4.2: Ecuaciones diferenciales parciales

En esta sección introduciremos algunas ecuaciones diferenciales parciales genéricas y veremos cómo la discusión de tales ecuaciones conduce naturalmente al estudio de problemas de valores límite para ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, no derivaremos las ecuaciones particulares, dejando eso a cursos en ecuaciones diferenciales, física matemática, etc.

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias, las funciones desconocidas son funciones de una sola variable, p. ej.,\(y=y(x)\). Las ecuaciones diferenciales parciales son ecuaciones que involucran una función desconocida de varias variables, tales como\(u=u(x, y), u= u(x, y), u=u(x, y, z, t)\), y sus derivadas (parciales). Por lo tanto, los derivados son derivados parciales. Utilizaremos las notaciones estándar\(u_{x}=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_{x x}=\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}\), etc.

Hay algunas ecuaciones estándar que uno encuentra. Estas se pueden estudiar en una a tres dimensiones y son todas ecuaciones diferenciales lineales. En la Tabla 4.1 se proporciona una lista. Aquí hemos presentado al operador laplaciano,\(\nabla^{2} u=u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\). Dependiendo de los tipos de condiciones de contorno impuestas y de la geometría del sistema (rectangular, cilíndrica, esférica, etc.), se encuentran muchos problemas interesantes de valores límite para las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Nombre	2 Vars	3 D
Ecuación de calor	\(u_{t}=k u_{x x}\)	\(u_{t}=k \nabla^{2} u\)
Ecuación de Onda	\(u_{t t}=c^{2} u_{x x}\)	\(u_{t t}=c^{2} \nabla^{2} u\)
Ecuación de Laplace	\(u_{x x}+u_{y y}=0\)	\(\nabla^{2} u=0\)
Ecuación de Poisson	\(u_{x x}+u_{y y}=F(x, y)\)	\(\nabla^{2} u=F(x, y, z)\)
Ecuación de Schrödinger	\(i u_{t}=u_{x x}+F(x, t) u\)	\(i u_{t}=\nabla^{2} u+F(x, y, z, t) u\)

Cuadro 4.1. Listado de ecuaciones diferenciales parciales genéricas.

Veamos la ecuación del calor en una dimensión. Esto podría describir la conducción de calor en una varilla delgada y aislada de longitud\(L\). También podría describir la difusión de contaminante en un arroyo largo y estrecho, o el flujo de tráfico por una carretera. En los problemas que involucran procesos de difusión, uno llama a esta ecuación la ecuación de difusión.

Un problema típico de valor de límite inicial para la ecuación de calor sería que inicialmente uno tiene una distribución de temperatura\(u(x, 0)=f(x)\). Colocando la barra en un baño de hielo y asumiendo que el flujo de calor es solo a través de los extremos de la barra, uno tiene las condiciones límite\(u(0, t)=0\) y\(u(L, t)=0\). Por supuesto, estamos lidiando con temperaturas Celsius y asumimos que hay mucho hielo para mantener esa temperatura fija en cada extremo para siempre. Entonces, el problema que uno tendría que resolver se da como

Ecuación de calor 1D

\ [\ begin {array} {lcc}
\ text {PDE} & u_ {t} =k u_ {x x}\ quad 0<t,\ quad 0\ leq x\ leq L\
\ texto {IC} & u (x, 0) =f (x) & 0<x<l\
\ texto {BC} & u (0, t) =0 & t>0\\
& u (L, t) =0 & t>0
\ end {array}\ label {4.3 }\]

Aquí,\(k\) es la constante de conducción de calor y se determina usando propiedades de la barra.

Otro problema que surgirá en discusiones posteriores es el de la cuerda vibratoria. Una cuerda de longitud\(L\) se estira horizontalmente con ambos extremos fijos. Piensa en una cuerda de violín o una cuerda de guitarra. Después se arranca la cuerda, dando a la cadena un perfil inicial. Dejar\(u(x, t)\) ser el desplazamiento vertical de la cuerda en posición\(x\) y tiempo\(t\). El movimiento de la cuerda se rige por la ecuación de onda unidimensional. El problema del valor de límite inicial para este problema se da como

Ecuación de onda 1D

\ [\ begin {array} {lcc}
\ mathrm {PDE} & u_ {t t} =c^ {2} u_ {x x} & 0<t,\ quad 0\ leq x\ leq L\
\ mathrm {IC} & u (x, 0) =f (x) & 0<x<l\
\ mathrm {BC} & u (0, t) =0 & t>0\\
& u (L, t) =0 & t>0
\ end {array}\ label { 4.4}\]

En este problema\(c\) está la velocidad de ola en la cuerda. Depende de la masa por unidad de longitud de la cuerda y de la tensión colocada sobre la cuerda.

