6.3: Formulación Matriz

Hemos investigado varios sistemas lineales en el plano y en el próximo capítulo usaremos algunas de estas ideas para investigar sistemas no lineales. Necesitamos una visión más profunda de las soluciones de los sistemas planos. Entonces, en esta sección refundiremos los sistemas lineales de primer orden en forma de matriz. Esto conducirá a una mejor comprensión de los sistemas de primer orden y permitirá extensiones a dimensiones superiores y la solución de ecuaciones no homogéneas más adelante en este capítulo.

Comenzamos con el sistema homogéneo habitual en la Ecuación 6.1.9. Que las incógnitas sean representadas por el vector

\[\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{l} x(t) \\ y(t) \end{array}\right)\nonumber \]

Entonces tenemos eso

\[\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} a x+b y \\ c x+d y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) \equiv A \mathbf{x}\nonumber \]

Aquí hemos introducido la matriz de coeficientes\(A\). Esta es una ecuación diferencial vectorial de primer orden,

\[\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}\nonumber \]

Anteriormente, podemos escribir la solución como

\[\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0} e^{A t}.\nonumber \]

Se puede verificar que esta es una solución simplemente diferenciando,

\[\dfrac{d \mathbf{x}}{d t}=\mathbf{x}_{0} \dfrac{d}{d t}\left(e^{A t}\right)=A \mathbf{x}_{0} e^{A t}=A \mathbf{x}\nonumber \]

Sin embargo, queda la pregunta, “¿Qué significa exponenciar una matriz?\(?^{\prime \prime}\) El exponencial de una matriz se define usando la expansión de la serie Maclaurin

\[e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2 !}+\dfrac{x^{3}}{3 !}+\cdots \nonumber \]

Definimos

\[e^{A}=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{n !} A^{n}=I+A+\dfrac{A^{2}}{2 !}+\dfrac{A^{3}}{3 !}+\cdots \nonumber \]

En general es difícil sumar esta serie, pero es factible para algunos ejemplos simples.e

La exponencial de una matriz se define usando la expansión de la serie Maclaurin

\[e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n !}=1\nonumber \]

Entonces, definimos

\[e^{A}=I+A+\dfrac{A^{2}}{2 !}+\dfrac{A^{3}}{3 !}+\cdots . \nonumber \]

En general, es difícil calcular\(e^{A}\) a menos que\(A\) sea diagonal.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Evaluar\(e^{tA}\) para\ (A=\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 2
\ end {array}\ right)\)

\[ \begin{aligned} e^{t A} &=I+t A+\dfrac{t^{2}}{2 !} A^{2}+\dfrac{t^{3}}{3 !} A^{3}+\cdots \\ &=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)+\dfrac{t^{2}}{2 !}\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)^{2}+\dfrac{t^{3}}{3 !}\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)^{3}+\cdots \\ &=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)+\dfrac{t^{2}}{2 !}\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right)+\dfrac{t^{3}}{3 !}\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 8 \end{array}\right)+\cdots \\ &\left.=\left(\begin{array}{cc} 1+t+\dfrac{t^{2}}{2 !}+\dfrac{t^{3}}{3 !} \cdots & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)+\dfrac{2 t^{2}}{2 !}+\dfrac{8 t^{3}}{3 !} \cdots\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc} e^{t} & 0 \\ 0 & e^{2 t} \end{array}\right) \end{aligned}\label{6.61} \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Evaluar\(e^{t A}\) para\(A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)\).

Primero notamos que

\[A^{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=I \nonumber \]

Por lo tanto,

\[A^{n}=\left\{\begin{array}{cc} A, & n \text { odd } \\ I, & n \text { even } \end{array}\right.\nonumber \]

Entonces, tenemos

\[\begin{aligned} e^{t A} &=I+t A+\dfrac{t^{2}}{2 !} A^{2}+\dfrac{t^{3}}{3 !} A^{3}+\cdots \cdot \\ &=I+t A+\dfrac{t^{2}}{2 !} I+\dfrac{t^{3}}{3 !} A+\cdots \cdot \\ &=\left(\begin{array}{cc} 1+\dfrac{t^{2}}{2 !}+\dfrac{t^{4}}{4 !} \cdots & t+\dfrac{t^{3}}{3 !}+\dfrac{t^{5}}{5 !} \cdots \\ t+\dfrac{t^{3}}{3 !}+\dfrac{t^{5}}{5 !} \cdots & 1+\dfrac{t^{2}}{2 !}+\dfrac{t^{4}}{4 !} \cdots \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc} \cosh & \sinh t \\ \sinh t & \cosh t \end{array}\right) \end{aligned} \label{6.62} \]

Dado que sumar estas series infinitas puede ser difícil, ahora investigaremos las soluciones de los sistemas planos para ver si podemos encontrar otros enfoques para resolver sistemas lineales usando métodos matriciales. Comenzamos recordando la solución al problema en el Ejemplo 6.2.3.2. Obtuvimos la solución a este sistema como

\[\begin{array}{r} x(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t} \\ y(t)=\dfrac{1}{3} c_{1} e^{t}-\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{array} \label{6.63} \]

Esto se puede reescribir usando operaciones matriciales. A saber, primero escribimos la solución en forma de vector.

\[ \begin{aligned} \mathbf{x} &=\left(\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t} \\ \dfrac{1}{3} c_{1} e^{t}-\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{c} c_{1} e^{t} \\ \dfrac{1}{3} c_{1} e^{t} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} c_{2} e^{-4 t} \\ -\dfrac{1}{2} c_{2} e^{-4 t} \end{array}\right) \\ &=c_{1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ \dfrac{1}{3} \end{array}\right) e^{t}+c_{2}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -\dfrac{1}{2} \end{array}\right) e^{-4 t} \end{aligned}\label{6.64} \]

Vemos que nuestra solución está en forma de una combinación lineal de vectores de la forma

\[\mathbf{x}=\mathbf{v} e^{\lambda t} \nonumber \]

con\(\mathbf{v}\) un vector constante y\(\lambda\) un número constante. Esto es similar a cómo comenzamos a encontrar soluciones a las ecuaciones de coeficientes constantes de segundo orden. Entonces, para el problema general 6.9.3 insertamos esta suposición. Por lo tanto,

\[ \begin{aligned} \mathbf{x}^{\prime} &=A \mathbf{x} \Rightarrow \\ \lambda \mathbf{v} e^{\lambda t} &=A \mathbf{v} e^{\lambda t} \end{aligned} \label{6.65} \]

Para que esto sea cierto para todos\(t\), tenemos que

\[A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \nonumber \]

Este es un problema de valor propio. \(A\)es una\(2 \times 2\) matriz para nuestro problema, pero fácilmente podría generalizarse a un sistema de ecuaciones diferenciales de\(n\) primer orden. Vamos a confinar nuestras observaciones por ahora a sistemas planos. Sin embargo, necesitamos recordar cómo resolver problemas de autovalor y luego ver cómo las soluciones de los problemas de autovalor pueden ser utilizadas para obtener soluciones a nuestros sistemas de ecuaciones diferenciales.