4.2.1: Caso n=3

La ecuación de Euler-Poisson-Darboux en este caso es

$$ (rM) _ {rr} =c^ {-2} (rM) _ {tt}.\]

Así\(rM\) es la solución de la ecuación de onda unidimensional con datos iniciales

\ begin {ecuación}
\ label {initialn3}\ tag {4.2.1.1}
(rM) (r,0) =rF (r)\\\ (rM) _t (r,0) =rG (r).
\ end {equation}
De la fórmula d'Alembert obtenemos formalmente
\ begin {eqnarray}
\ label {meansol1}
M (r, t) &=&\ dfrac {(r+ct) F (r+ct) + (r-ct) F (r-ct)} {2r}\\ tag {4.2.1.2}
&&+\ dfrac {1} {2cr}\ int_ {r-ct} ^ {r+ct}\\ xi G (\ xi)\ d\ xi.
\ end {eqnarray}

El lado derecho de la fórmula anterior está bien definido si el dominio de dependencia\([x-ct,x+ct]\) es un subconjunto de\((0,\infty)\). Podemos extender\(F\) y\(G\) hacia\(F_0\) y\(G_0\) que se definen sobre\((-\infty,\infty)\) tal que\(rF_0\) y\(rG_0\) son\(C^2(\mathbb{R}^1)\) -funciones de la siguiente manera.
Set

$$
F_0 (r) =\ left\ {\ begin {array} {r@ {\ qua d:\quad} l}
F (r) &r>0\\
f (x) &r=0\\
F (-r) &r<0
\ end {array}\ right. \
\]

La función\(G_0(r)\) viene dada por la misma definición donde\(F\) y\(f\) son reemplazadas por\(G\) y\(g\), respectivamente.

Lema. \(rF_0(r),\ rG_0(r)\in C^2(\mathbb{R}^2)\).

Prueba. De la definición de\(F(r)\) y\(G(r)\),\(r>0\), se desprende del teorema del valor medio

$$\ lim_ {r\ a+0} F (r) =f (x),\\\\ lim_ {r\ a+0} G (r) =g (x).\]

Así\(rF_0(r)\) y\(rG_0(r)\) son\(C(\mathbb{R}^1)\) -funciones. Estas funciones también están en\(C^1(\mathbb{R}^1)\). Esto sigue desde\(F_0\) y\(G_0\) están en\(C^1(\mathbb{R}^1)\). Tenemos, por ejemplo,

\ begin {eqnarray*}
F' (r) &=&\ dfrac {1} {\ omega_n}\ int_ {\ parcial B_1 (0)}\\ suma_ {j=1} ^n f_ {y_j} (x+r\ xi)\ xi_j\ dS_\ xi\
F' (+0) &=&\ dfrac {1}\ omega_n}\ int_ {\ parcial B_1 (0)}\\ suma_ {j=1} ^n f_ {y_j} (x)\ xi_j\ ds_\ xi\
&=&\ dfrac {1} {\ omega_n}\ suma_ {j=1} ^n f_ {y_j } (x)\ int_ {\ parcial B_1 (0)}\ n_j\ dS_\ xi\\
&=&0.
\ end {eqnarray*}

Entonces,\(rF_0(r)\) y\(rG_0(r)\) están en\(C^2(\mathbb{R}^1)\), proveen\(F''\) y\(G''\) se acotan como\(r\to+0\). Esta propiedad se desprende de

$$F "(r) =\ dfrac {1} {\ omega_n}\ int_ {\ parcial B_1 (0)}\\ suma_ {i, j=1} ^n f_ {y_iy_j} (x+r\ xi)\ xi_i\ xi_j\ dS_\ xi.\]

Así

$$F "(+0) =\ dfrac {1} {\ omega_n}\ suma_ {i, j=1} ^n f_ {y_iy_j} (x)\ int_ {\ parcial B_1 (0)}\ n_in_j\ dS_\ xi.\]

Eso lo recordamos\(f,g\in C^2(\mathbb{R}^2)\) por suposición.

