2.1: Introducción
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En este capítulo comenzaremos nuestro estudio de sistemas de ecuaciones diferenciales. Después de definir los sistemas de primer orden, veremos los sistemas de coeficientes constantes y el comportamiento de las soluciones para estos sistemas. Además, la mayor parte de la discusión se centrará en sistemas planos o bidimensionales. Para tales sistemas podremos observar una variedad de representaciones gráficas de la familia de soluciones y discutir las características cualitativas de los sistemas que podemos resolver en preparación para el estudio de sistemas cuyas soluciones no se pueden encontrar en una forma algebraica.
Una forma general para los sistemas de primer orden en el plano viene dada por un sistema de dos ecuaciones para incógnitas\(x(t)\) y\(y(t)\):
\ [\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} (t) =P (x, y, t)\\
&y^ {\ prime} (t) =Q (x, y, t)
\ final {alineado}\ etiqueta {2.1}\]
Un sistema autónomo es aquel en el que no existe una dependencia explícita del tiempo:
\ [\ begin {alineado}
x^ {\ prime} (t) &=P (x, y)\\
y^ {\ prime} (t) &=Q (x, y)
\ final {alineado}\ etiqueta {2.2}\]
De lo contrario el sistema se llama no autónomo.
Un sistema lineal toma la forma
\ [\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =a (t) x+b (t) y+e (t)\\
&y^ {\ prime} =c (t) x+d (t) y+f (t)
\ final {alineado}\ etiqueta {2.3}\]
Un sistema lineal homogéneo da como resultado cuándo\(e(t)=0\) y\(f(t)=0\).
Un sistema lineal de coeficientes constantes de ecuaciones diferenciales de primer orden viene dado por
\ [\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =a x+b y+e\\
&y^ {\ prime} =c x+d y+f
\ end {alineado}\ etiqueta {2.4}\]
Nos centraremos en sistemas lineales y homogéneos de ecuaciones diferenciales de primer orden de coeficientes constantes:
\ [\ begin {aligned}
&x^ {\ prime} =a x+b y\\
&y^ {\ prime} =c x+d y.
\ end {alineado}\ etiqueta {2.5}\]
Como veremos más adelante, tales sistemas pueden resultar por una simple traducción de las funciones desconocidas. Se dice que estas ecuaciones están acopladas\(b \neq 0\) si\(c \neq 0\)
Comenzamos por señalar que el sistema (2.5) puede reescribirse como una ecuación diferencial lineal de coeficiente constante de segundo orden, que ya sabemos resolver. Diferenciamos la primera ecuación en sistema sistema (2.5) y reemplazamos sistemáticamente las ocurrencias de\(y\) y\(y^{\prime}\), ya que también sabemos por la primera ecuación que\(y=\dfrac{1}{b}\left(x^{\prime}-a x\right)\). Por lo tanto, tenemos
\ [\ begin {alineado}
x^ {\ prime\ prime} &=a x^ {\ prime} +b y^ {\ prime}\\
&=a x^ {\ prime} +b (c x+d y)\\
&=a x^ {\ prime} +b c x+d\ left (x^ {\ prime} -a x\ derecha)
\ end {alineado}\ etiqueta {2.6}]
Reescribiendo la última línea, tenemos
\[x^{\prime \prime}-(a+d) x^{\prime}+(a d-b c) x=0 \label{2.7} \]
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria lineal, homogénea, de coeficiente constante. Sabemos que podemos resolver esto mirando primero las raíces de la ecuación característica
\[r^{2}-(a+d) r+a d-b c=0 \label{2.8} \]
y anotar la solución general apropiada para\(x(t)\). Entonces podemos encontrar\(y(t)\) usando la ecuación (2.5):
\[y=\dfrac{1}{b}\left(x^{\prime}-a x\right) \nonumber \]
Ahora demostramos esto para un ejemplo específico.
\ [\ begin {aligned}
&x^ {\ prime} =-x+6 y\\
&y^ {\ prime} =x-2 y
\ end {alineado}\ label {2.9}\]
Llevando a cabo los pasos antes señalados, tenemos eso\(x^{\prime \prime}+3 x^{\prime}-4 x=0\). Esto se puede mostrar de la siguiente manera:
\ [\ begin {alineado}
x^ {\ prime\ prime} &=-x^ {\ prime} +6 y^ {\ prime}\\
&=-x^ {\ prime} +6 (x-2 y)\\
&=-x^ {\ prime} +6 x-12\ left (\ dfrac {x^ {\ prime} +x} {6}\ derecha)\\
&=-3 x^ {prime} +4 x
\ fin {alineado}\ etiqueta {2.10}\]
La ecuación diferencial resultante tiene una ecuación característica de\(r^{2}+3 r-4=0\). Las raíces de esta ecuación son\(r=1,-4\). Por lo tanto,\(x(t)=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-4 t} .\) Pero, todavía necesitamos\(y(t)\). Desde la primera ecuación del sistema tenemos
\[y(t)=\dfrac{1}{6}\left(x^{\prime}+x\right)=\dfrac{1}{6}\left(2 c_{1} e^{t}-3 c_{2} e^{-4 t}\right) \nonumber \]
Así, la solución a nuestro sistema es
\ [\ begin {alineado}
&x (t) =c_ {1} e^ {t} +c_ {2} e^ {-4 t}\\
&y (t) =\ dfrac {1} {3} c_ {1} e^ {t} -\ dfrac {1} {2} c_ {2} e^ {-4 t}
\ end {alineado}\ etiqueta {2.11}\]
A veces uno necesita condiciones iniciales. Para estos sistemas especificaríamos condiciones como\(x(0)=x_{0}\) y\(y(0)=y_{0}\). Estos permitirían la determinación de las constantes arbitrarias como antes.
\ [\ begin {aligned}
&x^ {\ prime} =-x+6 y\\
&y^ {\ prime} =x-2 y
\ end {alineado}\ label {2.12}\]
dado\(x(0)=2, y(0)=0\).
Ya tenemos la solución general de este sistema en (2.11). Insertando las condiciones iniciales, tenemos
\ [\ begin {alineado}
&2=c_ {1} +c_ {2}\\
&0=\ dfrac {1} {3} c_ {1} -\ dfrac {1} {2} c_ {2}.
\ end {alineado}\ etiqueta {2.13}\]
Resolviendo\(c_{1}\) y\(c_{2}\) da\(c_{1}=6 / 5\) y\(c_{2}=4 / 5\). Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es
\ [\ begin {alineado}
&x (t) =\ dfrac {2} {5}\ izquierda (3 e^ {t} +2 e^ {-4 t}\ derecha)\\
&y (t) =\ dfrac {2} {5}\ izquierda (e^ {t} -e^ {-4 t}\ derecha)
\ final {alineado}\ etiqueta {2.14}\]