4.2.1 Resolver la ecuación del calor

Nos gustaría ver cómo la solución de tales problemas que involucran ecuaciones diferenciales parciales conducirá naturalmente a estudiar problemas de valor límite para ecuaciones diferenciales ordinarias. Veremos esto mientras intentamos la solución del problema de la ecuación de calor 4.3. Emplearemos un método típicamente utilizado en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales lineales, llamado método de separación de variables.

Suponemos que se\(u\) puede escribir como producto de funciones variables individuales de cada variable independiente,

\[u(x, t)=X(x) T(t) \nonumber \]

Sustituyendo esta suposición en la ecuación de calor, encontramos que

\[X T^{\prime}=k X^{\prime \prime} T. \nonumber \]

Dividiendo ambos lados por\(k\) y\(u=X T\), luego obtenemos

\[\dfrac{1}{k} \dfrac{T^{\prime}}{T}=\dfrac{X^{\prime \prime}}{X} \nonumber \]

Hemos separado las funciones del tiempo por un lado y el espacio en el otro lado. La única forma en que una función de\(t\) equivale a una función de\(x\) es si las funciones son funciones constantes. Por lo tanto, establecemos cada función igual a una constante,\(\lambda:\)

\[\underbrace{\dfrac{1}{k} \dfrac{T^{\prime}}{T}}_{\text {function of } x}=\underbrace{\dfrac{X^{\prime \prime}}{X}}_{\text {constant }} = \underbrace{\lambda}_{\text{constant}} . \nonumber \]

Esto lleva a dos ecuaciones:

\[T^{\prime}=k \lambda T \label{4.5} \]

\[X^{\prime \prime}=\lambda X \label{4.6} \]

Se trata de ecuaciones diferenciales ordinarias. Las soluciones generales a estas ecuaciones se encuentran fácilmente como

\[T(t)=A e^{k \lambda t} \label{4.7} \]

\[X(x)=c_{1} e^{\sqrt{\lambda} x}+c_{2} e^{\sqrt{-\lambda} x} \label{4.8} \]

Tenemos que tener un poco de cuidado en este punto. El objetivo es obligar a nuestras soluciones de productos a satisfacer tanto las condiciones límite como las condiciones iniciales. Además, debemos señalar que\(\lambda\) es arbitrario y puede ser positivo, cero o negativo. Primero analizamos cómo las condiciones de límite\(u\) conducen a condiciones en\(X\).

La primera condición es\(u(0, t)=0\). Esto implica que

\[X(0) T(t)=0 \nonumber \]

para todos\(t\). La única forma en que esto es cierto es si\(X(0)=0\). De igual manera, eso\(u(L, t)=0\) implica\(X(L)=0\). Entonces, tenemos que resolver el problema del valor límite

\[X^{\prime \prime}-\lambda X=0, \quad X(0)=0=X(L). \label{4.9} \]

Estamos buscando soluciones distintas de cero, como\(X \equiv 0\) es una solución obvia y poco interesante. Llamamos a tales soluciones soluciones triviales.

Hay tres casos a considerar, dependiendo del signo de\(\lambda\).

I.\(\underline{\dfrac{\lambda>0}}\)

En este caso tenemos las soluciones exponenciales

\[X(x)=c_{1} e^{\sqrt{\lambda} x}+c_{2} e^{\sqrt{-\lambda} x} \label{4.10} \]

Para\(X(0)=0\), tenemos

\[0=c_{1}+c_{2}. \nonumber \]

Vamos a tomar\(c_{2}=-c_{1}\). Entonces,\(X(x)=c_{1}\left(e^{\sqrt{\lambda} x}-e^{\sqrt{-\lambda} x}\right)=2 c_{1} \sinh \sqrt{\lambda} x\). Aplicando la segunda condición,\(X(L)=0\) rendimientos

\[c_{1} \sinh \sqrt{\lambda} L=0 \nonumber \]

Esto será cierto sólo si\(c_{1}=0\), ya que\(\lambda>0\). Así, la única solución en este caso es\(X(x)=0\). Esto lleva a una solución trivial,\(u(x, t)=0\).

