19.5: Comparación de herramientas de construcción

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Decimos que un conjunto de herramientas es más fuerte que otro si cualquier configuración de puntos que se pueda construir con el segundo conjunto también se puede construir con el primer conjunto. Si además, hay una configuración que se puede construir con el primer conjunto, pero no se puede construir con el segundo, entonces decimos que el primer conjunto es más fuerte que el segundo. De lo contrario (es decir, si alguna configuración que se pueda construir con el primer conjunto se puede construir con el segundo) decimos que los conjuntos de herramientas son equivalentes.

Por ejemplo, el teorema de Mohr-Mascheroni establece que la brújula por sí sola es equivalente a brújula y regla. Tenga en cuenta que no se puede construir una línea con una brújula, pero como consideramos solo configuraciones de puntos no tenemos que hacerlo. Uno puede pensar que se construye una línea, si construimos dos puntos sobre ella.

Seguro que la brújula y la regla forman un conjunto más fuerte que la brújula sola. Por lo tanto, el teorema de Mohr—Mascheroni seguirá una vez que resolvamos los siguientes dos problemas de construcción:

Dados cuatro puntos\(X\),\(Y\),\(P\) y\(Q\), construir la intersección de las líneas\((XY)\) y\((PQ)\) con brújula solamente.
Dados cuatro puntos\(X\),\(Y\), y un círculo\(\Gamma\), construir la intersección de las líneas\((XY)\) y\(\Gamma\) con brújula solamente.

De hecho, una vez que tenemos estas dos construcciones, podemos hacer cada paso de una construcción de brújula y regla usando solo brújula.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Compare el siguiente conjunto de herramientas: (a) una regla y brújula, (b) un conjunto cuadrado y (c) una regla y una herramienta paralela.

Pista: Una regla y una brújula son estrictamente más fuertes que un conjunto cuadrado, que es estrictamente más fuerte que una regla y una herramienta paralela. Para probarlo, utilice el Ejercicio 5.7.1, el Ejercicio 14.2.4, el Ejercicio 19.3.2 y la Proposición 7.1.1.

Otro ejemplo clásico es el llamado teorema de Poncelet—Steiner; afirma que brújula y regla equivale solo a gobernante, siempre que se dé un solo círculo y su centro.