2.11: Problemas

2.1. Considerar el sistema

\ begin {reunió}
x^ {\ prime} =-4 x-y\
y^ {\ prime} =x-2 y
\ end {reunidos}

a. Determinar la ecuación diferencial de segundo orden satisfecha por\(x(t)\).
b. Resolver la ecuación diferencial para\(x(t)\).
c. Usando esta solución, encuentre\(y(t)\).
d. Verifique sus soluciones para\(x(t)\) y\(y(t)\).
e. Encontrar una solución particular al sistema dadas las condiciones iniciales\(x(0)= 1\) y\(y(0)=0\)

2.2. Considera los siguientes sistemas. Determinar las familias de órbitas para cada sistema y esbozar varias órbitas en el plano de fase y clasificarlas por su tipo (nodo estable, etc.)

a.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =3 x\\
&y^ {\ prime} =-2 y
\ end {alineado}

b.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} = -y\\
&y^ {\ prime} =-5x
\ end {alineado}

c.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =2y\\
&y^ {\ prime} =-3x
\ end {alineado}

d.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =x - y\\
&y^ {\ prime} =y
\ end {alineado}

e.\ begin {aligned}
&x^ {\ prime} =2x + 3y\\
&y^ {\ prime} =-3x + 2y
\ end {alineado}

2.3. Utilizar las transformaciones que relacionan las coordenadas polares y cartesianas para demostrar que

\[\dfrac{d \theta}{d t}=\dfrac{1}{r^{2}}\left[x \dfrac{d y}{d t}-y \dfrac{d x}{d t}\right] \nonumber \]

2.4. En la Ecuación (2.34) se definió el exponencial de una matriz.

a. dejar

\ (A=\ left (\ begin {array} {ll}
2 & 0\\
0 & 0
\ end {array}\ right)\)

Cómputos\(e^{A}\).

b. Dar una definición\(\cos A\) y calcular de\(\cos \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right)\) forma más simple.

c. Probar\(e^{P A P^{-1}}=P e^{A} P^{-1}\).

2.5. Considerar el sistema general

\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =a x+b y\\
&y^ {\ prime} =c x+d y
\ end {alineado}

¿Se puede determinar la familia de trayectorias para el caso general? Recordemos, esto significa que tenemos que resolver la ecuación de primer orden

\[\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{c x+d y}{a x+b y} \nonumber \]

[En realidad, esta ecuación es homogénea de grado 0.] Se puede escribir en el formulario\(\dfrac{d y}{d x}=F\left(\dfrac{y}{x}\right)\). Para tales ecuaciones, se puede hacer la sustitución\(z=\dfrac{y}{x}\), o\(y(x)=x z(x)\), y obtener una ecuación separable para\(z\).

a. Utilizando el sistema general, mostrar que\(z=z(x)\) satisface y ecuación de la forma

\(x \dfrac{d z}{d x}=F(z)-z\)

Identificar la función\(F(z)\).

b. Utilizar la ecuación para\(z(x)\) en la parte a para encontrar la familia de trayectorias del sistema

\ begin {alineado}
x' &= x - y\\
y' &= x + y
\ end {alineado}

Primero determinar lo apropiado\(F(z)\) y luego resolver la ecuación separable resultante como una relación entre\(z\) y\(x\). Después escribe la solución de la ecuación original en términos de\(x\) y\(y\).

c. Utilizar coordenadas polares para describir la familia de soluciones obtenidas. Se puede reescribir la solución en coordenadas polares y/o resolver el sistema reescrito en coordenadas polares.

2.6. Encuentre el (los) valor (s) propio (s) y vector (s) propio (s) para lo siguiente:

a.\(\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right)\)
b.\(\left(\begin{array}{ll}3 & -5 \\ 1 & -1\end{array}\right)\)
c.\(\left(\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right)\)
d.\(\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)\)

2.7. Considera los siguientes sistemas. Para cada sistema determinar la matriz de coeficientes. Cuando sea posible, resolver el problema del valor propio para cada matriz y utilizar los valores propios y las funciones propias para proporcionar soluciones a los sistemas dados. Por último, en los casos comunes que investigaste en Problema 2.2, haz comparaciones con tus respuestas anteriores, como qué tipo de valores propios corresponden a nodos estables.

