1.1: Ejemplos

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Ejemplo 1.1.1:

$u_y=0$, donde$u=u(x,y)$. Todas las funciones$u=w(x)$ son soluciones.

Ejemplo 1.1.2:

$u_x=u_y$, donde$u=u(x,y)$. Un cambio de coordenadas transforma esta ecuación en una ecuación del primer ejemplo. Establecer$\xi=x+y,\ \eta=x-y$, entonces
$$
u (x, y) =u\ izquierda (\ frac {\ xi+\ eta} {2},\ frac {\ xi-\ eta} {2}\ derecha) =:v (\ xi,\ eta).
$$
Supongamos$u\in C^1$, entonces
$$
v_\ eta=\ frac {1} {2} (u_x-u_y).
$$
Si$u_x=u_y$, entonces$v_\eta=0$ y viceversa, así$v=w(\xi)$ son soluciones para$C^1$ -funciones arbitrarias$w(\xi)$. En consecuencia, tenemos una gran clase de soluciones de la ecuación diferencial parcial original:$u=w(x+y)$ con una$C^1$ función arbitraria$w$.

Ejemplo 1.1.3:

Una condición necesaria y suficiente tal que para determinadas$C^1$ -funciones$M,\ N$ la integral
$$
\ int_ {P_0} ^ {P_1}\ M (x, y) dx+n (x, y) dy
$$
es independiente de la curva que conecta los puntos$P_0$ con$P_1$ en un simple conectado dominio$\Omega\subset\mathbb{R}^2$ es que la ecuación diferencial parcial (condición de integrabilidad)
$$
m_y=N_x
$$
in$\Omega$.

$Independencia del camino$

Figura 1.1.1: Independencia del camino

Esta es una ecuación para dos funciones. Una gran clase de soluciones viene dada por$M=\Phi_x,\ N=\Phi_y$, donde$\Phi(x,y)$ es una$C^2$ función arbitraria. Del teorema de Gauss se deduce que todas estas son$C^1$ soluciones de la ecuación diferencial anterior.

Ejemplo 1.1.4: Método de un multiplicador integrador para un ordinario

diferencial

ecuación

Considere la ecuación diferencial ordinaria
$$
M (x, y) Dx+n (x, y) dy=0
$$
para$C^1$ -funciones dadas$M,\ N$. Entonces buscamos una$C^1$ -función$\mu(x,y)$ tal que$\mu Mdx+\mu Ndy$ sea un diferencial total, es decir, que$(\mu M)_y=(\mu N)_x$ se satisfaga. Esta es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden para$\mu$:
$$
M\ mu_y-N\ mu_x=\ mu (N_x-M_y).
\]

Ejemplo 1.1.5:

Dos$C^1$ -funciones$u(x,y)$ y$v(x,y)$ se dice que son funcionalmente dependientes si
$$
\ det\ left (\ begin {array} {cc} u_x&u_y\\ v_x&v_y\ end {array}\ right) =0,
$$
que es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden para$u$ si$v$ es una$C^1$ función dada. Una gran clase de soluciones viene dada por
$$
u=h (v (x, y)),
$$
donde$H$ es una$C^1$ función arbitraria.

Ejemplo 1.1.6: Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Establecer$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, donde$z=x+iy$ y$u,\ v$ se les dan$C^1(\Omega)$ -funciones. Aquí$\Omega$ hay un dominio en$\mathbb{R}^2$. Si la función$f(z)$ es diferenciable con respecto a la variable compleja$z$ entonces$u,\ v$ satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann
$$
u_x=v_y,\\ u_y=-v_x.
$$
Se sabe a partir de la teoría de funciones de una variable compleja que la parte real$u$ y la parte imaginaria$v$ de una función diferenciable$f(z)$ son soluciones de la ecuación de Laplace
$$
\ triángulo u=0,\\\ triángulo v=0,
$$
donde$\triangle u= u_{xx}+u_{yy}$.

Ejemplo 1.1.7: Potencial Newton

El potencial Newton
$$
u=\ frac {1} {\ sqrt {x^2+y^2+z^2}}
$$
es una solución de la ecuación de Laplace en$\mathbb{R}^3\setminus{(0,0,0)}$, es decir, de
$$
u_ {xx} +u_ {yy} +u_ {zz} =0.
\]

Ejemplo 1.1.8: Ecuación de calor

Dejar$u(x,t)$ ser la temperatura de un punto$x\in\Omega$ en el tiempo$t$, donde$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ es un dominio. Entonces$u(x,t)$ satisface en$\Omega\times[0,\infty)$ la ecuación de calor
$$
u_t=k\ triángulo u,
$$
donde$\triangle u= u_{x_1x_1}+u_{x_2x_2}+u_{x_3x_3}$ y$k$ es una constante positiva. La condición
$$
u (x,0) =u_0 (x),\\ x\ in\ Omega,
$$
donde$u_0(x)$ se da, es una condición inicial asociada a la ecuación de calor anterior. La condición
$$
u (x, t) =h (x, t),\\ x\ in\ parcial\ Omega,\ t\ ge0,
$$
donde$h(x,t)$ se da, es una condición límite para la ecuación de calor.

Si$h(x,t)=g(x)$, es decir,$h$ es independiente de$t$, entonces uno espera que la solución$u(x,t)$ tiende a una función$v(x)$ si$t\to\infty$. Además, resulta que$v$ es la solución del problema del valor límite para la ecuación de Laplace
\ begin {eqnarray*}
\ triángulo v&=&0\\\ mbox {in}\\ Omega\\
v&=&g (x)\\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega.
\ end {eqnarray*}

Ejemplo 1.1.9: Ecuación de onda

$alt$
Figura 1.1.2: Cadena oscilante

La ecuación de onda
$$
u_ {tt} =c^2\ triángulo u,
$$
donde$u=u(x,t)$,$c$ es una constante positiva, describe oscilaciones de membranas o de dominios tridimensionales, por ejemplo. En el caso unidimensional
$$
u_ {tt} =c^2 u_ {xx}
$$
describe oscilaciones de una cadena.

Las condiciones iniciales asociadas son
$$
u (x,0) =u_0 (x),\\ u_t (x,0) =u_1 (x),
$$
donde$u_0,\ u_1$ se dan funciones. Así se prescriben la posición inicial y la velocidad inicial.

Si la cadena es finita se describen adicionalmente las condiciones de contorno, por ejemplo
$$
u (0, t) =0,\\ u (l, t) =0\\\ mbox {for all}\ t\ ge 0.
\]

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