3.5.7: El Coeficiente de Arrastre
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HEMOS VISTO QUE EL DRAG AÉREO puede jugar un papel en interesantes problemas de física en ecuaciones diferenciales. Este también es un concepto importante en el flujo de fluidos y la mecánica de fluidos cuando se observan flujos alrededor de obstáculos, o cuando el obstáculo se mueve con respecto al fluido de fondo. El objeto más simple de este tipo es una esfera, como una pelota de béisbol, pelota de fútbol, pelota de golf o una gota de lluvia esférica ideal. La fuerza resistiva se caracteriza por el coeficiente de arrastre adimensional
\[C_{D}=\dfrac{F_{D}}{\dfrac{1}{2} \rho U^{2} L^{2}}\nonumber \]
donde\(L\) y\(U\) son la longitud y velocidad características del objeto que se mueve a través del fluido.
Se ha prestado mucha atención a relacionar el coeficiente de arrastre con el número de Reynolds. El número de Reynolds viene dado por
\[R e=\dfrac{\rho L U}{\eta}=\dfrac{L V}{v}\nonumber \]
donde\(\eta\) esta la viscosidad y\(v=\dfrac{\eta}{\rho}\) es la viscosidad cinematica. Es una medida del tamaño de las fuerzas cinemáticas a viscosas en el problema en cuestión. Existen diferentes rangos de comportamiento del fluido dependiendo del orden del número de Reynolds. Estos van desde el flujo laminar\((R e<1000)\) hasta el flujo turbulento\(\left(\operatorname{Re}>2.5 \times 10^{5}\right)\). Hay una gama de otros tipos de flujos como el flujo rastrero\((\mathrm{Re}<<1)\) y los flujos transicionales, que son una mezcla de flujo laminar y turbulento.
Para un número bajo de Reynolds, las fuerzas inerciales son pequeñas en comparación con las fuerzas viscosas, lo que lleva a la fuerza de arrastre de Stokes,\(C_{D}=24 R e^{-1}\). Este resultado se puede determinar analíticamente. Del mismo modo, para un número grande de Reynolds el coeficiente de arrastre es una constante. Este es el régimen newtoniano. En algún punto intermedio la forma del coeficiente de arrastre se encuentra a través de estudios empíricos. Se han desarrollado muchas expresiones empíricas y todas están dentro de un pequeño porcentaje de los datos en el rango de aplicabilidad. Algunas de las expresiones de uso común se dan a continuación.
Modelos que son útiles para\(R e<10^{3}:\)
\[C_{2} =\dfrac{24}{R e}+\dfrac{4}{R e^{1 / 3}}, \quad \text{ Putnam }(1961) \nonumber \]
\[C_{3}=\dfrac{24}{R e}\left(1+0.15 R e^{0.687}\right), \quad \text{ Schiller-Naumann }(1933), \nonumber \]
\[C_{4} =12 R e^{-.5} ; \quad \text{ Edwards et al. }(2000), \nonumber \]
Los modelos que son útiles para\(R e<2 \times 10^{5}\) son los White (1991) y CliftGavin (1970), respectivamente,
\[C_{1} =\dfrac{24}{R e}+\dfrac{6 .}{1+\sqrt{R e}}+0.4 \nonumber \]
\[C_{5} =\dfrac{24}{R e}\left(1+0.15 R e^{0.687}\right)+\dfrac{.42}{1+42500 / R e^{1.16}} \nonumber \]
Un modelo más reciente fue propuesto por Morrison (2010) para\(R e<10^{6}:\)
\[C_{6}=\dfrac{24}{R e}+\dfrac{2.6\left(\dfrac{R e}{5.0}\right)}{1+\left(\dfrac{R e}{5.0}\right)^{1.52}}+\dfrac{.411\left(\dfrac{R e}{263000}\right)^{-7.94}}{1+\left(\dfrac{R e}{263000}\right)^{-8.00}}+\dfrac{R e^{0.80}}{461000} \nonumber \]
Las parcelas para estos modelos se muestran en las Figuras\(\PageIndex{1} - \PageIndex{2}\). En la Figura\(\PageIndex{1}\) vemos que los modelos difieren significativamente para grandes números de Reynolds.
La figura\(\PageIndex{2}\) muestra una gráfica log-log del coeficiente de arrastre en función del número de Reynolds. En la Figura\(\PageIndex{3}\) se muestra una ley de potencia adecuada para el número de Reynolds menor a 1000 confirmando el modelo utilizado por Edwards, Wilder y Scime (2001) como se describe en el problema de las gotas de lluvia.