a.\ begin {aligned}
&x^ {\ prime} =3 x-y\\
&y^ {\ prime} =2 x-2 y
\ end {alineado}

b.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =-y\\
&y^ {\ prime} =-5 x
\ end {alineado}

c.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =x-y\\
&y^ {\ prime} =y
\ end {alineado}

d.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =2x+3y\\
&y^ {\ prime} =-3x+2y
\ end {alineado}

e.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =-4x-y\\
&y^ {\ prime} =x-2y
\ end {alineado}

f.\ begin {alineado}
&x^ {\ prime} =x-y\\
&y^ {\ prime} =x+y
\ end {alineado}

2.8. Para cada una de las siguientes matrices considere el sistema\(\mathbf{x}^{\prime}=A \mathbf{x}\) y

a. Encontrar la matriz de solución fundamental.
b. Encontrar la matriz de solución principal.

a.\ (A=\ left (\ begin {array} {ll}
1 & 1\\
4 & 1
\ end {array}\ right)\)

b.\ (A=\ left (\ begin {array} {ll}
2 & 5\\
0 & 2
\ end {array}\ right)\)

c.\ (A=\ left (\ begin {array} {cc}
4 & -13\\
2 & -6
\ end {array}\ right)\)

d.\ (A=\ left (\ begin {array} {ccc}
1 & -1 & 4\\
3 & 2 & -1\\
2 & 1 & -1
\ end {array}\ right)\)

2.9. Para los siguientes problemas

1) Reescribir el problema en forma de matriz.

2) Encontrar la solución de matriz fundamental.

3) Determinar la solución general del sistema no homogéneo.

4) Encontrar la solución matriz principal.

5) Determinar la solución particular del problema de valor inicial.

a.\(y^{\prime \prime}+y=2 \sin 3 x, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0\)

b.\(y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=20 e^{-2 x}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=6\)

2.10. Demostrar Ecuación (2.75),

\[\mathbf{x}(t)=\Psi(t) \mathbf{x}_{0}+\Psi(t) \int_{t_{0}}^{t} \Psi^{-1}(s) \mathbf{f}(s) d s \nonumber \]

comenzando con la Ecuación (2.73).

2.11. Agregue un tercer resorte conectado a la masa dos en el sistema acoplado que se muestra en la Figura 2.19 a una pared en el extremo derecho. Supongamos que las masas son iguales y los resortes son los mismos.

a. Modele este sistema con un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden.
b. Si las masas son todas\(2.0 \mathrm{~kg}\) y las constantes de resorte son todas\(10.0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}\), entonces encuentre la solución general para el sistema.

c. Mover la masa uno a la izquierda (de equilibrio) 10.0 cm y la masa dos a la derecha 5.0 cm. Déjalos ir. encontrar la solución y trazarla en función del tiempo. ¿Dónde está cada masa a 5.0 segundos?

2.12. Considere el circuito en serie en la Figura 2.20 con\(L = 1.00 H, R = 1.00 \times 10^2 \Omega, C=1.00 \times 10^{-4}F\), y\(V_0 = 1.00 \times 10^3 V\).

a. Establecer el problema como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden para la carga y la corriente.

b. Supongamos que no hay carga presente y no fluye corriente en el\(t = 0\) momento en que\(V_0\) se aplica. Encuentra la corriente y la carga en el condensador como funciones del tiempo.

c. Trazar sus soluciones y describir cómo se comporta el sistema a lo largo del tiempo.

2.13. Vives en una cabaña en la montaña y te gustaría proveerte de agua de un tanque de agua que se encuentra a 25 pies sobre el nivel de la tubería que entra en la cabina. [Ver Figura 2.28.] El tanque se llena desde un acuífero a 125 pies por debajo de la superficie y se bombea a una velocidad máxima de 7 galones por minuto. Como este caudal no es suficiente para satisfacer sus necesidades diarias, le gustaría almacenar agua en el tanque y tener el suministro por gravedad de la presión necesaria. Entonces, diseñas un tanque cilíndrico que mide 35 pies de alto y tiene un diámetro de 10 pies. Luego, el agua fluye a través de la tubería en el fondo del tanque. Te interesa la altura h del agua a la hora\(t\). Esto a su vez le permitirá calcular la presión del agua.

Figura 2.28. Un problema de tanque de agua en las montañas.

