6.3: Ejemplos
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Ahora permítanme ver dos ejemplos
Encuentre gráficamente una solución para
\[\begin{aligned} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} u &= \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} u\;\; (c=1 \text{m/s}) \nonumber\\[4pt] u(x,0) & = \begin{cases} 2x& \text{if $0 \leq x \leq 2$} \\ 24/5-2x/5 & \text{if $2 \leq x \leq 12$} \end{cases} \quad.\nonumber\\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial t} u (x,0) &= 0\nonumber\\[4pt] u(0,t) &=u(12,t) = 0\end{aligned} \nonumber \]
Solución
Tenemos que continuar\(f\) como una función impar, y podemos tomar\(\Gamma=0\). Entonces tenemos que sumar la onda que se mueve a la izquierda\(\dfrac{1}{2} f(x+t)\) y la onda en movimiento a la derecha\(\dfrac{1}{2} f(x-t)\), como hemos hecho en las Figs.???
Encuentre gráficamente una solución para
\[\begin{aligned} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} u &= \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} u\;\; (c=1 \text{m/s}) \nonumber\\[4pt] u(x,0) & = 0\nonumber\\[4pt] \dfrac{\partial}{\partial t} u (x,0) &= \begin{cases} 1& \text{if $4 \leq x \leq 6$} \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases} \quad.\nonumber\\[4pt] u(0,t) &=u(12,t) = 0.\end{aligned} \nonumber \]
Solución
En este caso\(f=0\). Encontramos\[\begin{aligned} \Gamma(x) &= \int_0^x g(x') dx'\nonumber\\[4pt] &= \begin{cases} 0 & \text{if $0<x<4$}\\ -4+x & \text{if $4<x<6$}\\ 2 & \text{if $6<x<12$} \end{cases}.\end{aligned} \nonumber \] Esto necesita ser continuado como una función parejo.