18.1: Números complejos

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Informalmente, un número complejo es un número que se puede poner en la forma

\[z=x+i\cdot y, \]

donde\(x\) y\(y\) son los números reales y\(i^2=-1\).

El conjunto de números complejos se denotará adicionalmente por\(\mathbb{C}\). Si\(x\),\(y\), y\(z\) son como en 18.1.1, entonces\(x\) se llama la parte real y\(y\) la parte imaginaria del número complejo\(z\). Brevemente está escrito como

\[x=\text{Re} z \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ y=\text{Im} z.\]

En el nivel más formal, un número complejo es un par de números reales\((x,y)\) con la suma y multiplicación que se describen a continuación; la expresión\(x + i\cdot y\) es sólo una forma conveniente de escribir el par\((x,y)\).

\[\begin{aligned} (x_1+i\cdot y_1) + (x_2+i\cdot y_2) &:= (x_1+x_2) + i\cdot(y_1+y_2); \\ (x_1+i\cdot y_1)\cdot(x_2+i\cdot y_2) &:= (x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2) + i\cdot(x_1\cdot y_2+y_1\cdot x_2). \end{aligned}\]