13.2E: Problemas de Sturm-Liouville (Ejercicios)

Q13.2.1

En Ejercicios 13.2.1-13.2.7 reescribir la ecuación en forma de Sturm-Liouville (con\(\lambda =0\)). Supongamos que\(b, c, \alpha \), y\(\nu \) son constantes.

1. \(y''+by'+cy=0\)

2. \(x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu^{2})y=0\)(Ecuación de Bessel)

3. \((1-x^{2})y''-xy'+\alpha^{2}y=0\)(Ecuación de Chebyshev)

4. \(x^{2}y''+bxy'+cy=0\)(Ecuación de Euler)

5. \(y''-2xy'+2\alpha y=0\)(Ecuación de Hermite)

6. \(xy''+(1-x)y'+\alpha y=0\)(Ecuación de Laguerre)

7. \((1-x^{2})y''-2xy'+\alpha(\alpha+1)y=0\)(Ecuación de Legendre)

Q13.2.2

8. En el Ejemplo 13.2.4 encontramos que el problema del valor propio\[x^{2}y''+xy'+\lambda y=0,\quad y(1)=0,\quad y(2)=0 \tag{A}\] es equivalente al problema de Sturm-Liouville\[(xy')'+\frac{\lambda}{x}y=0,\quad y(1)=0,\quad y(2)=0.\tag{B}\] Multiplicar la ecuación diferencial en (B) por\(y\) e integrar para mostrar que\[\lambda\int_{1}^{2}\frac{y^{2}(x)}{x}\,dx=\int_{1}^{2}x(y'(x))^{2}\,dx.\nonumber\] Concluye de esto que los valores propios de (A) son todos positivos.

9. Resolver el problema del valor propio\[y''+2y'+y+\lambda y=0,\quad y(0)=0, \quad y(1)=0.\nonumber\]

10. Resolver el problema del valor propio\[y''+2y'+y+\lambda y=0,\quad y'(0)=0, \quad y'(1)=0.\nonumber\]

Q13.2.3

En Ejercicios 13.2.11-13.2.20:

1. Determinar si\(\lambda =0\) es un valor propio. Si es así, encuentra una función propia asociada.
2. Calcular los valores propios negativos con errores no mayores que\(5\times 10^{-8}\). Exponer la forma de las funciones propias asociadas.
3. Calcular los primeros cuatro valores propios positivos con errores no mayores a\(5\times 10^{-8}\). Exponer la forma de las funciones propias asociadas.

11. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)+2y'(0)=0,\quad y(2)=0\)

12. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0, \quad y(1)-2y'(1)=0\)

13. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)-y'(0)=0,\quad y'(\pi)=0\)

14. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)+2y'(0)=0,\quad y(\pi)=0\)

15. \(y''+\lambda y=0,\quad y'(0)=0,\quad y(2)-y'(2)=0\)

16. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)+y'(0)=0,\quad y(2)+2y'(2)=0\)

17. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)+2y'(0)=0,\quad y(3)-2y'(3)=0\)

18. \(y''+\lambda y=0,\quad 3y(0)+y'(0)=0,\quad 3y(2)-2y'(2)=0\)

19. \(y''+\lambda y=0,\quad y(0)+2y'(0)=0,\quad y(3)-y'(3)=0\)

20. \(y''+\lambda y=0,\quad 5y(0)+2y'(0)=0,\quad 5y(1)-2y'(1)=0\)

Q13.2.4

21. Encuentra los primeros cinco valores propios del problema del valor límite

\[y''+2y'+y+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y'(1)=0\nonumber\]

con errores no mayores que\(5\times 10^{-8}\). Exponer la forma de las funciones propias asociadas.

Q13.2.5

En Ejercicios 13.2.22-13.2.24 tomarlo como dado que\(\{xe^{kx}, xe^{-kx}\}\) y\(\{x\cos kx, x\sin kx\}\) son conjuntos fundamentales de soluciones de\[x^{2}y''-2xy'+2y-k^{2}x^{2}y=0\nonumber \] y\[x^{2}y''-2xy'+2y+k^{2}x^{2}y=0\nonumber \] respectivamente.

