2.3: Formulación Matriz

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Hemos investigado varios sistemas lineales en el plano y en el próximo capítulo usaremos algunas de estas ideas para investigar sistemas no lineales. Necesitamos una visión más profunda de las soluciones de los sistemas planos. Entonces, en esta sección refundiremos los sistemas lineales de primer orden en forma de matriz. Esto conducirá a una mejor comprensión de los sistemas de primer orden y permitirá extensiones a dimensiones superiores y la solución de ecuaciones no homogéneas más adelante en este capítulo.

Comenzamos con el sistema homogéneo habitual en la Ecuación (2.5). Que las incógnitas sean representadas por el vector

\ (\ mathbf {x} (t) =\ left (\ begin {array} {l}
x (t)\\
y (t)
\ end {array}\ right)\)

Entonces tenemos eso

\ (\ mathbf {x} ^ {\ prime} =\ left (\ begin {array} {l}
x^ {\ prime}\
y^ {\ prime}
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {l}
a x+b y\
c x+d y
\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {l}
x\\
y
\ end {array}\ right)\ equiv A\ mathbf {x}\)

Aquí hemos introducido la matriz de coeficientes$A$. Esta es una ecuación diferencial vectorial de primer orden,

\[\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}. \nonumber \]

Anteriormente, podemos escribir la solución como

\[\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0} e^{A t} \nonumber \]

Nos gustaría investigar la solución de nuestro sistema. Nuestras investigaciones conducirán a nuevas técnicas para resolver sistemas lineales utilizando métodos matriciales.
Comenzamos recordando la solución al problema específico (2.12). Obtuvimos la solución a este sistema como

\ [\ comenzar {reunido}
x (t) =c_ {1} e^ {t} +c_ {2} e^ {-4 t},\\
y (t) =\ dfrac {1} {3} c_ {1} e^ {t} -\ dfrac {1} {2} c_ {2} e^ {-4 t}
\ final {reunido}\ etiqueta {2.35}\]

Esto se puede reescribir usando operaciones matriciales. A saber, primero escribimos la solución en forma vectorial.

\ [\ begin {alineado}
\ mathbf {x} &=\ left (\ begin {array} {c}
x (t)\\
y (t)
\ end {array}\ right)\\
&=\ left (\ begin {array} {c}
c_ {1} e^ {t} +c_ {2} e^ {-4 t}\
\ dfrac {1} {3} _ {1} e^ {t} -\ dfrac {1} {2} c_ {2} e^ {-4 t}
\ end {array}\ derecha)\\
&=\ left (\ begin {array} {c}
c_ {1} e^ {t}\\
\ dfrac {1} {3} c_ {1} e^ {t}
\ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} {c}
c_ {2} e^ {-4 t}\\
-\ dfrac {1} {2} c_ {2} e^ {-4 t}
\ fin { array}\ derecha)\\
&=c_ {1}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
\ dfrac {1} {3}
\ end {array}\ right) e^ {t} +c_ {2}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
-\ dfrac {1} {2}
\ end {array}\ derecha) e^ {-4 t}
\ fin {alineado}\ etiqueta {2.36}\]

Vemos que nuestra solución está en forma de una combinación lineal de vectores de la forma

\[\mathbf{x}=\mathbf{v} e^{\lambda t} \nonumber \]

con$\mathbf{v}$ un vector constante y$\lambda$ un número constante. Esto es similar a cómo comenzamos a encontrar soluciones a las ecuaciones de coeficientes constantes de segundo orden. Entonces, para el problema general (2.3) insertamos esta suposición. Por lo tanto,

\ [\ begin {alineado}
\ mathbf {x} ^ {\ prime} &=A\ mathbf {x}\ Rightarrow\
\ lambda\ mathbf {v} e^ {\ lambda t} &=A\ mathbf {v} e^ {\ lambda t}
\ end {alineado}\ label {2.37}\]

Para que esto sea cierto para todos$t$, tenemos que

\[A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \label{2.38} \]

Este es un problema de valor propio. $A$es una$2 \times 2$ matriz para nuestro problema, pero fácilmente podría generalizarse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden $n$. Por ahora limitaremos nuestras observaciones a sistemas planos. Sin embargo, necesitamos recordar cómo resolver problemas de autovalor y luego ver cómo las soluciones de los problemas de autovalor pueden ser utilizadas para obtener soluciones a nuestros sistemas de ecuaciones diferenciales.

_________________________

\[e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2 !}+\dfrac{x^{3}}{3 !}+\cdots \nonumber \]

Entonces, definimos

\[e^{A}=\sum_{k=0}^{\infty}=I+A+\dfrac{A^{2}}{2 !}+\dfrac{A^{3}}{3 !}+\cdots \label{2.34} \]

En general, es difícil calcular$e^{A}$ a menos que$A$ sea diagonal.