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8.1: Ejemplo
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/08%3A_Separaci%C3%B3n_de_variables_en_coordenadas_polares/8.01%3A_Ejemplo
Nos gustaría ver “comportamiento sin fisuras”, que especifica la periodicidad de la solución en $\phi$ ,\[\begin{aligned} u(\rho,\phi+2\pi)&=u(\rho,\phi),\\ \frac{\partial u}{\partial \phi}(\rho,\phi+...Nos gustaría ver “comportamiento sin fisuras”, que especifica la periodicidad de la solución en $\phi$ , $\begin{aligned} u(\rho,\phi+2\pi)&=u(\rho,\phi),\\ \frac{\partial u}{\partial \phi}(\rho,\phi+2\pi)&=\frac{\partial u}{\partial \phi}(\rho,\phi).\end{aligned} \nonumber$ Si elegimos poner el parecer en $\phi=-\pi$ tenemos las condiciones de contorno periódicas\[\begin{aligned} u(\rho,2\pi)&=u(\rho,0),\\ \frac{\partial u}{\partial \phi}(\rho,2\pi)&=\frac{\partial u}{\partial \phi}(\rho,0)…
10.9: Volver a nuestro problema inicial
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/10%3A_Funciones_de_Bessel_y_problemas_bidimensionales/10.09%3A_Volver_a_nuestro_problema_inicial
Después de todo lo que hemos aprendido, sabemos que para determinar la solución del problema inicial en la Sec. 10.1 tendríamos que calcular las integrales\[A_j = \frac{2}{c^2 J_1^2(c \alpha_j)}\int_0...Después de todo lo que hemos aprendido, sabemos que para determinar la solución del problema inicial en la Sec. 10.1 tendríamos que calcular las integrales $A_j = \frac{2}{c^2 J_1^2(c \alpha_j)}\int_0^c f(\rho) J_0(\alpha_j \rho) \rho d\rho \nonumber$
1.2: PDE
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/01%3A_Introducci%C3%B3n_a_las_Ecuaciones_Diferenciales_Parciales/1.02%3A_PDE
\[\begin{aligned} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{[v(x,t)+a u_1(x,t)]} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{[v(x,t)+a u_1(x,t)]}&=&\nonumber\\ \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{v(x,t)} - \frac{1... $\begin{aligned} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{[v(x,t)+a u_1(x,t)]} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{[v(x,t)+a u_1(x,t)]}&=&\nonumber\\ \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}{v(x,t)} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial x}{v(x,t)} +a \left(\dfrac{\partial}{\partial x}{u_1(x,t)} - \frac{1}{k} \dfrac{\partial}{\partial t}{u_1(x,t)}\right)&=& \sin(x).\end{aligned} \nonumber$
9.3: Casos especiales
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/09%3A_Soluciones_en_Serie_de_ODE_(M%C3%A9todo_de_Frobenius)/9.03%3A_Casos_especiales
Para los dos casos especiales sólo voy a dar la solución. Se requiere una cantidad sustancial de álgebra para estudiar estos dos casos.
4.1: Serie Taylor
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/04%3A_Serie_de_Fourier/4.01%3A_Serie_Taylor
\[\begin{aligned} &&\qquad&\cos(0) &= 1,\nonumber\\ \cos'(x) &= -\sin(x),&&\cos'(0)&=0,\nonumber\\ \cos^{(2)}(x) &= -\cos(x),&&\cos^{(2)}(0)&=-1,\\ \cos^{(3)}(x) &= \sin(x),&&\cos^{(3)}(0)&=0,\nonumbe... $\begin{aligned} &&\qquad&\cos(0) &= 1,\nonumber\\ \cos'(x) &= -\sin(x),&&\cos'(0)&=0,\nonumber\\ \cos^{(2)}(x) &= -\cos(x),&&\cos^{(2)}(0)&=-1,\\ \cos^{(3)}(x) &= \sin(x),&&\cos^{(3)}(0)&=0,\nonumber\\ \cos^{(4)}(x) &= \cos(x),&&\cos^{(4)}(0)&=1.\end{aligned} \nonumber$ $\cos x = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m}, \nonumber$ Demostrar que $\sin x = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}. \nonumber$
11.4: Modelado del ojo—revisitado
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/11%3A_Separaci%C3%B3n_de_variables_en_tres_dimensiones/11.04%3A_Modelado_del_ojo%E2%80%94revisitado
Ahora necesitamos imponer la condición límite de que la temperatura es $20^\circ$ C en un ángulo de apertura de $45^\circ$ , y en $36^\circ$ otros lugares. La integración sobre $\theta$ en coordena...Ahora necesitamos imponer la condición límite de que la temperatura es $20^\circ$ C en un ángulo de apertura de $45^\circ$ , y en $36^\circ$ otros lugares. La integración sobre $\theta$ en coordenadas esféricas es $\int_0^\pi \sin \theta d\theta = \int_{-1}^1 1 dx$ , y así automáticamente implica que $\cos\theta$ es la variable correcta a usar, como también se desprende de la ortogonalidad de $P_n(x)$ .
