Prólogo

Introducción

ESTE LIBRO ESTÁ ESCRITO PARA UN CURSO DE PREGRADO Sobre la introducción a ecuaciones diferenciales típicamente tomadas por especializaciones en matemáticas, ciencias físicas e ingeniería. En este curso investigaremos soluciones analíticas, gráficas y aproximadas de ecuaciones diferenciales. Estudiaremos la teoría, métodos de solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Esto incluirá métodos comunes para encontrar soluciones, como el uso de métodos de transformación de Laplace y series de potencia.

Los estudiantes también deben estar preparados para revisar su cálculo, especialmente si han estado alejados del cálculo por un tiempo. Algunos de los temas clave se revisan en el apéndice. En particular, los estudiantes deben saber diferenciar e integrar todas las funciones elementales, incluidas las funciones hiperbólicas. Deben revisar los métodos de integración a medida que surja la necesidad, incluyendo los métodos de sustitución e integración por partes. En su mayor parte, solo necesitaremos material de Cálculo I y II. Otros temas de Cálculo II que revisaremos son series infinitas y ecuaciones y aplicaciones diferenciales introductorias.

La mayoría de los estudiantes acabarán de salir de la secuencia de cálculo conociendo todo acerca de la diferenciación y la integración. Esperamos que también hayan visto muchas aplicaciones. En este curso, extenderemos estas aplicaciones a las relacionadas con ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran una función desconocida y sus derivadas. Si la función es una función de una sola variable, entonces las ecuaciones se conocen como ecuaciones diferenciales ordinarias, el tema de este libro. Si la función desconocida es una función de varias variables independientes, entonces la ecuación es una ecuación diferencial parcial, de la que no trataremos en este curso. Finalmente, puede haber varias funciones desconocidas que satisfagan varias ecuaciones diferenciales acopladas. Estos sistemas de ecuaciones diferenciales serán tratados más adelante en el curso y suelen ser objeto de un segundo curso en ecuaciones diferenciales.

En todos los casos estaremos interesados en soluciones específicas que satisfagan un conjunto de condiciones iniciales, o valores, de la función y algunas de sus derivadas en un punto dado de su dominio. Estos se conocen como problemas de valor inicial. Cuando se dan tales condiciones en varios puntos, entonces uno está lidiando con problemas de valor límite. Los problemas de valor límite serían objeto de un segundo curso en ecuaciones diferenciales y en ecuaciones diferenciales parciales.

Comenzaremos el estudio de ecuaciones diferenciales con ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Estas ecuaciones involucran únicamente derivadas de primer orden. Los ejemplos típicos ocurren en modelos poblacionales y en problemas de caída libre. Hay algunas formas estándar que se pueden resolver con bastante facilidad. En el segundo capítulo pasamos a ecuaciones de segundo orden. A medida que aumenta el orden, se vuelve más difícil resolver ecuaciones diferenciales analíticamente. Entonces, o necesitamos lidiar con ecuaciones simples o recurrir a otros métodos para encontrar soluciones aproximadas.

Para las ecuaciones diferenciales de segundo orden existe una teoría para las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y las ecuaciones más simples son ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficiente constante. Pasaremos algún tiempo buscando estas soluciones. A pesar de que las ecuaciones de coeficiente constante son relativamente simples, hay muchas aplicaciones y el oscilador armónico simple es una de estas. Las soluciones tienen sentido físico y agregar términos de amortiguación y forzamiento conduce a soluciones interesantes y métodos adicionales para resolver estas ecuaciones.

No todas las ecuaciones diferenciales se pueden resolver en términos de funciones elementales. Entonces, pasamos a la solución numérica de ecuaciones diferenciales utilizando los modelos solucionables como bancos de pruebas para esquemas numéricos. Esto también permite la introducción de modelos más realistas. Usando Sistemas de Álgebra Computacional (CAS) u otros entornos de programación, podemos explorar estos ejemplos.