\(\Box\)

La solución del problema de valor inicial anterior, donde\(F\) y\(G\) son reemplazados por\(F_0\) y\(G_0\), respectivamente, es

\ begin {eqnarray*}
M_0 (r, t) &=&\ dfrac {(r+ct) F_0 (r+ct) + (r-ct) F_0 (r-ct)} {2r}\\
&&+\ dfrac {1} {2cr}\ int_ {r-ct} ^ {r+ct}\\ xi G_0 (\ xi)\ d\ xi.
\ end {eqnarray*}

Desde\(F_0\) e incluso\(G_0\) son funciones, tenemos

$$\ int_ {r-ct} ^ {ct-r}\\ xi G_0 (\ xi)\ d\ xi=0.\]

Así

\ begin {eqnarray}
M_0 (r, t) &=&\ dfrac {(r+ct) F_0 (r+ct) - (ct-r) F_0 (ct-r)} {2r}\ nonumber\
\ label {meansol2}\ tag {4.2.1.3}
&&+\ dfrac {1} {2cr}\ int_ {ct-r} ^ {ct+r}\\ xi G_0 (\ xi)\ d\ xi,
\ end {eqnarray}

ver Figura 4.2.1.1.

Figura 4.2.1.1: Dominio cambiado de integración

Para fijo\(t>0\) y se\(0<r<ct\) deduce que\(M_0(r,t)\) es la solución del problema de valor inicial con datos dados inicialmente (\ ref {initialn3}) ya que\(F_0(s)=F(s)\),\(G_0(s)=G(s)\) si\(s>0\).

Ya que para fijo\(t>0\)

$$u (x, t) =\ lim_ {r\ a 0} M_0 (r, t),\]

se desprende de la regla de d'Hospital que

\ begin {eqnarray*}
u (x, t) &=&CTF' (ct) +F (ct) +Tg (ct)\\
&=&\ dfrac {d} {dt}\ izquierda (tF (ct)\ derecha) +Tg (ct).
\ end {eqnarray*}

Teorema 4.2. Asumir\(f\in C^3(\mathbb{R}^3)\) y\(g\in C^2(\mathbb{R}^3)\) se dan. Luego existe una solución única\(u\in C^2(\mathbb{R}^3\times [0,\infty))\) del problema del valor inicial (4.2.2) - (4.2.3), donde\(n=3\), y la solución viene dada por la fórmula de Poisson

\ begin {eqnarray}
u (x, t) &=&\ dfrac {1} {4\ pi c^2}\ dfrac {\ parcial} {\ parcial} {\ t parcial}\ izquierda (\ dfrac {1} {t}\ int_ {\ parcial B_ {ct} (x)}\ f (y)\ ds_y\ derecha)\\ etiqueta {4.2.1.4}
&&+\ dfrac {1} {4\ pi c^2 t}\ int_ {\ parcial B_ {ct} (x)}\ g (y)\ ds_y.
\ end {eqnarray}

Prueba. Arriba hemos demostrado que una\(C^2\) -solución viene dada por la fórmula de Poisson. Bajo la suposición adicional\(f\in C^3\) se desprende de la fórmula de Poisson que esta fórmula define una solución que está en\(C^2\), ver F. John [10], p. 129.

\(\Box\)

Corolario. De la fórmula de Poisson vemos que el dominio de dependencia para\(u(x,t_0)\) es la intersección del cono definido por\(|y-x|=c|t-t_0|\) con el hiperplano definido por\(t=0\), ver Figura 4.2.1.2.

\ (n=3\).” style="width: 250px; alto: 230px;” width="250px” height="230px” src=” https://math.libretexts.org/@api/dek...pendenced3.jpg "/>

Figura 4.2.1.2: Dominio de dependencia, caso\(n=3\).

Colaboradores y Atribuciones

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