1.9: Continuidad

También se supone que la medida del ángulo es continua. A saber, la siguiente propiedad de medida de ángulo pasará a formar parte de los axiomas:

La función

\[\measuredangle: (A, O, B) \mapsto \measuredangle AOB\]

es continuo en cualquier triple de poitns\((A, O, B)\) tal que\(O \ne A\) y\(O \ne B\) y\(\measuredangle AOB \ne \pi\).

Para explicar esta propiedad, necesitamos extender la noción de continuidad a las funciones entre espacios métricos. La definición es una generalización directa de la definición estándar para las funciones reales a reales.

Además, dejar\(\mathcal{X}\) y\(\mathcal{Y}\) ser dos espacios métricos, y\(d_{\mathcal{X}}, d_{\mathcal{Y}}\) ser sus métricas.

Un mapa\(f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) se llama continuo en el punto\(A \in \mathcal{X}\) si para alguno lo\(\varepsilon > 0\) hay\(\delta > 0\), de tal manera que

\(d_{\mathcal{X}} (A, A') < \delta \Rightarrow d_{\mathcal{Y}}(f(A), f(A')) < \varepsilon.\)

(Informalmente significa que los cambios suficientemente pequeños de\(A\) resultado en cambios arbitrariamente pequeños de\(f(A)\).)

Un mapa\(f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) se llama continuo si es continuo en cada punto\(A \in \mathcal{X}\).

Se puede definir un mapa continuo de varias variables de la misma manera. Asumir\(f(A, B, C)\) es una función que devuelve un punto en el espacio\(\mathcal{Y}\) para un triple de puntos\((A, B, C)\) en el espacio\(\mathcal{X}\). El mapa\(f\) podría definirse solo para algunas triples en\(\mathcal{X}\).

Supongamos\(f(A, B, C)\) que está definido. Entonces, decimos que\(f\) es continuo en el triple\((A, B, C)\) si para alguno\(\varepsilon > 0\) hay\(\delta > 0\) tal que

\(d_{\mathcal{Y}} (f(A, B, C), f(A',B',C')) < \varepsilon.\)

si\(d_{\mathcal{X}} (A, A') < \delta, d_{\mathcal{X}} (B, B') < \delta\), y\(d_{\mathcal{X}} (C, C') < \delta\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\mathcal{X}\) ser un espacio métrico.

(a) Que\(A \in \mathcal{X}\) sea un punto fijo. Demostrar que la función
\[f(B):= d_{\mathcal{X}} (A, B)\]
es continua en cualquier punto\(B\).

(b) Demostrar que\(d_{\mathcal{X}} (A, B)\) es continuo en cualquier par\(A, B \in \mathcal{X}\).

Pista

(a). Por la desigualdad triángulo,\(|f(A') - f(A)| \le d(A', A)\). Por lo tanto, podemos tomar\(\delta = \varepsilon\).

b). Por el triángulo de la desigualdad,

\[\begin{array} {rcl} {|f(A',B') - f(A, B)|} & \le & {|f(A',B') - F(A, B')| + |F(A, B') - F(A, B)|} \\ {} & \le & {d(A',A) + d(B',B).} \end{array}\]

Por lo tanto, podemos tomar\(\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\), y\(\mathcal{Z}\) ser espacios métricos. Supongamos que las funciones\(f: \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) y\(g: \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) son continuas en cualquier punto, y\(h = g \circ f\) es su composición; es decir,\(h(A) = g(f(A))\) para cualquiera\(A \in \mathcal{X}\). Demostrar que\(h: \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) es continuo en cualquier punto.

Pista

Fijar\(A \in \mathcal{X}\) y\(B \in \mathcal{Y}\) tal que\(f(A) = B\).

Arreglar\(\varepsilon > 0\). Dado que\(g\) es continuo en\(B\), hay un valor positivo\(\delta_1\) tal que

\(d_{\mathcal{Z}} (g(B'), g(B)) < \varepsilon\)si\(d_{\mathcal{Y}} (B', B) < \delta_1\).

Dado que\(f\) es continuo en\(A\), hay\(\delta_2 > 0\) tal que

\(d_{\mathcal{Y}} (f(A'), f(A)) < \delta_1\)si\(d_{\mathcal{X}} (A', A) < \delta_2\).

Ya que\(f(A) = B\), conseguimos que

\(d_{\mathcal{Z}} (h(A'), h(A)) < \varepsilon\)si\(d_{\mathcal{X}} (A',A) < \delta_2\).

De ahí el resultado.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demuestre que cualquier mapa que conserve la distancia es continuo en cualquier punto.