2L} \,dx,\quad n\ge1. \nonumber\]

Q11.3.11

En los Ejercicios 11.3.51-11.3.56 usa el Teorema 11.3.5d o, en su caso, el Ejercicio 11.3.50b, para encontrar la serie sinusoidal mixta de Fourier del\(f\) on\([0,L]\).

51. \(f(x)=x(2L -x)\)

52. \(f(x)=x^2(3L-2x)\)

53. \(f(x)=(x-L)^3+L^3\)

54. \(f(x)=x(x^2-3L^2)\)

55. \(f(x)=x^3(3x-4L)\)

56. \(f(x)=x(x^3-2Lx^2+2L^3)\)

Q11.3.12

57. Mostrar que la serie mixta de coseno de Fourier de\(f\) on\([0,L]\) es la restricción a\([0,L]\) de la serie coseno de Fourier de

\[f_3(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\-f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

encendido\([0,2L]\). Utilice esto para probar el Teorema 11.3.3.

58. Mostrar que la serie sinusoidal mixta de Fourier de\(f\) on\([0,L]\) es la restricción a\([0,L]\) de la serie sinusoidal de Fourier de

\[f_4(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

encendido\([0,2L]\). Usa esto para probar el Teorema 11.3.4.

59. Demostrar que la serie sinusoidal de Fourier de\(f\) on\([0,L]\) es la restricción a\([0,L]\) de la serie sinusoidal de Fourier de

\[f_3(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\-f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

encendido\([0,2L]\).

60. Mostrar que la serie coseno de Fourier de\(f\) on\([0,L]\) es la restricción a\([0,L]\) de la serie coseno de Fourier de

\[f_4(x)= \left\{\begin{array}{cl} f(x),&0\le x\le L,\\f(2L-x),&L< x\le 2L \end{array}\right.\nonumber\]

encendido\([0,2L]\).