II. \(\underline{\lambda=0}\)

Para este caso es más fácil establecer\(\lambda\) a cero en la ecuación diferencial. Entonces,\(X^{\prime \prime}=0\). Integrando dos veces, uno encuentra

\[X(x)=c_{1} x+c_{2} \nonumber \]

\(x=0\)Enfrentando\(c_{2}=0\), tenemos, saliendo\(X(x)=c_{1} x\). Ajuste\(x=L\), nos encontramos\(c_{1} L=0\). Entonces,\(c_{1}=0\) y una vez más nos quedamos con una solución trivial.

III. \(\underline{\lambda<0}\)

En este caso sería más sencillo escribir\(\lambda=-\mu^{2}\). Entonces la ecuación diferencial es

\[X^{\prime \prime}+\mu^{2} X=0 \nonumber \]

La solución general es

\[X(x)=c_{1} \cos \mu x+c_{2} \sin \mu x. \nonumber \]

\(x=0\)Al llegar\(0=c_{1}\). Esto deja\(X(x)=c_{2} \sin \mu x\). En\(x=L\), encontramos

\(0=c_{2} \sin \mu L\).

Entonces,\(c_{2}=0\) o bien\(\sin \mu L=0. c_{2}=0\) conduce a una solución trivial nuevamente. Pero, hay casos en los que el seno es cero. A saber,

\[\mu L==n \pi, \quad n=1,2, \ldots \nonumber \]

Tenga en cuenta que no\(n=0\) se incluye ya que esto lleva a una solución trivial. Además, los valores negativos de\(n\) son redundantes, ya que la función seno es una función impar.

En resumen, podemos encontrar soluciones al problema del valor límite (4.9) para valores particulares de\(\lambda\). Las soluciones son

\[X_{n}(x)=\sin \dfrac{n \pi x}{L}, \quad n=1,2,3, \ldots \nonumber \]

para

\[\lambda_{n}=-\mu_{n}^{2}=-\left(\dfrac{n \pi}{L}\right), \quad n=1,2,3, \ldots \nonumber \]

Por lo tanto, las soluciones de producto de la ecuación de calor (4.3) que satisfacen las condiciones límite son

\[u_{n}(x, t)=b_{n} e^{k \lambda_{n} t} \sin \dfrac{n \pi x}{L}, \quad n=1,2,3, \ldots, \label{4.11} \]

donde\(b_{n}\) es una constante arbitraria. Sin embargo, estos no necesariamente satisfacen la condición inicial\(u(x, 0)=f(x)\). Lo que sí conseguimos es

\[u_{n}(x, 0)=\sin \dfrac{n \pi x}{L}, \quad n=1,2,3, \ldots \nonumber \]

Entonces, si nuestra condición inicial está en alguna de estas formas, podemos escoger la correcta\(n\) y terminamos.

Para otras condiciones iniciales, tenemos que hacer más trabajo. Tenga en cuenta que como la ecuación de calor es lineal, podemos escribir una combinación lineal de nuestras soluciones de producto y obtener la solución general satisfaciendo las condiciones de límite dadas como

\[u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} e^{k \lambda_{n} t} \sin \dfrac{n \pi x}{L} \label{4.12} \]

Lo único que hay que imponer es la condición inicial:

\[f(x)=u(x, 0)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \dfrac{n \pi x}{L} \nonumber \]

Entonces, si nos dan\(f(x)\), ¿podemos encontrar las constantes\(b_{n}\)? Si podemos, entonces tendremos la solución al problema completo del valor de límite inicial. Este será el tema del próximo capítulo. Sin embargo, primero veremos la forma general de nuestro problema de valor límite y relacionaremos lo que hemos hecho con la teoría de los espacios vectoriales dimensionales infinitos.