4.2.2: Caso n=2
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Considerar el problema de valor inicial
\ begin {eqnarray}
\ label {n2dgl}\ tag {4.2.2.1}
v_ {xx} +v_ {yy} &=&c^ {-2} v_ {tt}\
\ etiqueta {inicial1}\ etiqueta {4.2.2.2}
v (x, y,0) &=&f (x, y)\
\ etiqueta {inicial2}\ etiqueta {4.2.2.2.3}
v_t (x, y,0) &=&g (x, y),
\ end { eqnarray}
dondef∈C3, g∈C2.
Usando la fórmula para la solución del problema del valor inicial tridimensional derivaremos una fórmula para el caso bidimensional. A la siguiente consideración se le llama método decente de Hadamard.
Dejarv(x,y,t) ser una solución de (\ ref {n2dgl}) - (\ ref {initial2}), entonces
$$u (x, y, z, t) :=v (x, y, t)\]
es una solución del problema de valor inicial tridimensional con datos inicialesf(x,y),g(x,y), independiente dez, ya queu satisface (\ ref {n2dgl}) - (\ ref {initial2}). De ahíu(x,y,z,t)=u(x,y,0,t)+uz(x,y,δz,t)z, ya que0<δ<1, yuz=0, tenemos
$$v (x, y, t) =u (x, y,0, t).\]
La fórmula de Poisson en el caso tridimensional implica
\ begin {eqnarray}
v (x, y, t) &=&\ frac {1} {4\ pi c^2}\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ t parcial}\ izquierda (\ frac {1} {t}\ int_ {\ parcial B_ {ct} (x, y,0)}\ f (\ xi,\ eta)\ dS derecha)\ nonumber
\\ etiqueta {poissonhilf1}\ tag {4.2.2.4}
&&+\ frac {1} {4\ pi c^2 t}\ int_ {\ parcial B_ {ct} (x, y,0)}\ g (\ xi,\ eta)\ dS.
\ end {eqnarray}
Figura 4.2.2.1: Dominios de integración
Los integrandos son independientes deζ. La superficieS está definida porχ(ξ,η,ζ):=(ξ−x)2+(η−y)2+ζ2−c2t2=0. Entonces la normal exteriorn enS esn=∇χ/|∇χ| y el elemento de superficie viene dado pordS=(1/|n3|)dξdη, donde la tercera coordenada den es
$$n_3=\ pm\ frac {\ sqrt {c^2 t^2- (\ xi-x) ^2- (\ eta-y) ^2}} {ct}.\]
El signo positivo aplica sobreS+, dóndeζ>0 y el signo es negativo sobreS− dóndeζ<0, ver Figura 4.2.2.1. TenemosS=S+∪¯S−.
Setρ=√(ξ−x)2+(η−y)2. Luego se deduce de (\ ref {poissonhilf1})
Teorema 4.3. La solución del problema del valor inicial de Cauchy (\ ref {n2dgl}) - (\ ref {initial2}) viene dada por
\ begin {eqnarray*}
v (x, y, t) &=&\ frac {1} {2\ pi c}\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ t parcial}\ int_ {B_ {ct} (x, y)}\\ frac {f (\ xi,\ eta)} {\ sqrt {c^2 t^2-\ rho^2}}\ d\ xi d\ eta\\
&&&+\ frac {1} {2\ pi c}\ int_ {B_ {ct} (x, y)}\\ frac {g (\ xi,\ eta)} {\ sqrt {c^2 t^2-\ rho^2}}\ d\ xi d\ eta. \ end {eqnarray*}
Figura 4.2.2.2: Intervalo de dependencia, cason=2
Corolario. En contraste con el caso tridimensional, el dominio de la dependencia es aquí el discoBcto(x0,y0) y no solo el límite. Por lo tanto, ver fórmula del Teorema 4.3, sif, g tienen soportes en un dominio compactoD⊂R2, entonces estas funciones tienen influencia en el valorv(x,y,t) para todos los tiempost>T,T suficientemente grandes.
