3.2.E: Derivadas Direccionales y el Gradiente (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) está definido por

\[ f(x, y)=3 x^{2}+2 y^{2} . \nonumber \]

Let

\[ \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2) . \nonumber \]

Encuentra\(D_{\mathbf{u}} f(3,1)\) directamente de la definición (3.2.2).

Contestar

\(D_{\mathrm{u}} f(3,1)=\frac{26}{\sqrt{5}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre las derivadas parciales con respecto a cada variable.

(a)\(f(x, y)=\frac{4 x}{x^{2}+y^{2}}\)

b)\(g(x, y)=4 x y^{2} e^{-y^{2}}\)

c)\(f(x, y, z)=3 x^{2} y^{3} z^{4}-13 x^{2} y\)

d)\(h(x, y, z)=4 x z e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)

(e)\(g(w, x, y, z)=\sin \left(\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}\right)\)

Contestar

(a)\(f_{x}(x, y)=\frac{4 y^{2}-4 x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} ; f_{y}(x, y)=-\frac{8 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\)

(c)\ (\ comenzar {alineado}
& f_ {x} (x, y, z) =6 x y^ {3} z^ {4} -26 x y\\
&f_ {y} (x, y, z) =9 x^ {2} y^ {2} z^ {4} -13 x^ {2}\\
&f_ z {} (x, y, z) =12 x^ {2} y^ {3} z^ {3}
\ final {alineado}\)

(e)\[ g_{w}(w, x, y, z)=\frac{w \cos \left(\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}\right)}{\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}} \nonumber \]

\[ g_{x}(w, x, y, z)=\frac{x \cos \left(\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}\right)}{\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}} \nonumber\]

\[ g_{y}(w, x, y, z)=\frac{2 y \cos \left(\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}\right)}{\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}} \nonumber \]

\[ g_{z}(w, x, y, z)=\frac{3 z \cos \left(\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}\right)}{\sqrt{w^{2}+x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}}} \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el gradiente de cada una de las siguientes funciones.

(a)\( f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

b)\(g(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)

c)\(f(w, x, y, z)=\tan ^{-1}(4 w+3 x+5 y+z)\)

Contestar

(a)\(\nabla f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x, y, z)\)

c)\(\nabla f(w, x, y, z)=\frac{1}{1+(4 w+3 x+5 y+z)^{2}}(4,3,5,1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra\(D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{c})\) para cada uno de los siguientes.

(a)\(f(x, y)=3 x^{2}+5 y^{2}, \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{13}}(3,-2), \mathbf{c}=(-2,1)\)

b)\(f(x, y)=x^{2}-2 y^{2}, \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2), \mathbf{c}=(-2,3)\)

c)\(f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1), \mathbf{c}=(-2,2,1)\)

Contestar

(a)\(D_{\mathbf{u}}(-2,1)=-\frac{56}{\sqrt{13}}\)

c)\(D_{\mathrm{u}}(-2,2,1)=-\frac{1}{9 \sqrt{6}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para cada una de las siguientes, encuentre la derivada direccional de\(f\) en el punto\(\mathbf{c}\) en la dirección del vector especificado\(\mathbf{w}\).

(a)\( f(x, y)=3 x^{2} y, \mathbf{w}=(2,3), \mathbf{c}=(-2,1)\)

b)\(f(x, y, z)=\log \left(x^{2}+2 y^{2}+z^{2}\right), \mathbf{w}=(-1,2,3), \mathbf{c}=(2,1,1)\)

c)\(f(t, x, y, z)=t x^{2} y z^{2}, \mathbf{w}=(1,-1,2,3), \mathbf{c}=(2,1,-1,2)\)

Contestar

(a)\(D_{\mathrm{u}} f(-2,1)=\frac{12}{\sqrt{13}},\) donde\(\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{13}}(2,3)\)

c)\(D_{\mathrm{u}} f(2,1,-1,2)=\frac{4}{\sqrt{15}}\), donde\(\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{15}}(1,-1,2,3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Una placa de metal se calienta para que su temperatura en un punto\((x,y)\) sea

\[ T(x, y)=50 y^{2} e^{-\frac{1}{5}\left(x^{2}+y^{2}\right)} . \nonumber \]

Se coloca un error en el punto (2, 1).

(a) El error se dirige hacia el punto (1, −2). ¿Cuál es la tasa de cambio de temperatura en esta dirección?

(b) ¿En qué dirección debe dirigirse el insecto para calentarse al ritmo más rápido? ¿Cuál es la tasa de cambio de temperatura en esta dirección?

