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1.3: Ecuaciones diferenciales parciales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

El mismo procedimiento anterior aplicado a la siguiente integral múltiple conduce a una ecuación diferencial parcial cuasilineal de segundo orden. Set

$$E (v) =\ int_\ Omega\ F (x, v,\ nabla v)\ dx,\]

dondeΩRn es un dominio,x=(x1,,xn),v=v(x): ΩR1, yv=(vx1,,vxn). Supongamos que la funciónF es suficientemente regular en sus argumentos. Para una función dadah, definida enΩ, establecer

$$V=\ {v\ en C^2 (\ overline {\ Omega}):\ v=h\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega\}.\]

Ecuación de Euler. DejaruV ser una solución de (P), entonces

 sumani=1 frac parcial parcialxiFuxifu=0

pulgΩ.

Comprobante. Ejercicio. Pista: Extender el lema fundamental anterior del cálculo de variaciones al caso de múltiples integrales. El intervalo(x0δ,x0+δ) en la definición deϕ debe ser reemplazado por una bola con centro enx0 y radioδ.

Ejemplo 1.2.2.1: Integral de Dirichlet

En dos dimensiones la integral de Dirichlet viene dada por

$$D (v) =\ int_\ Omega\\ izquierda (v_x^2+v_y^2\ derecha)\ dxdy\]

y la ecuación de Euler asociada es la ecuación de Laplaceu=0 enΩ.

Así, existe una relación natural entre el problema del valor límite

$$\ triángulo u=0\\\ mbox {in}\\ Omega,\ u=h\\\ mbox {on}\\\\ parcial\ Omega\]

y el problema variacional

$$\ min_ {v\ en V}\ D (v).\]

Pero estos problemas no son equivalentes en general. Puede suceder que el problema del valor límite tenga una solución pero el problema variacional no tiene solución, para un ejemplo ver Courant y Hilbert [4], Vol. 1, p. 155, dondeh es una función continua y la solución asociadau del problema del valor límite no tiene integral de Dirichlet finito.

Los problemas son equivalentes, siempre que la función de valor límite dadah esté en la clase
H1/2(Ω), ver Leones y Magenes [14].

Ejemplo 1.2.2.2: Ecuación mínima de superficie

El problema superficial mínimo no paramétrico en dos dimensiones es encontrar un minimizadoru=u(x1,x2) del problema

$$\ min_ {v\ in V}\ int_\ Omega\\ sqrt {1+v_ {x_1} ^2+v_ {x_2} ^2}\ dx,\]

donde para una función dadah definida en el límite del dominioΩ

$$V=\ {v\ en C^1 (\ overline {\ Omega}):\ v=h\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega\}.\]

Superficie de comparación

Figura 1.2.2.1: Superficie de comparación

Supongamos que el minimizador satisface la suposición de regularidaduC2(Ω), entonces
u es una solución de la ecuación de superficie mínima (ecuación de Euler) enΩ
\ begin {ecuación}
\ label {mse}
\ frac {\ partial} {\ partial x_1}\ left (\ frac {u_ {x_1}} {\ sqrt {1+|\ nabla u|^2}}\ derecha) +
\ frac {\ parcial} {\ parcial}\ x_2}\ izquierda (\ frac {u_ {x_2}} {\ sqrt {1+|\ nabla u|^2}}\ derecha) =0.
\ end {ecuación}

De hecho, la suposición adicionaluC2(Ω) es superflua ya que se desprende de consideraciones de regularidad para ecuaciones elípticas cuasilineales de segundo orden, ver por ejemplo Gilbarg y Trudinger [9].

VamosΩ=R2. Cada función lineal es una solución de la ecuación de superficie mínima (\ ref {mse}). Bernstein [2] demostró que no hay otras soluciones de la mínima cuación superficial. Esto es cierto también para dimensiones más altasn7, ver Simons [19].

Sin8, entonces también existen otras soluciones que definen conos, ver Bombieri, De Giorgi y Giusti [3].

La ecuación de superficie mínima linealizadau0 es la ecuación de Laplaceu=0. En las funcionesR2 lineales hay soluciones pero también muchas otras funciones en contraste con la ecuación de superficie mínima. Esta notable diferencia es causada por la fuerte no linealidad de la ecuación de superficie mínima.