Hace un par de cientos de años no había computadoras. Entonces, los matemáticos de la época buscaron soluciones en serie de ecuaciones diferenciales. Estas soluciones en serie llevaron al descubrimiento de funciones ahora famosas, como los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel. Estas funciones son bastante comunes en aplicaciones y el uso de soluciones de series de potencia es un enfoque bien conocido para encontrar soluciones aproximadas a mano.

Otra técnica común para resolver ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales, son los métodos de transformación. Una de las más simples de ellas es la transformación de Laplace. Esta transformación integral se utiliza para transformar la ecuación diferencial ordinaria en una ecuación algebraica. La solución de la ecuación algebraica se utiliza entonces para descubrir la solución a la ecuación diferencial. Estas técnicas suelen ser útiles en teoría de sistemas o ingeniería eléctrica.

En las últimas décadas la inclusión de la tecnología en el aula ha permitido la introducción de sistemas de ecuaciones diferenciales en el curso típico sobre ecuaciones diferenciales. Las soluciones de sistemas lineales de ecuaciones son una herramienta importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales y las ecuaciones diferenciales no lineales han sido objeto de muchos trabajos de investigación en las últimas décadas. Analizaremos los sistemas de ecuaciones diferenciales al final del libro y discutiremos la estabilidad de las soluciones en sistemas dinámicos.

Tecnología y Mesas

A medida que avanzas a través del curso, muchas veces tendrás que computar integrales y derivadas a mano. Sin embargo, muchos lectores saben que parte del tedio se puede aliviar usando computadoras, o incluso buscando lo que necesitas en las tablas. En algunos casos incluso podrías encontrar applets en línea que pueden darte rápidamente las respuestas que buscas.

También necesitas estar cómodo haciendo muchos cálculos a mano. Esto es necesario, sobre todo en tus primeros estudios, por varias razones. Por ejemplo, debes intentar evaluar las integrales a mano cuando se te pida hacerlas. Esto refuerza las técnicas, como se señaló anteriormente. Ejercita tu cerebro de la misma manera que podrías trotar diariamente para ejercitar tu cuerpo. Cuanto más cómodo estés con derivaciones y evaluaciones, más fácil será seguir futuras conferencias sin empantanarse por los detalles, preguntándose cómo llegó tu profesor del paso A al paso D. Siempre puedes usar un sistema de álgebra computacional, o una Tabla de Integrales, para verificar tu TRABAJO.

Pueden surgir problemas cuando dependen puramente de la salida de las computadoras, u otras “cajas negras”. Una vez que tengas una comprensión firme de las técnicas y una sensación de cómo deberían ser las respuestas, entonces puedes sentirte cómodo con lo que te da la computadora. En ocasiones, los Sistemas de Álgebra Computacional (CAS) como Maple, pueden darte respuestas de aspecto extraño y a veces incluso respuestas incorrectas. Además, estos programas no pueden hacer todas las integrales ni resolver todas las ecuaciones diferenciales que les pidan que hagan. Incluso algunas de las expresiones de aspecto más simple pueden causar problemas en los sistemas de álgebra informática. Otras veces incluso podrías proporcionar una entrada incorrecta, lo que lleva a resultados erróneos.

Otra fuente de integrales indefinidas, derivadas, expansiones en serie, etc, es una Tabla de Fórmulas Matemáticas. Hay varios libros buenos que se han impreso. Incluso algunos de estos tienen errores tipográficos en ellos, por lo que hay que tener cuidado. Sin embargo, puede valer la pena la inversión para tener un libro de este tipo en su biblioteca personal. Ve a la biblioteca, o a la librería, y mira algunas de estas tablas para ver qué tan útiles podrían ser.

También hay muchos recursos en línea. Por ejemplo, está el Wolfram Integrator en http://integrals.wolfram.com/ así como el reciente http://www.wolframalpha.com/. También hay una gran cantidad de información en los siguientes sitios: http://www.sosmath.com/, http://www.math2.org/, http://mathworld.wolfram.com/, y http://functions.wolfram.com /.