(c) ¿En qué dirección debe dirigirse el insecto para refrescarse al ritmo más rápido? ¿Cuál es la tasa de cambio de temperatura en esta dirección?

(d) Hacer una gráfica de los vectores de gradiente y discutir lo que le dice acerca de las temperaturas en la placa.

Contestar

(a)\(-20 \sqrt{10} e^{-1}\)

b) Dirección:\(\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)\); Tasa de cambio:\(40 \sqrt{5} e^{-1}\)

c) Dirección:\(\frac{1}{\sqrt{5}}(1,-2)\); Tasa de cambio:\(-40 \sqrt{5} e^{-1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Un insecto que busca calor es un insecto que siempre se mueve en la dirección del mayor incremento en calor. Discutir el comportamiento de un insecto de búsqueda de calor colocado sobre una placa metálica calentada para que la temperatura a\((x,y)\) sea dada por

\[ T(x, y)=100-40 x y e^{-\frac{1}{10}\left(x^{2}+y^{2}\right)} . \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos que\(g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) está definido por

\[ g(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { if }(x, y) \neq(0,0), \\ 0, & \text { if }(x, y)=(0,0) .\end{cases} \nonumber \]

Vimos anteriormente que ambas derivadas parciales de\(g\) existen en (0, 0), aunque no\(g\) es continua en (0, 0).

(a) Demostrar que\(\frac{\partial g}{\partial x}\) ni ni\(\frac{\partial g}{\partial y}\) es continuo en (0, 0).

b) Dejar

\[ \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) . \nonumber \]

Demostrar que\(D_{\mathbf{u}} g(0,0)\) no existe. En particular,\(D_{\mathbf{u}} g(0,0) \neq \nabla g(0,0) \cdot \mathbf{u} .\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Supongamos que el precio de una determinada mercancía, llámela mercancía\(A\), es\(x\) dólares por unidad y el precio de otra mercancía\(B\),, es\(y\) dólares por unidad. Además, supongamos que\(d_{A}(x, y)\) representa el número de unidades de las\(A\) que se venderán a estos precios y\(d_{B}(x, y)\) representa el número de unidades de las\(B\) que se venderán a estos precios. Estas funciones se conocen como las funciones de demanda para\(A\) y\(B\).

a) Explique por qué es razonable suponer que\[ \frac{\partial}{\partial x} d_{A}(x, y)<0 \nonumber \]

y

\[ \frac{\partial}{\partial y} d_{B}(x, y)<0 \nonumber \]

para todos\((x,y)\).

b) Supongamos que las dos materias primas son competitivas. Por ejemplo, podrían ser dos marcas diferentes del mismo producto. En este caso, cuáles serían supuestos razonables para los signos de

\[ \frac{\partial}{\partial y} d_{A}(x, y) \nonumber \]

y

\[ \frac{\partial}{\partial x} d_{B}(x, y) ? \nonumber \]

c) Supongamos que los dos productos básicos se complementan entre sí. Por ejemplo, la mercancía\(A\) podría ser una computadora y la mercancía\(B\) un tipo de software. En este caso, cuáles serían supuestos razonables para los signos de

\[ \frac{\partial}{\partial y} d_{A}(x, y) \nonumber \]

y

\[ \frac{\partial}{\partial x} d_{B}(x, y) ? \nonumber \]

Contestar

b)\(\frac{\partial}{\partial y} d_{A}(x, y)>0, \frac{\partial}{\partial x} d_{B}(x, y)>0\)

c)\(\frac{\partial}{\partial y} d_{A}(x, y)<0, \frac{\partial}{\partial x} d_{B}(x, y)<0\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Supongamos que\(P\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) representa la producción total por semana de una determinada fábrica en función de\(x_1\), el número de trabajadores y otras variables, como el tamaño del inventario de suministros, el número de horas que funcionan las líneas de montaje por semana, etc. Demostrar esa productividad promedio

\[ \frac{P\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}{x_{1}} \nonumber \]

aumenta a medida que\(x_1\) aumenta si y solo si

\[ \frac{\partial}{\partial x_{1}} P\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)>\frac{P\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)}{x_{1}} . \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Supongamos que\(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\) está\(C^1\) en una bola abierta sobre el punto\(\mathbf{c}\).

a) Dado un vector unitario\(\mathbf{u}\), ¿cuál es la relación entre\(D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{c})\) y\(D_{-\mathbf{u}} f(\mathbf{c})\)?

b) ¿Es posible que\(D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{c}) > 0 \) por cada unidad vector\(\mathbf{u}\)?

Contestar

(a)\(D_{-\mathrm{u}} f(\mathbf{c})=-D_{\mathrm{u}} f(\mathbf{c})\)

b) No