22. Resolver el problema del valor propio para

\[x^{2}y''-2xy'+2y+\lambda x^{2}y=0, \quad y(1)=0,\quad y(2)=0.\nonumber\]

23. Encuentra los primeros cinco valores propios de

\[x^{2}y''-2xy'+2y+\lambda x^{2}y=0, \quad y'(1)=0,\quad y(2)=0\nonumber\]

con errores no mayores que\(5\times 10^{-8}\). Exponer la forma de las funciones eienasociadas.

24. Encuentra los primeros cinco valores propios de

\[x^{2}y''-2xy'+2y+\lambda x^{2}y=0, \quad y(1)=0,\quad y'(2)=0\nonumber\]

con errores no mayores que\(5\times 10^{-8}\). Exponer la forma de las funciones eienasociadas.

Q13.2.6

25. Considere el problema de Sturm-Liouville

\[ y''+\lambda y=0,\quad y(0)=0,\quad y(L)+\delta y'(L)=0.\tag{A}\]

1. Mostrar que (A) no puede tener más de un valor propio negativo, y encontrar los valores\(\delta\) para los que tiene uno.
2. Encuentra todos los valores de\(\delta\) tal que\(\lambda=0\) sea un valor propio de (A).
3. Mostrar que\(\lambda=k^{2}\) con\(k>0\) es un valor propio de (A) si y solo si\[ \tan kL=-\delta k.\tag{B}\]
4. Para\(n=1\),\(2\),..., dejar\(y_{n}\) ser una función propia asociada a\(\lambda_{n}=k_{n}^{2}\). Del Teorema 13.2.4,\(y_{m}\) y\(y_{n}\) son ortogonales sobre\([0,L]\) si\(m\ne n\). Verifica esto directamente. B).

26. Resuelve el problema de Sturm-Liouville

\[y''+\lambda y=0,\quad y(0)+\alpha y'(0)=0,\quad y(\pi)+\alpha y'(\pi)=0,\nonumber\]

donde\(\alpha\ne0\).

27. Considere el problema de Sturm-Liouville

\[ y''+\lambda y=0,\quad y(0)+\alpha y'(0)=0,\quad y(1)+(\alpha-1) y'(1)=0,\tag{A}\]

donde\(0<\alpha<1\).

1. Mostrar que\(\lambda=0\) es un valor propio de (A), y encontrar una función propia asociada.
2. Mostrar que (A) tiene un valor propio negativo, y encontrar la forma de una función propia asociada.
3. Dar un argumento gráfico para mostrar que (A) tiene infinitamente muchos valores propios positivos\(\lambda_{1} < \lambda_{2}<\cdots <\lambda_{n}<\cdots\), y establecer la forma de las funciones propias asociadas.

Q13.2.7

Ejercicios 13.2.28-13.2.30 tratan el problema de Sturm-Liouville\[y''+\lambda y=0,\quad \alpha y(0)+\beta y'(0),\quad \rho y(L)+\delta y'(L)=0,\tag{SL}\] dónde\(\alpha ^{2} + \beta ^{2} >0\) y\(\rho ^{2}+\delta ^{2}>0\).

28. Mostrar que\(\lambda=0\) es un valor propio de (SL) si y solo si\[\alpha(\rho L+\delta)-\beta\rho =0.\nonumber\]

29. El punto de este ejercicio es que (SL) no puede tener más de dos autovalores negativos.

1. Mostrar que\(\lambda\) es un valor propio negativo de (SL) si y solo si\(\lambda=-k^{2}\), donde\(k\) es una solución positiva de\[(\alpha\rho-\beta\delta k^{2})\sinh kL+k(\alpha\delta-\beta\rho)\cosh kL.\nonumber\]
2. Supongamos\(\alpha\delta-\beta\rho=0\). Mostrar que (SL) tiene un valor propio negativo si y solo si\(\alpha\rho\) y\(\beta\delta\) son ambos distintos de cero. Encuentra el valor propio negativo y una función propia asociada. SUMINISTRO: Demostrar que en este caso\(\rho = p\alpha \) y\(s=q\beta \), dónde\(q\neq 0\).
3. Supongamos\(\beta\rho-\alpha\delta\ne0\). Sabemos por la Sección 11.1 que (SL) no tiene valores propios negativos si\(\alpha\rho=0\) y\(\beta\delta=0\). Supongamos que\(\alpha\rho\ne0\) o bien\(\beta\delta\ne0\). Entonces podemos reescribir (A) como\[\tanh kL= \frac{k(\beta\rho-\alpha\delta)}{\alpha\rho-\beta\delta k^{2}}.\nonumber\] Al graficar ambos lados de esta ecuación en los mismos ejes (hay varias posibilidades para el lado derecho), mostrar que tiene como máximo dos soluciones positivas, por lo que (SL) tiene como máximo dos autovalores negativos.

