1.2: Ángulos

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Un ángulo es la figura formada por dos rayos con un punto final común, Los dos rayos se llaman los lados del ángulo y el punto final común se llama el vértice del ángulo, El símbolo para ángulo es$\angle$

2020-10-27 8.16.32.png — Figura$\PageIndex{1}$: Ángulo$BAC$ tiene vértice$A$ y lados$\overrightarrow{AB}$ y$\overrightarrow{AC}$

El ángulo en Figura$\PageIndex{1}$ tiene vértice$A$ y lados$AB$ y$AC$, Se denota por$\angle BAC$ o$\angle CAB$ o simplemente$\angle A$. Cuando se usan tres letras, la letra media es siempre el vértice, En Figura no$\PageIndex{2}$ usaríamos la notación$\angle A$ como abreviatura$\angle BAC$ porque también podría significar$\angle CAD$ o$\angle BAD$, Sin embargo podríamos usar el nombre más simple$\angle x$ para$\angle BAC$ si "$x$" es marcado como se muestra,

2020-10-27 8.19.28.png — Figura$\PageIndex{2}$: también se$\angle BAC$ puede denotar por$\angle x$.

Los ángulos se pueden medir con un instrumento llamado un traslador. La unidad de medida se llama grado y el símbolo para grado es$^{\circ}$.

Para medir un ángulo, coloca el centro del traslador (a menudo marcado con una cruz o un círculo pequeño) en el vértice del ángulo, Coloca el traslador de manera que un lado del ángulo corte a través de 0, al comienzo de la escala, y para que el otro lado corte a través de un punto más arriba en la escala, Utilizamos ya sea la escala superior o la escala inferior, lo que sea más conveniente, Por ejemplo, en la Figura$\PageIndex{3}$, un lado de$\angle BAC$ cruces 0 en la escala inferior y el otro lado cruza 50 en la escala inferior. La medida de$\angle BAC$ es por lo tanto$50^{\circ}$ y escribimos$\angle BAC$ =$50^{\circ}$.

2020-10-27 8.21.10.png — Figura$\PageIndex{3}$: El traslador muestra$\angle BAC = 50^{\circ}$

En la Figura$\PageIndex{4}$, lado$\overrightarrow AD$ de$\angle DAC$ cruces 0 en la escala superior. Por lo tanto, miramos en la escala superior el punto en el que$\overrightarrow{AC}$ cruza y concluimos que$\angle DAC = 130^{\circ}$.

2020-10-27 8.22.35.png — Figura$\PageIndex{4}$:$\angle DAC = 130^{\circ}$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Dibuja un ángulo de$40^{\circ}$ y etiquételo$\angle BAC$.

Solución

Dibuja rayos$\overrightarrow{AB}$ usando un borde recto:

$2020-10-27 8.24.27.png$

Coloca el traslador de manera que su centro coincida$A$ y$\overrightarrow{AB}$ cruce la escala a 0:

$2020-10-27 8.25.38.png$

Marcar el lugar en el traslador correspondiente a$40^{\circ}$. Marque este punto$C$:

$2020-10-27 8.27.01.png$

Conectar$A$ con$C$:

$2020-10-27 8.30.27.png$

Se dice que dos ángulos son iguales si tienen la misma medida en grados. A menudo indicamos que dos ángulos son iguales marcándolos de la misma manera. En Figura$\PageIndex{5}$,$\angle A = \angle B$.

2020-10-27 8.35.58.png — Figura$\PageIndex{5}$: Ángulos iguales.

Un ángulo bisectriz es un rayo que divide un ángulo en dos ángulos iguales. En la Figura$\PageIndex{6}$,$\overrightarrow{AC}$ es un ángulo bisectriz de$\angle BAD$. También decimos$\overrightarrow{AC}$ bisectos$\angle BAD$.

2020-10-27 8.39.30.png — Figura$\PageIndex{6}$:$\overrightarrow{AC}$ bisectos$\angle BAD$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra$x$ si$\overrightarrow{AC}$ bisectas$\angle BAD$ y$\angle BAD = 80^{\circ}$:

$2020-10-27 8.42.54.png$

Solución

$x^{\circ} = \dfrac{1}{2} \angle BAD = \dfrac{1}{2} (80^{\circ}) = 40^{\circ}$

Respuesta:$x = 40$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

$x$Averiguar si$\overrightarrow{AC}$ bisectas$\angle BAD$:

$2020-10-27 8.44.31.png$

Solución

\[\begin{array} {rcl} {\angle BAC} & = & {\angle CAD} \\ {\dfrac{7}{2} x} & = & {3x + 5} \\ {(2) \dfrac{7}{2} x} & = & {(2) (3x + 5)} \\ {7x} & = & {6x + 10} \\ {7x - 6x} & = & {10} \\ {x } & = & {10} \end{array}\]

Comprobar:

$2020-10-27 8.46.39.png$