19.4: Verificaciones

Supongamos que necesitamos verificar que una configuración dada está definida por una determinada propiedad. ¿Es posible hacer esta tarea mediante una construcción geométrica con herramientas dadas? Suponemos que podemos verificar que dos puntos construidos coinciden.

Evidentemente si una configuración es construible, entonces es verificable — simplemente repita la construcción y comprueba si el resultado es el mismo. Alguna configuración no constuctable puede ser verificable. Por ejemplo, no plantea ningún problema verificar que el ángulo dado se trisecta mientras que es imposible trisectar un ángulo dado con regla y brújula. Un 7-gon regular proporciona otro ejemplo de ese tipo —es fácil de verificar, mientras que el teorema de Gauss—Wantzel afirma que es imposible construir con regla y brújula.

Dado que no probamos la imposibilidad de la trisección angular y el teorema de Gauss-Wantzel, el siguiente ejemplo podría ser más satisfactorio. Se basa en el Ejercicio 19.3.2 que establece que es imposible construir un equilátero con cuadrado-conjunto solamente.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Hacer una construcción set-square verificando que un triángulo dado es equilátero.

Sugerencia

Observe que tres perpendiculares en el diagrama se encuentran en un punto si y solo si el triángulo es isósceles. Utilice esta observación un par de veces para verificar que el triángulo dado es equilátero.

Esta observación conduce a una fuente de construcciones imposibles en un sentido más fuerte —aquellas que ni siquiera son verificables.

El siguiente ejemplo está estrechamente relacionado con el Ejercicio 10.3.2. Recordemos que una circunherramienta produce un círculo que pasa a través de cualquiera de tres puntos o una línea si los tres puntos se encuentran en una línea.

Problema

Demostrar que con una circunherramienta solamente, es imposible verificar que un punto dado sea el centro de un círculo dado$\Gamma$. En particular es imposible construir el centro con una circunherramienta solamente.

Observación

En construcciones geométricas, permitimos elegir algunos puntos libres, digamos cualquier punto del plano, o un punto en una línea construida, o un punto que no se encuentre sobre una línea construida, o un punto en una línea dada que no se encuentre en un círculo dado, y así sucesivamente.

En principio, cuando haces una elección tan libre es posible hacer una construcción correcta por accidente. Sin embargo, no aceptamos tal coincidencia como verdadera construcción; decimos que una construcción produce el centro si lo produce para cualquier elección libre.

Solución

Argumentando por contradicción, supongamos que tenemos una construcción verificadora.

Aplicar una inversión en círculo perpendicular$\Gamma$ a toda la construcción. Según Corolario 10.5.1, el círculo se$\Gamma$ mapea a sí mismo. Dado que la inversión envía una circlina a una circlina, obtenemos que toda la construcción se mapea a una construcción equivalente; es decir, una constricción con una elección diferente de puntos libres.

De acuerdo con el Ejercicio 10.3.1, la inversión envía el centro de$\Gamma$ a otro punto. No obstante esta construcción afirma que este otro punto es el centro —una contradicción.

Un ejemplo similar de construcciones imposibles para una regla y una herramienta paralela se da en el Ejercicio 14.2.4.

Hablemos de otro ejemplo para una construcción solo gobernante. Obsérvese que las construcciones solo reglas son invariantes con respecto a las transformaciones proyectivas. En particular, para resolver el siguiente ejercicio, basta con construir una transformación proyectiva que fije dos puntos y mueva su punto medio.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Demostrar que no hay ninguna construcción de solo regla que verifique que un punto dado es un punto medio de un segmento dado. En particular es imposible construir el punto medio solo con una regla.

Sugerencia

Considera la proyección de perspectiva$(x,y) \mapsto (\tfrac{1}{x}, \tfrac{y}{x})$. Vamos$A = (1, 1), B = (3, 1)$, y$M = (2, 1)$. Tenga en cuenta que$M$ es el punto medio de$[AB]$.

Sus imágenes son$A' = (1, 1)$,$B' = (\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3})$, y$M' = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2})$. Claramente,$M'$ es anotar el punto medio de$[A'B']$.

El siguiente teorema es una versión más fuerte del ejercicio anterior.

Teorema$\PageIndex{1}$

No hay ninguna construcción de regla que verifique que un punto dado sea el centro de un círculo dado. En particular es imposible construir el centro solo con una regla.

La prueba utiliza la construcción en el Teorema 16.3.2.

Croquis de la prueba

El mismo argumento que en el problema anterior muestra que es suficiente construir una transformación proyectiva que envíe el círculo dado$\Gamma$ a un círculo de$\Gamma'$ tal manera que el centro de no$\Gamma'$ sea la imagen del centro de$\Gamma$.

Elige un círculo$\Gamma$ que se encuentre en el plano$\Pi$ en el espacio euclidiano. Por el Teorema 16.3.1, la inversa de un círculo en una esfera es un círculo o una línea. Fijar una esfera$\Sigma$ con el centro$O$ para que la inversión$\Gamma'$ de$\Gamma$ sea un círculo y el plano$\Pi'$ que contiene no$\Gamma'$ sea paralelo a$\Pi$; ninguna esfera $\Sigma$en una posición general va a hacer.

Dejar$Z$ y$Z'$ denotar los centros de$\Gamma$ y$\Gamma'$. Tenga en cuenta que$Z'\notin(OZ)$. De ello se deduce que la proyección en perspectiva$\Pi\to \Pi'$ con centro en$O$ envía$\Gamma$ a$\Gamma'$, pero no$Z'$ es la imagen de$Z$.