30. El punto de este ejercicio es que (SL) tiene infinitamente muchos valores propios positivos\(\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}<\cdots\), y eso\(\lim_{n\to\infty}\lambda_{n}=\infty\).

1. Mostrar que\(\lambda\) es un valor propio positivo de (SL) si y solo si\(\lambda=k^{2}\), donde\(k\) es una solución positiva de\[ (\alpha\rho+\beta\delta k^{2})\sin kL+k(\alpha\delta-\beta\rho)\cos kL=0.\tag{A}\]
2. Supongamos\(\alpha\delta-\beta\rho=0\). Demostrar que los valores propios positivos de (SL) son\(\lambda_{n}=(n\pi/L)^{2}\),\(n=1\),\(2\),\(3\),... HINTA: Recordemos la pista en el Ejercicio 13.2.29b.
   Ahora supongamos\(\alpha\delta-\beta\rho\ne0\). De la Sección 11.1, si\(\alpha\rho=0\) y\(\beta\delta=0\), entonces (SL) tiene los valores propios\[\lambda_{n}=[(2n-1)\pi/2L]^{2},\quad n=1,2,3, \dots\nonumber\] (¿por qué?) , así que supongamos además que al menos uno de los productos\(\alpha\rho\) y\(\beta\delta\) es distinto de cero. Entonces podemos reescribir (A) como\[ \tan kL= \frac{k(\beta\rho-\alpha\delta)} {\alpha\rho-\beta\delta k^{2}}.\tag{B}\] Al graficar ambos lados de esta ecuación en los mismos ejes (hay varias posibilidades para el lado derecho), convencerse de lo siguiente:
3. Si\(\beta\delta=0\), hay un entero positivo\(N\) tal que (B) tiene una solución\(k_{n}\) en cada uno de los intervalos\[ \left((2n-1)\pi/L, (2n+1)\pi/L)\right),\quad n=N,N+1,N+2,\dots,\tag{C}\] y\[\lim_{n\to\infty}\left(k_{n}-\frac{(2n-1)\pi}{2L}\right) =0\quad \text{or} \quad \lim_{n\to\infty}\left(k_{n}-\frac{(2n+1)\pi}{2L}\right)=0.\nonumber\]
4. Si\(\beta\delta\ne0\), hay un entero positivo\(N\) tal que (B) tiene una solución\(k_{n}\) en cada uno de los intervalos (C) y\[\lim_{n\to\infty}\left(k_{n}-\frac{n\pi}{N}\right)=0.\nonumber\]

31. Los siguientes problemas de Sturm-Liouville son generalizaciones de Problemas 1—4 de la Sección 11.1.

Problema 1:\((p(x)y')'+\lambda r(x)y=0\),\(y(a)=0\),\(y(b)=0\)

Problema 2:\((p(x)y')'+\lambda r(x)y=0\),\(y'(a)=0\),\(y'(b)=0\)

Problema 3:\((p(x)y')'+\lambda r(x)y=0\),\(y(a)=0\),\(y'(b)=0\)

Problema 4:\((p(x)y')'+\lambda r(x)y=0\),\(y'(a)=0\),\(y(b)=0\)

Demostrar: Los problemas 1—4 no tienen valores propios negativos. Además,\(\lambda=0\) es un valor propio del Problema 2 con función propia asociada\(y_{0}=1\), pero\(\lambda=0\) no es un valor propio de Problemas 1, 3 y 4. SUMINISTRO: Ver la prueba del Teorema 11.1.1.

32. Demostrar que los valores propios del problema de Sturm-Liouville

\[(p(x)y')'+\lambda r(x)y=0,\quad \alpha y(a)+ \beta y'(a)=0,\quad \rho y(b)+\delta y'(b)\nonumber\]

son todos positivos si\(\alpha\beta\le 0\),\(\rho\delta\ge 0\), y\((\alpha\beta)^{2}+(\rho\delta)^{2}>0\).