Las superficies mínimas más generales se describen mediante el uso de representaciones paramétricas. Un ejemplo se muestra en la Figura 1.2.2.2 1. Ver [18], pp. 62, por ejemplo, para superficies mínimas rotacionalmente simétricas.

Superficie mínima rotacionalmente simétrica
Figura 1.2.2.2: Superficie mínima rotacionalmente simétrica

1 Un experimento de Mathetikum de Beutelspacher, Wissenschaftsjahr 2008, Leipzig

Problemas de valor límite de tipo Neumann

SetV=C1(¯Ω) y

$$E (v) =\ int_\ Omega\ F (x, v,\ nabla v)\ dx-\ int_ {\ parcial\ Omega}\ g (x, v)\ ds,\]

dondeF yg se les otorgan funciones suficientemente regulares yΩRn es un dominio limitado y suficientemente regular.
Supongamos queu es un minimizador deE(v) inV, es decir

$$u\ in V:\\ E (u)\ le E (v)\\\ mbox {para todos}\ v\ en V,\]

entonces

\ begin {eqnarray*}
\ int_\ Omega\\ grande (\ sum_ {i=1} ^nf_ {u_ {x_i}} (x, u,\ nabla u)\ phi_ {x_i} &+& f_u (x, u,\ nabla u)\ phi\ big)\ dx\
&-&\ int_ {\ parcial\ Omega}\ g_u (x, u)\ phi\ ds =0
\ end {eqnarray*}
para todosϕC1(¯Ω). Supongamos adicionalmenteuC2(Ω), entoncesu es una solución del problema del valor límite de tipo Neumann
\ begin {eqnarray*}
\ sum_ {i=1} ^n\ frac {\ partial} {\ partial x_i} F_ {u_ {x_i}} -f_u&=&0\\\ mbox {in}\\ Omega\
\ sum_ {i=1} ^nf_ {u_ {x_ {_i}}\ nu_i-g_u&=&0\\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega,
\ end {eqnarray*}

dondeν=(ν1,,νn) es normal la unidad exterior en el límiteΩ. Esto sigue después de la integración por partes a partir del lema básico del cálculo de las variaciones.

Ejemplo 1.2.2.3: Ecuación de Laplace

Set

$$E (v) =\ frac {1} {2}\ int_\ Omega\ |\ nabla v|^2\ dx-\ int_ {\ parcial\ Omega}\ h (x) v\ ds,\]

entonces el problema del valor límite asociado es

\ begin {eqnarray*}
{\ triángulo} u&=&0\\\ mbox {in}\\ Omega\
\ frac {\ u parcial} {\ parcial\ nu} &=&h\\\ mbox {on}\\\ parcial\ Omega.
\ end {eqnarray*}

Ejemplo 1.2.2.4: Ecuación capilar

DejarΩR2 y establecer

$$E (v) =\ int_\ Omega\\ sqrt {1+|\ nabla v|^2}\ dx+\ frac {\ kappa} {2}\ int_\ Omega\ v^2\ dx -\ cos\ gamma\ int_ {\ parcial\ Omega}\ v\ ds.\]

Aquíκ hay una constante positiva (constante de capilaridad) yγ es el ángulo de contacto límite (constante), es decir, el ángulo entre la pared del recipiente y la superficie capilar, definido porv=v(x1,x2), en el límite.

Entonces el problema relacionado con el valor límite es

\ begin {eqnarray*}
\ text {div}\ (Tu) &=&\ kappa u\\\ mbox {in}\\ Omega\
\ nu\ cdot Tu&=&\ cos\ gamma\\ mbox {on}\\ parcial\ Omega,
\ end {eqnarray*}
donde usamos la abreviatura

$$Tu=\ frac {\ nabla u} {\ sqrt {1+|\ nabla u|^2}},\]

div(Tu) es el lado izquierdo de la ecuación de superficie mínima (\ ref {mse}) y es el doble de la curvatura media de la superficie definida porz=u(x1,x2), ver un ejercicio.

El problema anterior describe el ascenso de un líquido, agua por ejemplo, en un cilindro vertical con sección transversalΩ. Supongamos que la gravedad se dirige hacia abajo en la dirección delx3 eje negativo. La Figura 1.2.2.3 muestra que el líquido puede elevarse a lo largo de una cuña vertical lo cual es consecuencia de la fuerte no linealidad de las ecuaciones subyacentes, ver Finn [7]. Esta foto fue tomada de [15].

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Figura 1.2.2.3: Ascenso de líquido en cuña


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