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1.1: Ejemplos

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ejemplo 1.1.1:

uy=0, dondeu=u(x,y). Todas las funcionesu=w(x) son soluciones.

Ejemplo 1.1.2:

ux=uy, dondeu=u(x,y). Un cambio de coordenadas transforma esta ecuación en una ecuación del primer ejemplo. Establecerξ=x+y, η=xy, entonces
u(x,y)=u izquierda( frac xi+ eta2, frac xi eta2 derecha)=:v( xi, eta).
SupongamosuC1, entonces
v eta= frac12(uxuy).
Siux=uy, entoncesvη=0 y viceversa, asív=w(ξ) son soluciones paraC1 -funciones arbitrariasw(ξ). En consecuencia, tenemos una gran clase de soluciones de la ecuación diferencial parcial original:u=w(x+y) con unaC1 función arbitrariaw.

Ejemplo 1.1.3:

Una condición necesaria y suficiente tal que para determinadasC1 -funcionesM, N la integral
 intP1P0 M(x,y)dx+n(x,y)dy
es independiente de la curva que conecta los puntosP0 conP1 en un simple conectado dominioΩR2 es que la ecuación diferencial parcial (condición de integrabilidad)
my=Nx
inΩ.

Independencia del camino

Figura 1.1.1: Independencia del camino

Esta es una ecuación para dos funciones. Una gran clase de soluciones viene dada porM=Φx, N=Φy, dondeΦ(x,y) es unaC2 función arbitraria. Del teorema de Gauss se deduce que todas estas sonC1 soluciones de la ecuación diferencial anterior.

Ejemplo 1.1.4: Método de un multiplicador integrador para un ordinario

diferencial

ecuación

Considere la ecuación diferencial ordinaria
M(x,y)Dx+n(x,y)dy=0
paraC1 -funciones dadasM, N. Entonces buscamos unaC1 -funciónμ(x,y) tal queμMdx+μNdy sea un diferencial total, es decir, que(μM)y=(μN)x se satisfaga. Esta es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden paraμ:
$$
M\ mu_y-N\ mu_x=\ mu (N_x-M_y).
\]

Ejemplo 1.1.5:

DosC1 -funcionesu(x,y) yv(x,y) se dice que son funcionalmente dependientes si
\boldsymbol{\ det\ left (\ begin {array} {cc} u_x&u_y\\ v_x&v_y\ end {array}\ right) =0,}
que es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden parau siv es unaC1 función dada. Una gran clase de soluciones viene dada por
u=h(v(x,y)),
dondeH es unaC1 función arbitraria.

Ejemplo 1.1.6: Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Establecerf(z)=u(x,y)+iv(x,y), dondez=x+iy yu, v se les danC1(Ω) -funciones. AquíΩ hay un dominio enR2. Si la funciónf(z) es diferenciable con respecto a la variable complejaz entoncesu, v satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann
ux=vy,uy=vx.
Se sabe a partir de la teoría de funciones de una variable compleja que la parte realu y la parte imaginariav de una función diferenciablef(z) son soluciones de la ecuación de Laplace
\ triángulo u=0,\\\ triángulo v=0,
donde\triangle u= u_{xx}+u_{yy}.

Ejemplo 1.1.7: Potencial Newton

El potencial Newton
u=\ frac {1} {\ sqrt {x^2+y^2+z^2}}
es una solución de la ecuación de Laplace en\mathbb{R}^3\setminus{(0,0,0)}, es decir, de
$$
u_ {xx} +u_ {yy} +u_ {zz} =0.
\]

Ejemplo 1.1.8: Ecuación de calor

Dejaru(x,t) ser la temperatura de un puntox\in\Omega en el tiempot, donde\Omega\subset\mathbb{R}^3 es un dominio. Entoncesu(x,t) satisface en\Omega\times[0,\infty) la ecuación de calor
u_t=k\ triángulo u,
donde\triangle u= u_{x_1x_1}+u_{x_2x_2}+u_{x_3x_3} yk es una constante positiva. La condición
u (x,0) =u_0 (x),\\ x\ in\ Omega,
dondeu_0(x) se da, es una condición inicial asociada a la ecuación de calor anterior. La condición
u (x, t) =h (x, t),\\ x\ in\ parcial\ Omega,\ t\ ge0,
dondeh(x,t) se da, es una condición límite para la ecuación de calor.

Sih(x,t)=g(x), es decir,h es independiente det, entonces uno espera que la soluciónu(x,t) tiende a una funciónv(x) sit\to\infty. Además, resulta quev es la solución del problema del valor límite para la ecuación de Laplace
\ begin {eqnarray*}
\ triángulo v&=&0\\\ mbox {in}\\ Omega\\
v&=&g (x)\\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega.
\ end {eqnarray*}

Ejemplo 1.1.9: Ecuación de onda

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Figura 1.1.2: Cadena oscilante

La ecuación de onda
u_ {tt} =c^2\ triángulo u,
dondeu=u(x,t),c es una constante positiva, describe oscilaciones de membranas o de dominios tridimensionales, por ejemplo. En el caso unidimensional
u_ {tt} =c^2 u_ {xx}
describe oscilaciones de una cadena.

Las condiciones iniciales asociadas son
u (x,0) =u_0 (x),\\ u_t (x,0) =u_1 (x),
dondeu_0,\ u_1 se dan funciones. Así se prescriben la posición inicial y la velocidad inicial.

Si la cadena es finita se describen adicionalmente las condiciones de contorno, por ejemplo
$$
u (0, t) =0,\\ u (l, t) =0\\\ mbox {for all}\ t\ ge 0.
\]


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