Si bien estos recursos son útiles para problemas que tienen soluciones analíticas, en algún momento tendrá que darse cuenta de que la mayoría de los problemas en los textos, especialmente los de hace algunas décadas, están dirigidos principalmente a soluciones que tengan buenas soluciones analíticas o tengan soluciones que puedan aproximarse utilizando lápiz y papel.

Cada vez más verás problemas que necesitan ser resueltos numéricamente. Si bien la mayor parte de este libro\((97 \%)\) enfatiza los métodos tradicionales utilizados para determinar el comportamiento exacto o aproximado de los sistemas basados en métodos matemáticos sólidos, hay momentos en que una comprensión básica de los métodos computacionales es útil. Por lo tanto, ocasionalmente discutiremos algunos métodos numéricos relacionados con el tema en el texto. En particular, discutiremos algunos métodos de física computacional como la solución numérica de ecuaciones diferenciales y el ajuste de datos a curvas. Se discutirán las aplicaciones que solo pueden resolverse usando estos métodos.

Existen muchos lenguajes de programación y paquetes de software que pueden ser utilizados para determinar soluciones numéricas a ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, están disponibles CAS (Computer Algebra Systems) como Maple y Mathematica. Los paquetes de código abierto como Maxima, que existe desde hace tiempo, Mathomatic y el Proyecto SAGE, sí existen como alternativas. Uno puede usar rutinas integradas y hacer algo de programación. Las características principales son que pueden producir soluciones simbólicas. Generalmente, son lentos en la generación de soluciones numéricas.

Para una programación seria, se pueden usar lenguajes de programación estándar como FORTRAN,\(C\) y sus derivados. Recientemente, Python se ha convertido en un recurso alternativo y muy aceptado como lenguaje de programación de código abierto y es útil para hacer computación científica utilizando los paquetes adecuados.

También, está MATLAB. MATLAB se desarrolló en la\(1980^{\prime}\) s como Laboratorio Matrix y durante mucho tiempo fue el estándar fuera de los lenguajes de programación “normales” para manejar soluciones no simbólicas en ciencia computacional. Han aparecido clones similares de código abierto, como Octave. Octave puede ejecutar la mayoría de los archivos MATLAB y algunos de los suyos propios. Otros clones de MATLAB son SciLab, Rlab, FreeMat y PyLab.

En este texto se proporcionan algunos fragmentos de rutinas Maple y MATLAB. La mayor parte del texto no se basa en estos; sin embargo, los fragmentos de MATLAB deben ser relativamente legibles para cualquier persona con algún conocimiento de paquetes informáticos, o fáciles de pasar a los clones de código abierto, como Octave. Las rutinas de arce no son tan simples, pero pueden ser traducibles a otros paquetes con un poco de esfuerzo. Sin embargo, la teoría que se encuentra detrás del uso de cualquiera de estas rutinas se describe en el texto y el texto puede leerse sin comprender explícitamente el software de computadora en particular.

Agradecimientos

LA MAYOR, SI NO TODOS, DE LAS IDEAS Y EJEMPLOS NO SON MÍAS. Estas notas son un compendio de temas y ejemplos que he utilizado en la enseñanza no sólo de ecuaciones diferenciales, sino también en la enseñanza de numerosos cursos de física y matemáticas aplicadas. Algunas de las nociones incluso se remontan a cuando las aprendí por primera vez en los cursos que había tomado.

También me gustaría expresar mi gratitud a los muchos estudiantes que han encontrado errores tipográficos, o secciones sugeridas que necesitan más claridad en el conjunto básico de notas en las que se basó este libro. Esto se aplica al conjunto de notas utilizadas en mi curso de física matemática, curso de matemáticas aplicadas, Una introducción a Fourier y Análisis Complejo con Aplicación al Análisis Espectral de Señales, y curso de ecuaciones diferenciales ordinarias,\(A\) Segundo Curso en Diferencial Ordinario Ecuaciones: Sistemas Dinámicos y Problemas de Valor Límite, todos los cuales tienen cierta superposición significativa con este libro.