2.7: El teorema de Hyp-Leg y otros casos

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Damos una razón más para que dos triángulos sean congruentes. Tenga en cuenta que la siguiente razón se aplica solo a los triángulos rectos:

Teorema$\PageIndex{1}$: Hypotenuse-Leg Theorem

Dos triángulos rectos son congruentes si la hipotenusa y una pata de un triángulo son respectivamente iguales a la hipotenusa y una pata del otro triángulo (Hyp-Leg = Hyp-Leg)

En Figura$\PageIndex{1}$, si$AB = DE$ y$BC = BF$ entonces$\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Figura$\PageIndex{1}$:$\triangle ABC \cong \triangle DEF \text { because Hyp-Leg }=\text { Hyp-Leg.}$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra$x$ y$y:$

$clipboard_eb885ab57465b4ee7aa22d06c8f158bbd.png$

Solución

La hipotenusa de la$\triangle ABC = AB =$ hipotenusa de$\triangle DBF = DF$ y una pierna de$\triangle ABC = AC =$ una pierna de$\triangle DEF = DE$. Por lo tanto$\triangle ABC \cong \triangle DFE$ por Hyp-Leg = Hyp-Leg. Entonces$x^{\circ} = \angle A = \angle D = 44^{\circ}$ y$y^{\circ} = \angle B = \angle F = 46^{\circ}$

Responder

$x=44, y=46$

Prueba de Teorema$\PageIndex{1}$: En Figura$\PageIndex{1}$, coloque de$\triangle DEF$ manera que$BC$ y$EF$ coincidan (ver Figura$\PageIndex{2}$). Entonces$\angle ACD = 180^{\circ}$ así$AD$ es un segmento de línea recta. $\triangle ABD$es isósceles con$AB = DE.$ Por lo tanto$\angle A = \angle D$ porque son los ángulos base del triángulo isósceles ABD (Teorema$\PageIndex{1}$, sección 2.5). Entonces$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ por$AAS = AAS$.

Figura$\PageIndex{2}$ Colocar$\triangle DEF$ para que$BC$ y$EF$ coincidan.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Dado$AC = BC, CD \perp AB$. Demostrar$AD = BD$.

$clipboard_e42d08f1b63224e56ac14be804914699b.png$

Solución

Declaraciones	Razones
1. $AC = BC$.	1. Dado.
2. $CD = CD$.	2. Identidad.
3. $\angle ADC = \angle BDC = 90^{\circ}$.	3. Dado$CD \perp AB$.
4. $\triangle ACD \cong \triangle BCD$.	4. Pierna Hyp = Pierna Hyp: Hyp$AC$, Pierna$CD$ de$\triangle ACD =$ Hyp$BD$, Pierna$CD$ de$\triangle BCD$.
5. $AD = BD$.	5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.

En este punto el alumno podría estar listo para concluir que dos triángulos son congruentes siempre que tres lados o ángulos correspondientes sean iguales. Sin embargo esto no es cierto en los dos casos siguientes:

Puede haber dos triángulos que no sean congruentes pero que tengan dos lados iguales y un ángulo igual no incluido (SSA = SSA).

En Figura$\PageIndex{3}$, $AC = DF, BC = BF,$ y$\angle A = \angle D$ pero ninguno de los otros ángulos o lados son iguales.

Figura$\PageIndex{3}$: Estos dos triángulos satisfacen$SSA = SSA$ pero no son congruentes.

Hay muchos triángulos que no son congruentes pero tienen los mismos tres ángulos$(AAA = AAA)$

En$\PageIndex{4}$, la Figura los ángulos correspondientes son iguales pero los lados correspondientes no lo son.

Figura$\PageIndex{4}$. Estos triángulos satisfacen$AAA = AAA$ pero no son congruentes.

Si$AAA = AAA$ los triángulos se saldan para ser similares. Triángulos similares se discuten en el Capítulo IV.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Determinar si los triángulos son congruentes. Si es así escribe la declaración de congruencia y encuentra$x$.

$clipboard_e9724b934e3714b755e209f6060a2b656.png$

Solución

Solución: A partir del diagrama$AC = BC, CD = CD,$ y$\angle A = \angle B$ Estos son los únicos pares de lados y ángulos que pueden demostrarse iguales. $\angle A$no está incluido entre lados$AC$ y$CD$ y no$\angle B$ está incluido entre lados$BC$ y$CD$. Por lo tanto sólo tenemos$SSA = SSA$. No podemos concluir que los triángulos son congruentes y no podemos encontrar$x$.

Respuesta: Los triángulos no pueden demostrarse congruentes.

Resumen

Motivos válidos de congruencia	Motivos inválidos de congruencia
$SAS = SAS$	$SSA = SSA$
$ASA = ASA$	$AAA = AAA$
$AAS = AAS$
$SSS = SSS$
Hyp-Leg = Hyp-Leg (solo triángulos rectos)

Problemas

1 - 16. Para cada uno de los siguientes determinar si los triángulos son congruentes. Si es así

(1) escribir la declaración de congruencia,

2) dar la razón de (1),

(3) encontrar$x$, o$x$ y$y$, o$x$$y$, y$z$,

De lo contrario escribe “los triángulos no pueden demostrarse congruentes”.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.04.19 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.04.37 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 en 6.04.55 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.05.13 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.05.34 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 at 6.06.34 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.06.50 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.12.09 PM.png$

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.12.25 PM.png$

10.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 6.12.38 PM.png$

11.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.40.58 PM.png$

12.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.41.50 PM.png$

13.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.42.27 PM.png$

14.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.42.42 PM.png$

15.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.43.02 PM.png$

16.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.43.36 PM.png$

17. Dado$CA = CB$ y$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$. Demostrar$AP = BP$.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.44.00 PM.png$

18. Dado$AC = BD$ y$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$. Demostrar$AD = BC$. (Pista: Mostrar$\triangle ABC \cong \triangle BAD$)

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.44.17 PM.png$

19. Dado$AB = CD$ y$AD = CB$. Demostrar$\angle A = \angle C$.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.44.34 PM.png$

20. Dado$AC = BC$ y$AD = BD$. Demostrar$\angle A = \angle B$.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.44.47 PM.png$

21. Dado$AD = BD$ y$AB \perp CD$. Demostrar$\angle A = \angle B$.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.45.03 PM.png$

22. Dado$\angle BAC = \angle DAC$ y$\angle B = \angle D$. Demostrar$AB = AD$.

$Screen Shot 2020-11-02 a las 10.45.15 PM.png$

Declaraciones	Razones
1. \(AC = BC\).	1. Dado.
2. \(CD = CD\).	2. Identidad.
3. \(\angle ADC = \angle BDC = 90^{\circ}\).	3. Dado\(CD \perp AB\).
4. \(\triangle ACD \cong \triangle BCD\).	4. Pierna Hyp = Pierna Hyp: Hyp\(AC\), Pierna\(CD\) de\(\triangle ACD =\) Hyp\(BD\), Pierna\(CD\) de\(\triangle BCD\).
5. \(AD = BD\).	5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.

Motivos válidos de congruencia	Motivos inválidos de congruencia
\(SAS = SAS\)	\(SSA = SSA\)
\(ASA = ASA\)	\(AAA = AAA\)
\(AAS = AAS\)
\(SSS = SSS\)
Hyp-Leg = Hyp-Leg (solo triángulos rectos)

Teorema\(\PageIndex{1}\): Hypotenuse-Leg Theorem

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resumen