3.6: Problemas

1. Utilice el Método de Euler para determinar el valor dado de\(y\) para los siguientes problemas. Cuando sea posible comparar las aproximaciones numéricas con las soluciones exactas.
   a.\(\dfrac{d y}{d x}=2 y, y(0)=2 .\) Encuentra\(y(1)\) con\(h=0.1\)
   b.\(\dfrac{d y}{d x}=x-y, y(0)=1 .\) Encuentra\(y(2)\) con\(h=0.2\)
   c.\(\dfrac{d y}{d x}=x \sqrt{1-y^{2}}, y(1)=0 .\) Encuentra\(y(2)\) con \(h=0.2\).
   d.\(\dfrac{d y}{d t}=1+\dfrac{y}{t}, y(1)=2\) con\(h=0.25\).
   e.\(\dfrac{d y}{d t}=-3 y+t e^{2 t}, y(0)=0\) con\(h=0.25\).

2. Utilice el Método de Punto Medio para resolver los problemas de valor inicial en Problema\(1 .\)
3. Resolver numéricamente el problema del péndulo no lineal usando el código EulerCromer para un péndulo con longitud\(L=0.5 \mathrm{~m}\) usando ángulos iniciales de\(\theta_{0}=10^{\circ}\), y\(\theta_{0}=70^{\circ} .\) en cada caso ejecute las rutinas lo suficientemente largas y con un adecuado\(h\) tal que pueda determinar el periodo en cada caso. Compara tus resultados con el periodo de péndulo lineal.
4. Para el sky dive Baumgartner habíamos obtenido los resultados para su posición en función del tiempo. Hay otras preguntas que podrían hacerse.
   1. Encuentra la velocidad en función del tiempo para el modelo desarrollado en el texto.
   2. Encuentra la velocidad en función de la altitud para el modelo desarrollado en el texto.
   3. ¿Qué velocidad máxima se obtiene en el modelo? ¿A qué hora y posición?
   4. ¿El modelo indica que se alcanzó la velocidad terminal?
   5. ¿Qué velocidad se predice para el punto en el que se abrió el paracaídas?
   6. ¿Cómo se comparan estos números con los datos reportados?
5. Considera el vuelo de una pelota de golf con masa\(46 \mathrm{~g}\) y un diámetro de\(42.7\)\(\mathrm{mm}\). Supongamos que se proyecta\(30^{\circ}\) a una velocidad de\(36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) y sin giro.
   1. Haciendo caso omiso de la resistencia del aire, encuentra analíticamente la trayectoria de la pelota y determina el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo para que aterrice a la altura que la pelota había iniciado.
   2. Ahora considere una fuerza de arrastre\(f_{D}=\dfrac{1}{2} C_{D} \rho \pi r^{2} v^{2}\), con\(C_{D}=0.42\) y\(\rho=1.21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\). Determinar el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo para que la pelota aterrice a la altura que había comenzado.
   3. Trazar el número de Reynolds en función del tiempo. [Tomar la viscosidad cinemática del aire,\(v=1.47 \times 10^{-5}\).
   4. Con base en la gráfica en parte\(c\), cree un modelo para incorporar el cambio en el número de Reynolds y repetir la parte b. Compare los resultados de las partes\(a, b\) y\(d\).
6. Considera el vuelo de una pelota de tenis con masa\(57 \mathrm{~g}\) y un diámetro de\(66.0\) mm. Supongamos que la pelota se sirve a\(6.40\) metros de la red a una velocidad de\(50.0\)\(\mathrm{m} / \mathrm{s}\) abajo de la línea central desde una altura de\(2.8 \mathrm{~m}\). Solo necesita despejar la red\((0.914 \mathrm{~m})\).
   1. Ignorando la resistencia del aire y el giro, encuentra analíticamente el camino de la pelota asumiendo que solo despeja la red. Determinar el ángulo para despejar la red y el tiempo de vuelo.
   2. Encuentra el ángulo para despejar la red asumiendo que a la pelota de tenis se le da un topspin con\(\omega=50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
   3. Repita la parte b asumiendo que la pelota de tenis se le da un giro inferior con\(\omega=50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}\).
   4. Repita las partes\(a, b\), y\(c\) con una fuerza de arrastre, tomando\(C_{D}=0.55\).
7. En Ejemplo\(3.7 a(t)\) se determinó para un universo curvo con materia no relativista para\(\Omega_{0}>1 .\) Derivar las ecuaciones paramétricas para\(\Omega_{0}<1\),

\[\begin{aligned} a &=\dfrac{\Omega_{0}}{2\left(1-\Omega_{0}\right)}(\cosh \eta-1) \\ t &=\dfrac{\Omega_{0}}{2 H_{0}(1-\Omega)^{3 / 2}}(\sinh \eta-\eta) \end{aligned} \label{3.67} \]

para\(\eta \geq 0\)

8. Encuentra soluciones numéricas para otros modelos del universo.
   1. Un universo plano con materia no relativista solo con\(\Omega_{m, 0}=1\).
   2. Un universo curvo con radiación solo con curvatura de diferentes tipos.
   3. Un universo plano con materia no relativista y radiación con varios valores de\(\Omega_{m, 0}\) y\(\Omega_{r, 0}+\Omega_{m, 0}=1\).
   4. Busque los valores actuales de\(\Omega_{r, 0}, \Omega_{m, 0}, \Omega_{\Lambda, 0}\), y\(\kappa .\) Use estos valores para predecir valores futuros de\(a(t)\).
   5. Investiga otros tipos de universos de tu elección, pero distintos de los problemas y ejemplos anteriores.