4.3: Funciones periódicas
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/04%3A_Serie_de_Fourier/4.03%3A_Funciones_peri%C3%B3dicas
Una función se llama periódica con punto $p$ si $f(x+p)=f(x)$ , para todos $x$ , aunque no $f$ esté definida en todas partes. Un ejemplo sencillo es la función $f(x)=\sin(bx)$ que es periódica con ...Una función se llama periódica con punto $p$ si $f(x+p)=f(x)$ , para todos $x$ , aunque no $f$ esté definida en todas partes. Un ejemplo sencillo es la función $f(x)=\sin(bx)$ que es periódica con punto $(2π)∕b$ . En general una función con periodo $p$ es periódica con periodo 2 p 3 p ... Esto se puede ver fácilmente usando la definición de periodicidad, que resta p del argumento El valor positivo más pequeño de p para el cual f es periódico se llama el período (primitivo) de f.
11.2: Propiedades de los polinomios de Legendre
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/11%3A_Separaci%C3%B3n_de_variables_en_tres_dimensiones/11.02%3A_Propiedades_de_los_polinomios_de_Legendre
\[\begin{aligned} { \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\left[ (x^{2}-1) \frac{d}{dx} (x^{2}-1)^{n} - 2 n x (x^{2}-1)^{n}\right]} &= n(n+1) \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^2-1)^n + 2(n+1) x \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} (x^2-1...\[\begin{aligned} { \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\left[ (x^{2}-1) \frac{d}{dx} (x^{2}-1)^{n} - 2 n x (x^{2}-1)^{n}\right]} &= n(n+1) \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^2-1)^n + 2(n+1) x \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} (x^2-1)^n+(x^2-1) \frac{d^{n+2}}{dx^{n+2}} (x^2-1)^n \nonumber\\ &-2n(n+1) \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^2-1)^n - 2n x \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} (x^2-1)^n \nonumber\\ &=-n(n+1) \frac{d^{n}}{dx^{n}}(x^2-1)^n + 2 x \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} (x^2-1)^n+(x^2-1) \frac{d^{n+2}}{dx^{n+2}} (x^2-1)^n \nonumber\\ &= -\left[…
6.3: Ejemplos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/06%3A_La_soluci%C3%B3n_de_D'Alembert_a_la_ecuaci%C3%B3n_de_onda/6.03%3A_Ejemplos
Ahora permítanme ver dos ejemplos.
7: Sistemas de coordenadas polares y esféricos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/07%3A_Sistemas_de_coordenadas_polares_y_esf%C3%A9ricos
8.3: Poner todo junto
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Ecuaciones_diferenciales/Libro%3A_Ecuaciones_diferenciales_parciales_(Walet)/08%3A_Separaci%C3%B3n_de_variables_en_coordenadas_polares/8.03%3A_Poner_todo_junto
En resumen, tenemos $u(\rho,\phi) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \rho^n \left(A_n\cos n\phi+B_n\sin n \phi \right). \nonumber$ La única condición límite restante ahora se puede utilizar para de...En resumen, tenemos $u(\rho,\phi) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \rho^n \left(A_n\cos n\phi+B_n\sin n \phi \right). \nonumber$ La única condición límite restante ahora se puede utilizar para determinar los coeficientes $A_n$ y $B_n$ , $\begin{aligned} U(c,\phi) &= \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty c^n \left(A_n\cos n\phi+B_n\sin n \phi \right)\nonumber\\ &= \begin{cases} 100 & \text{if $0 < \phi < \pi$} \\ 0 & \text{if $\pi < \phi < 2\pi$} \end{cases}\quad.\end{aligned} \nonumber$ Nos…

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