1.1: Líneas
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Geometría (de palabras griegas que significan tierra-medida) originalmente desarrollada como un medio de topografía de áreas terrestres, En su forma más simple, se trata de un estudio de figuras que se pueden dibujar sobre una superficie plana perfectamente lisa, o plano. Es esta geometría plana la que estudiaremos en este bock y que sirve como base para la trigonometría, la geometría sólida y analítica, y el cálculo.
Las figuras más simples que se pueden dibujar en un plano son el punto y la línea. Por una línea siempre nos referiremos a una recta. A través de dos puntos distintos se puede dibujar una y solo una línea (recta). La línea a través de puntos\(A\) y se\(B\) denotará por\(\overleftrightarrow{AB}\) (Figura\(\PageIndex{1}\)). Las flechas indican que la línea se extiende indefinidamente en cada dirección, El segmento de línea de\(A\) a\(B\) consiste en\(A\),\(B\) y esa parte de\(\overleftrightarrow{AB}\) entre\(A\) y\(B\), Se denota por\(AB\) (algunos libros de texto usan la notación \(\overline{AB}\)para segmento de línea). El rayo\(\overrightarrow{AB}\) es la parte de la\(\overleftrightarrow{AB}\) cual comienza en\(A\) y se extiende indefinidamente en la dirección de\(B\).
Asumimos que todos están familiarizados con la noción de longitud de un segmento de línea y cómo se puede medir en pulgadas, o pies, o metros, etc, La distancia entre dos puntos\(A\) y\(B\) es la misma que la longitud de\(AB\).
Dos segmentos de línea son iguales si tienen la misma longitud, por ejemplo, en la Figura\(\PageIndex{2}\)\(AB = CD\),
A menudo indicamos que dos segmentos de línea son iguales marcándolos de la misma manera, por ejemplo, en la Figura\(\PageIndex{3}\),\(AB = CD\) y\(EF = GH\).
Encuentra\(x\) si\(AB = CD\):
Solución
\[\begin{array} {rcl} {AB} & = & {CD} \\ {3x - 6} & = & {x} \\ {3x - x} & = & {6} \\ {2x} & = & {6} \\ {x} & = & {3} \end{array} \nonumber\]
Comprobar:
Respuesta:\(x = 3\).
Observe que en Ejemplo no\(\PageIndex{1}\) hemos indicado la unidad de medida. Estrictamente hablando, debemos especificar que\(AB= 3x - 6\) pulgadas (o pies o metros) y esas\(BC = x\) pulgadas. Sin embargo como la respuesta seguiría siendo usualmente\(x = 3\) omitiremos esta información para ahorrar espacio.
Decimos que\(B\) es el punto medio de\(AC\) si\(B\) es\(A\) punto encendido\(AC\) y\(AB = BC\) (Figura\(\PageIndex{4}\)).
Buscar\(x\) y\(AC\) si\(B\) es el punto medio de\(AC\) y\(AB= 5(x - 3)\) y\(BC = 9 - x\),
Solución
Primero dibujamos una imagen para ayudar a visualizar la información dada:
Dado que\(B\) es un punto medio,
\[\begin{array} {rcl} {AB} & = & {BC} \\ {5(x - 3)} & = & {9 - x} \\ {5x - 15} & = & {9 - x} \\ {5x + x} & = & {9 + 15} \\ {6x} & = & {24} \\ {x} & = & {4} \end{array} \nonumber\]
Comprobar:
Obtenemos\(AC = AB + BC = 5 + 5 = 10\).
Respuesta:\(x = 4\),\(AC = 10\).
Encuentra\(AB\) si\(B\) es el punto medio de\(AC\):
Solución
\[\begin{array} {rcl} {AB} & = & {BC} \\ {x^2 - 6} & = & {5x} \\ {x^2 - 5x - 6} & = & {0} \\ {(x - 6)(x + 1)} & = & {0} \end{array} \nonumber\]
\[\begin{array} {rclcrcl} {x - 6} & = & {0} & \ \ \ \ & {x + 1} & = & {0} \\ {x} & = & {6} & \ \ \ \ & {x} & = & {-1} \end{array} \nonumber\]
Si\(x = 6\) entonces\(AB = x^2 - 6 = 6^2 - 6 = 36 - 6 = 30\).
Si\(x = -1\) entonces\(AB = (-1)^2 - 6 = 1 - 6 = -5\).
Rechazamos la respuesta\(x = -1\) y\(AB = -5\) porque la longitud de un segmento de línea siempre es positiva. Por lo tanto\(x = 6\) y\(AB = 30\).
Comprobar:
Respuesta:\(AB = 30\).
Tres puntos son colineales si se encuentran en la misma línea.
\(A\),\(B\), y\(C\) son colineales si y sólo si\(AB + BC = AC\).
Si\(A, B\), y\(C\) son colineales y\(AC = 7\), encontrar\(x\):
Solución
\[\begin{array} {rcl} {AB + BC} & = & {AC} \\ {8 - 2x + x + 1} & = & {7} \\ {9 - x} & = & {7} \\ {2} & = & {x} \end{array} \nonumber\]
Comprobar:
Respuesta:\(x = 2\)
La geometría se originó en la solución de problemas prácticos, Los restos arquitectónicos de Babilonia, Egipto y otras civilizaciones antiguas muestran un conocimiento de relaciones geométricas simples, La excavación de canales, la construcción de edificios, y la disposición de las ciudades requirieron cálculos de longitudes, áreas, y volúmenes, Se dice que la topografía se desarrolló en Egipto para que extensiones de tierra pudieran ser reubicadas después del desbordamiento anual del Nilo, la Geometría también fue utilizada por civilizaciones antiguas en sus observaciones astronómicas y la construcción de sus calendarios.
Los griegos transformaron la geometría práctica de los babilonios y egipcios en un cuerpo organizado de conocimientos. A Thales (c, 636 - c. 546 B, C.), uno de los “siete sabios” de la antigüedad, se le atribuye ser el primero en obtener resultados geométricos por razonamiento lógico, en lugar de simplemente por intuición y experimento. Pitágoras (c. 582 - c. 507 B, C.) continuó la obra de Thales, Fundó la escuela pitagórica, una sociedad mística dedicada al estudio unificado de la filosofía, las matemáticas y la ciencia, Alrededor del 300 B, C., Euclides, profesor griego de matemáticas en la universidad de Alejandría, escribió una exposición sistemática de geometría elemental llamada los Elementos, En sus Elementos, Euclides utilizó algunos principios simples, llamados axiomas o postulados, para derivar la mayor parte de las matemáticas conocidas en ese momento, Durante más de 2000 años, los Elementos de Euclides ha sido aceptado como el libro de texto estándar de geometría y es la base para la mayoría de los otros textos elementales, incluido éste.
Problemas
1. Encuentra\(x\) si\(AB= CD\):
2. Encuentra\(x\) si\(AB= CD\):
3. Encontrar\(x\) y\(AC\) si\(B\) es el punto medio de\(AC\) y\(AB= 3(x - 5)\) y\(BC = x + 3\).
4. Buscar\(x\) y\(AC\) si\(B\) es el punto medio de\(AC\) y\(AB = 2x + 9\) y\(BC= 5(x - 9)\),
5. Encuentra\(AB\) si\(B\) es el punto medio de\(AC\):
6, Encuentra\(AB\) si\(B\) es el punto medio de\(AC\):
7. Si\(A\),\(B\), y\(C\) son colineales y\(AC = 13\) encuentran\(x\):
8. Si\(A\),\(B\), y\(C\) son colineales y\(AC= 26\) encuentran\(x\):
