1.10: Triángulos congruentes

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Nuestro siguiente objetivo es darle un significado riguroso al (iv) de la Sección 1.1. Para ello, introducimos la noción de triángulos congruentes así que en lugar de “si giramos o desplazamos no veremos la diferencia” decimos que para los triángulos, se mantiene la congruencia de lado ángulo-lado; es decir, dos triángulos son congruentes si tienen dos pares de lados iguales y la misma medida de ángulo entre estos lados .

Un triple ordenado de puntos distintos en un espacio métrico$\mathcal{X}$, digamos$A, B, C$, se llama triángulo$ABC$ (brevemente$\triangle ABC$). Tenga en cuenta que los triángulos$ABC$ y$ACB$ son considerados como diferentes.

Dos triángulos$A'B'C'$ y$ABC$ se llaman congruentes (se puede escribir como$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$) si hay un movimiento$f: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ tal que

$A' = f(A)$,$B' = f(B)$ y$C' = f(C)$.

Dejar$\mathcal{X}$ ser un espacio métrico, y$f, g: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ ser dos movimientos. Tenga en cuenta que la inversa$f^{-1}: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$, así como la composición también$f \circ g: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ son movimientos.

De ello se deduce que$\cong$ "" es una relación de equivalencia; es decir, cualquier triángulo congruente consigo mismo, y mantienen las dos condiciones siguientes:

Si$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$, entonces$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.
Si$\triangle A''B''C'' \cong \triangle A'B'C'$ y$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$, entonces
\[\triangle A''B''C'' \cong \triangle ABC.\]

Tenga en cuenta que si$\triangle A'B'C' \cong \triangle ABC$, entonces$AB = A'B', BC = B'C'$ y$CA = C'A'$.

Para una métrica discreta, así como algunas otras métricas, también se mantiene la inversa. El siguiente ejemplo muestra que no se sostiene en el avión de Manhattan:

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Considera tres puntos$A = (0, 1), B = (1, 0)$, y$C = (-1, 0)$ en el avión de Manhattan$(\mathbb{R}^2, d_1)$. Tenga en cuenta que

\[d_1 (A, B) = d_1 (A, C) = d_1 (B, C) = 2.\]

Por un lado,

$\triangle ABC \cong \triangle ACB.$

En efecto, el mapa$(x, y) \mapsto (-x, y)$ es un movimiento de$(\mathbb{R}^2, d_1)$ que envía$A \mapsto A, B \mapsto C$, y$C \mapsto B$.

Por otra parte,

$\triangle ABC \not\cong \triangle BCA.$

$2021-01-28 4.03.57.png$

En efecto, argumentando por contradicción, supongamos que$\triangle ABC \cong \triangle BCA$; es decir, hay una moción$f$ de$(\mathbb{R}^2, d_1)$ ese mandar$A \mapsto B, B \mapsto C,$ y$C \mapsto A$.

Decimos que$M$ es un punto medio de$A$ y$B$ si

$d_1(A, M) = d_1(B, M) = \dfrac{1}{2} \cdot d_1(A, B).$

Tenga en cuenta que un punto$M$ es un punto medio de$A$ y$B$ si y solo si$f(M)$ es un punto medio de$B$ y$C$.

El conjunto de puntos medios para$A$ y$B$ es infinito, contiene todos los puntos$(t, t)$ para$t \in [0, 1]$ (es el segmento gris en la imagen de arriba). Por otro lado, el punto medio para$B$ y$C$ es único (es el punto negro en la imagen). Así, el mapa$f$ no puede ser biyective —una contradicción.