4.1: Introducción

Hasta este punto hemos resuelto problemas iniciales de valor. Para un problema de valor inicial se tiene que resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas a un valor de la variable independiente. Por ejemplo, porque\(x = x(t)\) podríamos tener el problema de valor inicial

\[x'' + x = 2, \quad x(0) = 1, \quad x'(0) = 0 \label{4.1} \]

En los próximos capítulos estudiaremos problemas de valor límite y diversas herramientas para resolver dichos problemas. En este capítulo vamos a motivar nuestro interés por los problemas de valor límite buscando resolver la ecuación de calor unidimensional, que es una ecuación diferencial parcial. para el resto de la sección, utilizaremos esta solución para mostrar que en el fondo de nuestra solución de problemas de valor límite es un estructura basada en álgebra lineal y análisis que conduzca al estudio de los espacios internos del producto. Aunque técnicamente, deberíamos ser conducidos a los espacios de Hilbert, que son espacios de producto interiores completos.

Para un problema de valor inicial se tiene que resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida o sus derivadas a más de un valor de la variable independiente. Como ejemplo, tenemos una ligera modificación del problema anterior: Encuentra la solución\(x = x(t)\) para\(0 ≤ t ≤ 1\) que satisfaga el problema

\[x'' + x = 2, \quad x(0) = 1, \quad x(1) = 0 \label{4.2} \]

Por lo general, los problemas de valor inicial implican funciones dependientes del tiempo y los problemas de valor límite son espaciales. Entonces, con un problema de valor inicial se sabe cómo evoluciona un sistema en términos de la ecuación diferencial y el estado del sistema en algún momento fijo. Entonces se busca determinar el estado del sistema en un momento posterior.

Para problemas de valores límite, se sabe cómo cada punto responde a sus vecinos, pero hay condiciones que hay que satisfacer en los puntos finales. Un ejemplo sería una viga horizontal soportada en los extremos, como un puente.

La forma de la viga bajo la influencia de la gravedad, u otras fuerzas, conduciría a una ecuación diferencial y las condiciones límite en los extremos de la viga afectarían la solución del problema. También hay una variedad de otros tipos de condiciones de límite. En el caso de una viga, un extremo podría ser fijo y el otro extremo podría ser libre para moverse. Exploraremos los efectos de diferentes condiciones de valor límite en nuestras discusiones y ejercicios.

Resolvamos el problema del valor límite anterior. Al igual que con los problemas de valor inicial, necesitamos encontrar la solución general y luego aplicar las condiciones que podamos tener. Esta es una ecuación diferencial no homogénea, por lo que tenemos que la solución es una suma de una solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación no homogénea,\(x(t) = x_h(t) + x_p(t)\). La solución de\(x′′ + x = 0\) se encuentra fácilmente como

\[x_{h}(t)=c_{1} \cos t+c_{2} \sin t. \nonumber \]

La solución particular se encuentra fácilmente utilizando el Método de Coeficientes Indeterminados,

\[x_{p}(t)=2 \nonumber \]

Así, la solución general es

\[x(t)=2+c_{1} \cos t+c_{2} \sin t \nonumber \]

Ahora aplicamos las condiciones de contorno y vemos si hay valores de\(c_{1}\) y\(c_{2}\) que dan una solución a nuestro problema. La primera condición,\(x(0)=0\), da

\[0=2+c_{1} . \nonumber \]

Así,\(c_{1}=-2\). Usando este valor para\(c_{1}\), la segunda condición,\(x(1)=1\), da

\[0=2-2 \cos 1+c_{2} \sin 1 \nonumber \]

Esto rinde

\[c_{2}=\dfrac{2(\cos 1-1)}{\sin 1} \nonumber \]

Hemos encontrado que existe una solución al problema del valor límite y viene dado por

\[x(t)=2\left(1-\cos t \dfrac{(\cos 1-1)}{\sin 1} \sin t\right) \nonumber \]

Los problemas de valor límite surgen en muchos sistemas físicos, así como muchos de los problemas de valores iniciales que hemos visto. Veremos en la siguiente sección que los problemas de valor límite para las ecuaciones diferenciales ordinarias suelen aparecer en la solución de ecuaciones diferenciales parciales.