Primero, la ecuación diferencial que rige el flujo de agua de un tanque a través de un orificio se da como

\[\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{K - \alpha a \sqrt{2gh}}{A}. \nonumber \]

Aquí\(K\) está la velocidad a la que se bombea agua a la parte superior del tanque. \(A\)es el área de la sección transversal de este tanque. \(\alpha\)se llama coeficiente de contracción, que mide el flujo a través del orificio, el cual tiene sección transversal a. asumiremos que\(\alpha = 0.63\) y que el agua entra en una tubería de PVC de 6 de diámetro.

a. suponiendo que el tanque de agua esté inicialmente lleno, encuentre el caudal mínimo en el sistema durante las dos primeras horas.

b. ¿Cuál es la presión mínima del agua durante las dos primeras horas? A saber, ¿cuál es la presión manométrica en la casa? Tenga en cuenta que\(\Delta P=\rho g H\), donde\(\rho\) está la densidad del agua y\(H\) es la altura total del fluido (tanque más tubería vertical). Tenga en cuenta que\(\rho g=0.434\) psi (libras por pulgada cuadrada).

c. ¿Cuánto tiempo tardará el tanque en drenar\(10 \mathrm{ft}\) por encima de la base del tanque?

Otra información que puede necesitar es de 1 galón\(=231\) en\({ }^{2}\) y\(g=32.2 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\).

2.14. Inicialmente un tanque de 200 galones se llena con agua pura. En el momento se agrega\(t=0\) una concentración de sal con 3 libras de sal por galón al recipiente a razón de 4 galones por minuto, y la mezcla bien agitada se drena del recipiente a la misma velocidad.

a. encontrar el número de libras de sal en el recipiente en función del tiempo.
b. ¿Cuántos minutos tarda la concentración en llegar a 2 libras por galón?
c. ¿A qué se aproxima la concentración en el contenedor para grandes valores de tiempo? ¿Esto concuerda con tu intuición?
d. Suponiendo que el tanque contiene mucho más de 200 galones, y todo es igual excepto que la mezcla se drena a 3 galones por minuto, ¿cuáles serían las respuestas a las partes a y se convertirían?

2.15. Haces dos galones de chile para una fiesta. En la receta se requieren dos cucharaditas de salsa picante por galón, pero accidentalmente habías puesto dos cucharadas por galón. De todas formas decides alimentar a tus invitados con el chile. Asumir que los invitados toman 1 taza/min de chile y se reemplaza lo que se tomó con frijoles y tomates sin ninguna salsa picante. \([1\)\(=16\)tazas de galón y\(1 \mathrm{~Tb}=3\) cucharadita.]

a. anotar la ecuación diferencial y la condición inicial para la cantidad de salsa picante en función del tiempo en este problema de tipo mezcla.
b. Resolver este problema de valor inicial.
c. ¿Cuánto tiempo tardará en devolver el chile a la concentración sugerida por la receta?

2.16. Considerar la reacción química que conduce al sistema en (2.111). Que las constantes de tasa sean\(k_{1}=0.20 \mathrm{~ms}^{-1}, k_{2}=0.05 \mathrm{~ms}^{-1}\), y\(k_{3}=0.10 \mathrm{~ms}^{-1}\). ¿Qué dicen los valores propios de la matriz de coeficientes sobre el comportamiento del sistema? Encuentre la solución del sistema asumiendo\([A](0)=A_{0}=1.0\)\(\mu \mathrm{mol},[B](0)=0\), y\([C](0)=0\). Trazar las soluciones para\(t=0.0\) to\(50.0 \mathrm{~ms}\) y describir lo que está sucediendo a lo largo de este tiempo.

2.17. Considerar el modelo epidémico aprendiendo al sistema en (2.112). Elija las constantes como\(a = 2.0 \text{ days}^{-1}\),\(d = 3.0 \text{ days}^{-1}\), y\(r = 1.0 \text{ days}^{-1}\). ¿Cuáles son los valores propios de la matriz de coeficientes? Encontrar la solución del sistema asumiendo una población inicial de 1,000 y un individuo infectado. Trazar las soluciones por\(5.0\) días y describir lo que está sucediendo\(t = 0.0\) a lo largo de este tiempo. ¿Este modelo es realista?