2.4: Problemas de autovalor

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Buscamos soluciones no triviales al problema del valor propio

\[Av = \lambda v \label{2.39} \]

Observamos que$\mathbf{v}=\mathbf{0}$ es una solución obvia. Además, no conduce a nada útil. Entonces, se le llama solución trivial. Normalmente, se nos da la matriz$A$ y tenemos que determinar los valores propios, $\ lambda$, y los vectores propios asociados$\mathbf{v}$, satisfaciendo el problema anterior del valor propio. Posteriormente en el curso exploraremos otros tipos de problemas de autovalor.

Por ahora comenzamos a resolver el problema del valor propio para$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right)$. Insertando esto en la Ecuación (2.39), obtenemos el sistema algebraico homogéneo

\ [\ begin {reunió}
(a-\ lambda) v_ {1} +b v_ {2} =0\\
c v_ {1} + (d-\ lambda) v_ {2} =0
\ final {reunido}\ etiqueta {2.40}\]

La solución de tal sistema sería única si el determinante del sistema no es cero. No obstante, esto daría la solución trivial$v_{1}=0, v_{2}=0$. Para obtener una solución no trivial, necesitamos forzar al determinante a ser cero. Esto produce la ecuación de valor propio

\ (0=\ izquierda|\ begin {array} {cc}
a-\ lambda & b\\
c & d-\ lambda
\ end {array}\ derecha| =( a-\ lambda) (d-\ lambda) -b c\)

Esta es una ecuación cuadrática para los valores propios que conducirían a soluciones no triviales. Si expandimos el lado derecho de la ecuación, encontramos que

\[\lambda^{2}-(a+d) \lambda+a d-b c=0 \nonumber \]

Esta es la misma ecuación que la ecuación característica (2.8) para la ecuación diferencial de coeficiente constante general considerada en el primer capítulo. Así, los valores propios corresponden a las soluciones del polinomio característico para el sistema.

Una vez que encontramos los valores propios, entonces posiblemente haya un número infinito de soluciones al sistema algebraico. Esto lo veremos en los ejemplos.

Entonces, el proceso es

a. Escribir la matriz de coeficientes;

b. Encontrar los valores propios de la ecuación det$(A - \lambda I) = 0$; y,

c. Encuentra los vectores propios resolviendo el sistema lineal$(A - \lambda I)v = 0 $ para cada uno$\lambda$.